Логарифмы

Слайд 1

Логарифмы. Определение логарифма: Логарифмом числа b , по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b .

Слайд 2

Свойства логарифмов. 1. a Log a b = b – Основное логарифмическое тождество. 2. Log a a = 1 , если: а > 0, a ≠ 1 . 3 . Log a r b k = k/ rLog a b 4. Log a (b ∙ c) = Log a b + Log a c – логарифм произведения. 5. Log a b/c = Log a b – Log a c – логарифм частного. 6. Log a b k = k ∙ Log a b – логарифм степени. 7. Log a b = Log c b / Log c a – переход к новому основанию. 8. Log a b = 1/ Log b a 9. Log a 2 b = 1/2Log a b 10 . Log c b = Log a b ∙ Log c a 11. Log 10 a = Lg a 12. Log e a = Ln a 13 . Log a b + Log a c – Log a α = Log a b ∙ c/ α

Слайд 3

Из истории создания логарифмов: Джон Непер. В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинус и тангенсов. Термин - логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов, изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом. Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций. Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически , сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом: Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

Слайд 4

Из истории создания логарифмов: Иоганн Кеплер. Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Иоганн Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии . Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов.

Слайд 5

Из истории создания логарифмов: Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт (известный ещё Архимеду), что при перемножении степеней их показатели складываются. Индийский математик VIII века Вирасена , исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4.

Слайд 6

Из истории создания логарифмов: Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней.

Слайд 7

Из истории создания логарифмов: В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня.

Слайд 8

Из истории создания логарифмов: Первым эту идею опубликовал Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным.

Слайд 9

Логарифмическая линейка. В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Слайд 10

Способы вычисления логарифмов. 1. Нахождение логарифма произведения. Пусть требуется выполнить умножение: 378 • 45,2 Попробуем выполнить это действие посредством логарифмов. Найдем в таблицах логарифмы чисел 378 и 45,2. Пусть они будут: 2,5775 и 1,6551 (по основанию 10). Это значит, что 378 = 10 2,5775 и 45,2 = 10 1,6551 и следовательно, 378 . 45,2 = 10 2,5775 . 10 1,6551 Так как при умножении степеней одного и того же числа показатели этих степеней складываются (какие бы ни были эти показатели), то 378 . 45,2 = 10 2,5775 + 1,6551 = 10 4,2326 Значит , логарифм произведения 378 . 45,2 есть число 4,2326, получившееся от сложения логарифмов данных сомножителей (по этому логарифму в таблицах найдем и само произведение).

Слайд 11

Способы вычисления логарифмов. 2. Нахождение логарифма частного. Допустим нам нужно выполнить деление - 5637 : 26,3. Найдем в таблицах логарифмы этих чисел ( например, по основанию 10). Пусть log 5637 = 3,751 и log 26,3 = 1,42. Тогда: 5637 = 10 3,751 и 26,3 = 10 1,42 Следовательно , 5637:26,3=10 3,751 :10 1,42 =10 3,751-1,42 =10 2,331 Отсюда видно, что логарифм частного 5637:26,3 есть число 2,331, получившееся от вычитания логарифма делителя из логарифма делимого.

Слайд 12

Способы вычисления логарифмов. 3. Нахождение логарифма степени. Если N = a x , то N n = ( a x ) n = a nx ; следовательно: log ( N n ) = nx = n log N, т . e . логарифм степени равен показателю этой степени, умноженному на логарифм возводимого в степень числа . Напр .: log (15,3) 2 = 2 log 15,3 ; log 3 -2 = - 2 log 3.

Слайд 13

Спасибо за просмотр презентации. Презентацию на тему «Логарифмы» подготовил ученик 10 «А» класса Кудряшов Станислав. Материал презентации был взят с сайта: http://ru.wikipedia.org .