Проект: "Последовательности"

Слайд 1

Слайд 2

В школе мы изучаем разные темы в математике, в том числе числовые последовательности, но не уделяем этому много времени. В своем проекте я решила остановиться на этом разделе и ещё раз глубже изучить эту тему. Вступление

Слайд 3

Что такое последовательность? Последовательность — это набор элементов некоторого множества: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности; для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности. Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Слайд 4

Функцию вида у= f ( х ) , х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью ( а n ) – последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ;…. а n - члены последовательности

Слайд 5

Обозначения последовательности

Слайд 6

С пособы задания числовых последовательностей Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру, например : Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы , позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическая прогрессии или, например, последовательность Фибоначчи , задаваемая формулой x n + 2 = x n + 1 + x n при n > 0 и условиями x 1 = 1 , x 2 = 1 .

Слайд 7

Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x n равен n -му знаку после запятой в десятичной записи числа π = 3,14159265358979323 ..., задается следующим образом: x 1 = 1 , x 2 = 4 , x 3 = 1 , x 4 = 5 , x 5 = 9 , x 6 = 2 , x 7 = 6 , x 8 = 5 , x 9 = 3 , x 10 = 5 и т. д.

Слайд 8

Виды последовательности Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности . ограниченная сверху Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности. ограниченная сверху Ограниченная последовательность ( ограниченная с обеих сторон последовательность ) — это последовательность , ограниченная и сверху, и снизу. ограниченная Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной . неограниченная Пример . 1,2 ,...,n,... — ограничена снизу, но неограниче н на сверху; {1 / n } – ограничена, так как 0< x n < 1 ; {(-1) n } – ограничена

Слайд 9

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Бесконечно малая последовательность- последовательность , предел которой равен 0. Т. е. lim n →∞ x n = 0 Пример. Последовательность x n = 1/ n является бесконечно малой последовательностью . x n – бесконечно большая последовательность, если Пример . Последовательности n , 2 n являются бесконечно большими .

Слайд 10

Лемма. Если a n — бесконечно малая последовательность, то 1 / a n —бесконечно большая последовательность. Пусть a n = 1/ n , которая является бесконечно малой, тогда последовательность b n = 1/ a n = n будет бесконечно большой .

Слайд 11

Теорема 5. Для того чтобы последовательность { x n } имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид x n = A+ a n , где lim n →∞, a n = 0.

Слайд 12

Что такое предел последовательности? Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. пределом последовательности (у n ) стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (у n ) равен b .

Слайд 13

Свойства сходящихся последовательностей Свойство 1 . Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. ( теорема Вейерштрасса).

Слайд 14

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема Если lim x n = b , lim y n = c , то предел суммы равен сумме пределов: lim ( x n + y n ) = b + c ; предел произведения равен произведению пределов: lim ( x n y n ) = bc ; предел частного равен частному пределов: lim = , c ≠ 0 ; постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( kx n ) = kc .

Слайд 15

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение

Слайд 16

Предел любой подпоследовательности , если он существует, называется частичным пределом данной последовательности. Частичный предел последовательности называется предельной точкой данной последовательности . Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности.

Слайд 17

Заключение В ходе проделанной работы я расширила свои знания в области последовательности. Это очень интересная тема. В своем проекте я освятила лишь малую часть большого и интересного материала.

Слайд 18

Используемые материалы и ссылки: skosh11.ucoz.ru/ http://mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175622543-5.gif http://mathematics.ru/courses/function/content/chapter1/section1/paragraph1/theory.html http://matan.isu.ru/matan/int_lim_of_seq.html http://upload.wikimedia.org/math/5/7/0/570f1f52d590709d39af5bbb04b94d7e.png http://upload.wikimedia.org/math/b/8/e/b8eaf88d16104f26a4cc2c1c235c1b71.png http://upload.wikimedia.org/math/3/8/0/380c6623bd1038d4daa629dacbc64bd7.png http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e151824855f07e1d07193a45cc70b672.png http://upload.wikimedia.org/math/b/e/1/be1dddcbeb37095f5257990611bd6fa2.png