Работа студентов ГБОУ СПО МО Республиканский политехнический колледж
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация к работе "Магия чисел" | 295.5 КБ |
 Исследовательский проект "Магия чисел" | 54.24 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели проекта: Изучить и обобщить знания пифагорейцев о числах Выделить виды удивительных чисел среди натуральных чисел Установить свойства и закономерности удивительных чисел Изучить свойства магических квадратов Ознакомиться с методикой построения «магических квадратов» Построить «магический квадрат»
Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 500 до н. э.) — древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др.
Школа Пифагора Школа была основана Пифагором и просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г. Прием в школу проходил в несколько этапов. Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы.
Пифагорейцы Пифагорейцы считали, что все в мире связано с числами. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", т. е. самое маленькое число, из которого образовывались все числа. Числа - камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур.
Числа пифагорейцами классифицировались на: 1) линейные числа 2) плоские числа 3) телесные числа. 1) К линейным числам относятся простые числа, которые нельзя было разложить на множители. Эти числа изображались в виде точек, расположенных на одной прямой. Например, число 7 2) Все плоские числа изображаются в виде правильных геометрических фигур. Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники и т. д. 1 4 9 16 1 3 6 10 1 5 12 22
3) Составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел, получим телесные фигурные числа, их иногда называют пространственными. тетраэдрические числа четырехугольные пирамидальные числа кубические числа
Чет… Нечет… Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные мужскими Брак — это пятерка, равная трем плюс два. По той же причине прямоугольный треугольник со сторонами три, четыре, пять был назван ими «фигура невесты».
«Нехорошие числа» Кроме чисел, вызывавших восхищение и преклонение, у пифагорейцев были и так называемые нехорошие числа. Это числа, которые не обладали никакими достоинствами, а еще хуже, если такое число было окружено «хорошими» числами. Знаменитое число тринадцать — чертова дюжина Число семнадцать, вызывавшее особое отвращение у пифагорейцев.
Число зверя Само понятие “ числа зверя ” впервые появляется в Откровениях Иоанна Богослова , появившемся впервые вероятно в I веке нашей эры. Интересно, что проблема известна давно - уже во II веке епископ Иреней утверждал, что 616 – ложно, а истинное число зверя – 666 . Каков же смысл “ числа зверя “? Считается, что это зашифрованное имя гонителя христиан – императора Нерона . Еврейское написание “ Neron Kaisar ” в сумме даёт как раз 666, а вот латинское “ Nero Caesar ” как раз даёт 616. Это число Смита , то есть сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей 666 является суммой квадратов первых семи простых чисел В Китае число 6 является наоборот счастливым и 06.06.06 там было заключено рекордное количество браков.
Совершенные числа Пифагорейцы также придавали особое значение совершенным числам. Число называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей. Так, 6 = 3 + 2 + 1 — это наименьшее из всех совершенных чисел. Начало ряда совершенных чисел: 1)6 2)28 3)496 4)8 128 5)33 550 336 6)8 589 869 056 7)137 438 691 328 8)2 305 843 008 139 952 128
Дружественные числа Также пифагорейцы открыли дружественные числа - два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Обычно же, говоря о дружественных числах, имеют в виду пары из двух разных чисел. Пифагорейцам была известна только одна пара чисел 220 и 284. Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000: 220 и 284 1184 и 1210 2620 и 2924 5020 и 5564 6232 и 6368 10744 и 10856 12285 и 1459 17296 и 18416 63020 и 76084 66928 и 66992 67095 и 71145 69615 и 87663 79750 и 88730
Квадрат Пифагора Пифагор внес вклад в нумерологию, создав квадрат Пифагора. Он дает характеристику человека по его дате рождения. Все люди получили свой номер, который несёт определённую характеристику. Пример: 5.12.1979 - (5 декабря 1979 года.) 1) Складываем цифры дня, месяца и года рождения: 5+1+2+1+9+7+9=34 -это 1 рабочее число. 2) Складываем цифры первого рабочего числа: 3+4=7 - это 2 рабочее число. 3) Из первого рабочего числа вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-2*5=24 - это 3 рабочее число. 3) Складываем цифры третьего рабочего числа: 2+4=6 - это 4 рабочее число. Первый ряд чисел: 5121979 Второй ряд чисел: 347246 Подсчитав, сколько каких цифр в обоих рядах составляем таблицу: Далее смотрим характеристику каждой ячейки таблицы. 11 44 77 22 5 - 3 6 99
Магический квадрат Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица n*n , заполненная n ^2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Единственный нормальный магический квадрат 3×3 - Ло Шу - был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н.э. 4 9 2 3 5 7 8 1 6
Примеры магических квадратов
Составление магических квадратов Существует несколько способов составления магических квадратов. Самый простой из них – метод Баше (метод террас). Например, составим магический квадрат 5-го порядка: Начертим квадратную таблицу размером 5x5. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним ее диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до 25:
После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы: Получился магический квадрат 5-го порядка:
1695 = 192 199 176 183 190 17 24 1 8 15 142 149 126 133 140 = 1695 198 180 182 189 191 23 5 7 14 16 148 130 132 139 141 = 1695 179 181 188 195 197 4 6 13 20 22 129 131 138 145 147 = 1695 185 187 194 196 178 10 12 19 21 3 135 137 144 146 128 = 1695 186 193 200 177 184 11 18 25 2 9 136 143 150 127 134 = 1695 67 74 51 58 65 117 124 101 108 115 167 174 151 158 165 = 1695 73 55 57 64 66 123 105 107 114 116 173 155 157 164 166 = 1695 54 56 63 70 72 104 106 113 120 122 154 156 163 170 172 = 1695 60 62 69 71 53 110 112 119 121 103 160 162 169 171 153 = 1695 61 68 75 52 59 111 118 125 102 109 161 168 175 152 159 = 1695 92 99 76 83 90 217 224 201 208 215 42 49 26 33 40 = 1695 98 80 82 89 91 223 205 207 214 216 48 30 32 39 41 = 1695 79 81 88 95 97 204 206 213 220 222 29 31 38 45 47 = 1695 85 87 94 96 78 210 212 219 221 203 35 37 44 46 28 = 1695 86 93 100 77 84 211 218 225 202 209 36 43 50 27 34 = 1695 = = = = = = = = = = = = = = = = 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 1695 Магический квадрат 15-го порядка:
Выводы:
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
ГБОУ СПО МО "Республиканский Политехнический Колледж"
Исследовательский проект на тему:
Магия чисел
Тип проекта: ознакомительно-ориентировочный, исследовательский
Подготовил студент группы ПИ-10
Журавлев Алексей
Руководитель проекта
Погудина Л.Г.
2012 г.
ПАСПОРТ ПРОЕКТА
- Название проекта: «МАГИЯ ЧИСЕЛ»
- Руководитель проекта Л.Г.Погудина
- Консультант
- Учебный предмет: математика
- Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: теория чисел
- Тип проекта: ознакомительно-ориентировочный как этап исследовательского
- Цели проекта: изучить числа, обладающие особыми свойствами
- Задачи проекта: собрать и изучить теоретический материал по данной теме, выделить виды удивительных чисел среди натуральных, установить закономерности, изучить методику построения «магических квадратов» и построить магический квадрат 15x15
- Вопросы проекта: совершенные числа, представление о числе пифагорейцев, история открытия свойств совершенных и дружественных чисел
- Необходимое оборудование: компьютер, проекционное оборудование
- Актуальность проекта: несмотря на «древний возраст» исследуемого вопроса, теория чисел является до сих пор передовым краем математической науки, в этой области продолжают делаться открытия
- Этапы работы над проектом :
-определение основной идеи проекта;
-сбор и обработка информационных данных;
-обсуждение результатов сбора данных, корректировка;
Оформление результатов и сценария презентации.
Цель работы: изучить числа, обладающие особыми свойствами.
Задачи:
- Выделить виды удивительных чисел среди натуральных чисел;
- Установить свойства и закономерности удивительных чисел,
- Ознакомиться с методикой построения «магических квадратов»,
- Построить «магический квадрат»
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
Систематизация данных.
Построение «магического квадрата» с использованием таблиц Excel
Предмет исследования: натуральные числа.
Актуальность
Числа окружают человека на протяжении всей его жизни. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни настоящее, ни будущее. А сколько ещё непознанного! В своей работе я раскрываю мир удивительных чисел, о которых в обычном учебнике математики нет сведений.
Введение
Мы... никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.
ПЛАТОН
Число, выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и русский, и араб, и янки одинаково.
МЕНДЕЛЕЕВ
Число - это продукт нашего разума...
ГAУСС
Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. ГЕТЕ
Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию "число". Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу.
Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала": «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной».
«Число есть множество, сложенное из единиц» - так определял понятие числа и русский математик Магницкий в учебнике "Арифметика" (1703 г.).
Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).
Число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде еще в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков. Необходимостью введения понятия "число" было разрешение противоречия между единичным и множественным.
Первыми записями чисел можно считать зарубки на костях, а позднее - черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, то есть затруднительно было изображать множественное через элемент одиночного. Это противоречие было разрешено введением особых знаков (у каждого народа своих) для некоторых совокупностей черточек.
На первых ступенях развития понятие числа определялось потребностями счета и измерения. Так появились сначала натуральные числа, которые обозначались черточками на папирусе. Крупным шагом вперед было изобретение индийцами современной позиционной системы счисления, позволяющей записать любое натуральное число при помощи десяти знаков - цифр. Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая, точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.
Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральным числам дробных чисел. Далее были введены отрицательные числа, рациональные, иррациональные. Заключительным этапом в развитии понятия числа является введение комплексных чисел.
Итак, основная линия развития понятия числа:
[ Натуральные числа >> Рациональные числа >> Действительные числа >> Комплексные числа]
Основные определения понятия число:
Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
Число - это математическая совокупность однородных единиц.
Число в грамматике - формы, с помощью которых значению слова придается оттенок единичности (единственное число), двойственности (двойственное число) или множественности (множественное число).
А вот как определяли число математики древности:
Число для пифагорейцев — это собрание единиц, т.е. только целое положительное число. Единицы, составляющие число, считались неделимыми.
Евклид определяет число как множество, составленное из единиц. Конечно, множество здесь понимается не в сегодняшнем его значении; во всяком случае, оно не может быть бесконечным. Я думаю, оно понималось только в смысле собрания, конечной совокупности.
Аристотель определяет число как "множество единиц", "множество неделимых", "несколько единиц".
По структуре число — это "ограниченное множество", "множество, измеряемое единицей"; затем — "множество мер", т. е. единиц (как характерный признак элемента здесь выступает не его неделимость, а способность служить мерой для числа).
В своей работе я уделю большее внимание именно взглядам пифагорейцев на числа и их свойства.
Основная часть
Пифагор Самосский — древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др.
Он основал школу, которая просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора. Пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы.
Пифагорейцы считали, что все в мире связано с числами.
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", т. е. самое маленькое число, из которого образовывались все числа. Числа - камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур.
Числа пифагорейцами классифицировались на:
1) линейные числа
2) плоские числа
3) телесные числа.
Разберемся подробнее:
1) К линейным числам относятся простые числа, которые нельзя было разложить на множители. Эти числа изображались в виде точек, расположенных на одной прямой.
2) Все плоские числа изображаются в виде правильных геометрических фигур. Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники и т. д.
3) Составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел, получим телесные фигурные числа, их иногда называют пространственными.
Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные мужскими Брак — это пятерка, равная трем плюс два.
По той же причине прямоугольный треугольник со сторонами три, четыре, пять был назван ими «фигура невесты».
У пифагорейцев были и так называемые нехорошие числа. Это числа, которые не обладали никакими достоинствами, а еще хуже, если такое число было окружено «хорошими» числами. К ним относились:
Знаменитое число 13 — чертова дюжина
Число 17 - вызывало особое отвращение у пифагорейцев, потому что оно лежит как раз посередине между числом 16, представляющим полный квадрат, и числом 18, являющимся удвоенным квадратом: оба эти числа являются единственными плоскими числами, для которых периметр прямоугольника равен его площади.
"Число зверя" - 666
Само понятие “числа зверя” впервые появляется в Откровениях Иоанна Богослова, появившемся впервые вероятно в I веке нашей эры.
Интересно, что проблема известна давно - уже во II веке епископ Иреней утверждал, что 616 – ложно, а истинное число зверя – 666.
Каков же смысл “числа зверя“? Считается, что это зашифрованное имя гонителя христиан – императора Нерона. Еврейское написание “Neron Kaisar” в сумме даёт как раз 666, а вот латинское “Nero Caesar” как раз даёт 616. Некоторые ученые искали слова, соответствующие числу 666. Одно из таких слов – титан, однокоренное слову – названию пассажирского лайнера - Титаник.
Это палиндром, т.е. число одинаково читается слева направо и справа налево.
Но это еще и число Смита, то есть сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей!
666 является суммой квадратов первых семи простых чисел.
В Китае число 6 является, наоборот, счастливым, и 06.06.06 там было заключено рекордное количество браков.
Пифагорейцы также придавали особое значение совершенным числам.
Число называется совершенным, если оно равно сумме своих собственных делителей. Так, 6 = 3 + 2 + 1 — это наименьшее из всех совершенных чисел.
Первые два совершенных числа — 6 и 28 — были известны с незапамятных времен. Евклид нашел третье и четвертое совершенные числа — 496 и 8128. Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы, оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», — говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 — самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
Пятое совершенное число — 33 550 336 — было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид (2n – 1), причем 2n – 1 должно быть простым. Восьмое число — 2 305 843 008 139 952 128 — нашел тоже Эйлер в 1772 году. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2 n -1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 1080. При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет — одна из открытых на сегодня проблем математики.
Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным. В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века — и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету.
Также пифагорейцы открыли дружественные числа - два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Обычно же, говоря о дружественных числах, имеют в виду пары из двух разных чисел. Пифагорейцам была известна только одна пара чисел 220 и 284. Большинство из этих чисел нашел Эйлер в 18 веке.
Пифагор внес вклад в нумерологию, создав квадрат Пифагора. Он дает характеристику человека по его дате рождения.
Все люди получили свой номер, который несёт определённую характеристику.
Пример: 5.12.1979 - (5 декабря 1979 года.)
1) Складываем цифры дня, месяца и года рождения: 5+1+2+1+9+7+9=34 -это 1 рабочее число.
2) Складываем цифры первого рабочего числа: 3+4=7 - это 2 рабочее число.
3) Из первого рабочего числа вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-2*5=24 - это 3 рабочее число.
3) Складываем цифры третьего рабочего числа: 2+4=6 - это 4 рабочее число.
Первый ряд чисел: 5121979. Второй ряд чисел: 347246. Подсчитав, сколько каких цифр в обоих рядах составляем таблицу:
11 | 44 | 77 |
22 | 5 | - |
3 | 6 | 99 |
Далее смотрим характеристику каждой ячейки таблицы.
Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица n×n, заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.
Единственный нормальный магический квадрат 3×3 - Ло Шу - был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н.э. нормальный магический квадрат – магический квадрат, состоящий из последовательных чисел от 1 до n2.
Существует несколько способов составления магических квадратов. Самый простой из них – метод Баше (метод террас).
Например, составим магический квадрат 5-го порядка:
– Начертим квадратную таблицу размером 5x5. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру
– Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним ее диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до 25:
– После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы:
– Получился магический квадрат:
Изучив способы составления магических квадратов, я составил магический квадрат 15-го порядка. Для удобства я пользовался табличным редактором Excel. Составлен этот квадрат следующим способом:
- Я взял 2 магических квадрата 3-го и 5-го порядка.
- Взяв за основу магический квадрат 3-го порядка, в нем вместо цифры 1 записал магический квадрат 5-го порядка.
- Вместо цифры 2 я записал такой же магический квадрат 5-го порядка, только используя числа не 1-25, как в первом, а 26-50, и т.д.
Получился магический квадрат 15-го порядка (15х15):
1695 | ||||||||||||||||
= | ||||||||||||||||
192 | 199 | 176 | 183 | 190 | 17 | 24 | 1 | 8 | 15 | 142 | 149 | 126 | 133 | 140 | = | 1695 |
198 | 180 | 182 | 189 | 191 | 23 | 5 | 7 | 14 | 16 | 148 | 130 | 132 | 139 | 141 | = | 1695 |
179 | 181 | 188 | 195 | 197 | 4 | 6 | 13 | 20 | 22 | 129 | 131 | 138 | 145 | 147 | = | 1695 |
185 | 187 | 194 | 196 | 178 | 10 | 12 | 19 | 21 | 3 | 135 | 137 | 144 | 146 | 128 | = | 1695 |
186 | 193 | 200 | 177 | 184 | 11 | 18 | 25 | 2 | 9 | 136 | 143 | 150 | 127 | 134 | = | 1695 |
67 | 74 | 51 | 58 | 65 | 117 | 124 | 101 | 108 | 115 | 167 | 174 | 151 | 158 | 165 | = | 1695 |
73 | 55 | 57 | 64 | 66 | 123 | 105 | 107 | 114 | 116 | 173 | 155 | 157 | 164 | 166 | = | 1695 |
54 | 56 | 63 | 70 | 72 | 104 | 106 | 113 | 120 | 122 | 154 | 156 | 163 | 170 | 172 | = | 1695 |
60 | 62 | 69 | 71 | 53 | 110 | 112 | 119 | 121 | 103 | 160 | 162 | 169 | 171 | 153 | = | 1695 |
61 | 68 | 75 | 52 | 59 | 111 | 118 | 125 | 102 | 109 | 161 | 168 | 175 | 152 | 159 | = | 1695 |
92 | 99 | 76 | 83 | 90 | 217 | 224 | 201 | 208 | 215 | 42 | 49 | 26 | 33 | 40 | = | 1695 |
98 | 80 | 82 | 89 | 91 | 223 | 205 | 207 | 214 | 216 | 48 | 30 | 32 | 39 | 41 | = | 1695 |
79 | 81 | 88 | 95 | 97 | 204 | 206 | 213 | 220 | 222 | 29 | 31 | 38 | 45 | 47 | = | 1695 |
85 | 87 | 94 | 96 | 78 | 210 | 212 | 219 | 221 | 203 | 35 | 37 | 44 | 46 | 28 | = | 1695 |
86 | 93 | 100 | 77 | 84 | 211 | 218 | 225 | 202 | 209 | 36 | 43 | 50 | 27 | 34 | = | 1695 |
= | = | = | = | = | = | = | = | = | = | = | = | = | = | = | = | |
1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 | 1695 |
Выводы:
В результате выполненной работы мною:
- были изучены числа, обладающие особыми свойствами,
- я узнал свойства и закономерности, связывающие совершенные, дружественные числа.
- Мне удалось прикоснуться к увлекательной науке – истории математики, а также узнать о вопросах, на которые человечество до сих пор не нашло ответ!
- Я узнал о методах построения магических квадратов,
- Сам сумел построить магический квадрат 15×15!
Моя работа затрагивает очень важные и интересные аспекты науки о числах. Конечно, эта работа - только начало изучения закономерностей и свойств обыкновенных чисел, тех самых чисел, с которых мы начинаем изучать математику еще в начальной школе, и которые, как оказалось, хранят в себе столько удивительных тайн!
Список используемой литературы и информационных источников:
- В.В.Трошин "Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике"
- «Математические новеллы» Мартин Гарднер изд. Планета М: 2000
- http://elementy.ru
- http://ru.math.wikia.com
- http://le-savchen.ucoz.ru
- http://www.bibliotekar.ru
Сказка "Морозко"
Заповеди детства и юности
На горке
Девочка-Снегурочка
Астрономы получили первое изображение черной дыры