История возникновения и значение неевклидовой геометрии в современной науке

МКОУ   ВАШУТИНСКАЯ  ОСНОВНАЯ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ  ШКОЛА

История возникновения и значение неевклидовой геометрии в современной науке

Работу  по геометрии выполнила:

                                      ученица 9 класса

                                      Шмырова Ирина

Координатор работы:

Учитель математики

Седых Елена Валерьевна

2013 год

Содержание.

1.Введение………………………………………………………………   3

2.История создания новой геометрии……………………………….  4

3. Неевклидова геометрия……………………………………………   8

4.Отзывы и доказательства ………………………………………….  11

4.  Значение Неевклидовой геометрии………………………………  15

5. Заключение………………………………………………………….  16

6.Используемая  литература…………………………………………. 18

7.Словарь терминов…………………………………………………... 19

Введение

Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной науки, произвёл настоящую революцию в математике.

«Идеи нашего гениального соотечественника, которые казались недопустимым парадоксом,  теперь широко развитые и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки» - писал видный советский геометр,  профессор П.К. Рашевский [ 1].

Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике,  но можно сказать,  в развитии человеческого мышления вообще. И то, что евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества. Однако мало кому известно, что начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым [ 2].

Характер математических теорий таков, что различным образом представляя  основные понятия этих теорий, в геометрии, например,  это точки, прямые, движения и т.д., мы можем применять их к объектам различного рода. Поэтому, и геометрия может применяться не только к пространству, в котором мы живем, но и к другим пространствам, возникающим в математических и физических теориях. Геометрии этих пространств оказываются различными; в частности, они могут не быть евклидовыми.

Цель работы: установить, что послужило созданию неевклидовой геометрии. Гипотеза: развитие науки было на таком этапе, что невозможно было не прийти к созданию неевклидовой геометрии.

I.История создания новой геометрии

Первым неевклидовым геометром,  вероятно,  можно считать самого Евклида (рис.1).  Его нежелание использовать «не самоочевидный»  пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату. С первого века до н.э. до 1820 года  математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями,  такими,  как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки,  не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности».

                   Рисунок 1. Евклид

Лобачевский в работе «О началах геометрии»  (1829 год), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий [ 1].

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи (рис.2),  а Карл Фридрих Гаусс (рис.3) пришёл к таким выводам ещё раньше.

Рисунок 2. Янош Бойяи

Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям.

                        Рисунок 3 . Карл Фридрих Гаусс

Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823 год) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822 и 1824 годы Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.

23 февраля 1826 года гениальный математик читает свой доклад о неевклидовой геометрии ничего не понимающей,  скучающей,  равнодушной аудитории.  Комиссия,  ничего не понявшая, не дает никакого отзыва.  Работа не была напечатана.  И только в 1829 году были опубликованы  мемуары  «О началах геометрии» - первая работа по неевклидовой геометрии.  Работу не поняли.

Из Академии наук пришел уничтожающий отзыв, появляются статьи, где Лобачевского называют провинциальным шарлатаном, невежественным самодовольным ничтожеством.  Авторы этих отзывов опирались на то, что все,  что изложено господином Лобачевским (рис.4) в своих трудах не имеет места в природе и, поэтому, совершенно для разума непонятно и абсурдно. Лобачевского никто не поддержал, но у него хватило мужества отстаивать свои идеи до конца. 

Рисунок 4.  Лобачевский Николай Иванович

Не найдя понимания на Родине, Лобачевский попытался найти единомышленников за рубежом. В 1837 году статья Лобачевского «Воображаемая геометрия» на французском языке  (Géométrieimaginaire) появилась в авторитетном берлинском журнале Крелле, а в 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое и систематическое изложение его основных идей. Два экземпляра получил Карл Фридрих Гаусс, «король математиков» той поры. Как много позже выяснилось, Гаусс и сам тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему [ 1].

Пятый постулат Евклида стал своего рода толчком к созданию другой геометрии, или продолжением геометрии Евклида. Одновременно учёные многих стран пришли к одним и тем же выводам. Однако одних учёных не поняли, как Лобачевского, другие боялись опубликовать свои труды.

Создателями неевклидовой геометрии стали такие яркие учёные, как сам Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский. У некоторых учёных открытия в неевклидовой геометрии происходили одновременно, независимо друг от друга.

II.Неевклидова геометрия

Лобачевский считал аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории,  описывающей свойства пространства, и поэтому в создании неевклидовой геометрии он использовал плоскостные постулаты Евклида как частный, предельный случай и отказался от  V постулата,  приняв независимость аксиомы о параллельных прямых Евклида от остальных аксиом.

Вместо V постулата он принимает противоположное предложение:  на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой,  проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Вместе с этим предложением Лобачевский принимает остальные аксиомы Евклидовой геометрии и на этом основании строит новую геометрию. Получившаяся геометрия логически стройная, нигде противоречий не встречается. Лобачевский называет ее «воображаемой».

Через точку С, лежащую вне прямой АВ, можно, предположил Лобачевский, провести хотя бы две прямые а и b,  которые не пересекутся с прямой АВ (рис.5). Точно так же не пересекают прямую АВ и прямые m, n, p, проходящие через точку С. [4].

Рисунок 5. Предложение, противоположное V постулату Евклида.

Сумма углов треугольника в «воображаемой геометрии» всегда меньше180о (рис.6).

Рисунок 6. Треугольник в геометрии Лобачевского.

В плоскости Лобачевского не существует никакого подобия. Ведь все теоремы о подобии выводятся только с помощью аксиомы Евклида о параллельности. Н.И. Лобачевский установил,  что на предельной поверхности, называемой орисферой, внутренняя геометрия является евклидовой.

Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы.

В геометрии Н.И. Лобачевского используются основные понятия Евклида: перпендикуляры, осевые симметрии и повороты. В ней сохраняются свойства равнобедренного треугольника, известные признаки равенства треугольников и другие элементы  «абсолютной  геометрии» [ 2].

В пространстве Лобачевского были выделены криволинейные геометрические образы, подчинённые геометрии Евклида. Этот замечательный результат Лобачевский использовал для вывода тригонометрических соотношений между элементами прямолинейных треугольников в его пространстве. Но итоговые соотношения гораздо сложнее евклидовых. Эти соотношения имеют не только тригонометрические функции углов, не просто длины сторон, а некоторые функции от них [ 4] .

Сделав свое знаменитое открытие, Н. И. Лобачевский не опроверг евклидову геометрию, а лишь раздвинул границы науки, существовавшей в Древнем мире. Любые факты планиметрии Лобачевского не противоречат геометрии Евклида. Однако созданная геометрия существенно отличается от прежней. Лобачевский, очевидно, хотел подчеркнуть противоречие V постулату: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную. И тем самым заменил  евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранил все рассуждения геометрии Евклида.

III. Отзывы и доказательства

В последние годы жизни Лобачевский безуспешно пытался доказать непротиворечивость своей геометрии.

Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель геометрии. В 1868 году (через 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность называемую псевдосферой  и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского (рис.7). [ 5].

В 1868г. Итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского.

Рисунок 7.  Псевдосфера

А через 2 года немецкий математик Клейн предлагает другую модель плоскости Лобачевского (рис.8).

Клейн берет некоторый круг. «Плоскостью» Клейн называет внутренность круга. Далее, каждую хорду круга (без концов, поскольку берутся только внутренние точки круга) Клейн считает «прямой». Теперь в этой «плоскости» можно рассматривать отрезки, треугольники и т. д. Две фигуры называются «равными», если одна из них может быть переведена  в другую некоторым движением. Тем самым введены все понятия, упоминаемые в аксиомах геометрии, и можно проводить проверку выполнения аксиом в этой модели. Например, очевидно, что через любые две точки А, В проходит единственная «прямая». Можно проследить также, что через точку А, не принадлежащую «прямой» а, проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих а. Дальнейшая проверка показывает, что в модели Клейна выполняются и все остальные аксиомы геометрии Лобачевского[ 4]

Рисунок 8. Модель Клейна.

Еще одна модель геометрии Лобачевского была предложена французским математиком А. Пуанкаре  (1854-1912).  Он также рассматривает внутренность некоторого круга. «Прямыми» он считает дуги окружностей, которые в точках пересечения с границей круга касаются радиусов (рис.9) [ 1].

Рисунок  9 . Модель Пуанкаре.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий (рис.10). Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. В связи с этим можно говорить о конце романтического периода в истории геометрии Лобачевского, когда основное внимание исследователей было обращено на ее осмысление с точки зрения оснований геометрии вообще. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского[ 2].

Рисунок 10.  Вильям Паул Тёрстон

Важное замечание, касающееся чертежей, изображающих поведение прямых на плоскости Лобачевского. Как показывают опыты, наше физическое пространство по свойствам или евклидово, или очень мало от него отличается. Оперируя с чертежом, вынуждены ограничиться его малым размером, а отклонение от евклидовости, если оно существует, будет наблюдаться только при очень больших протяжениях. Поэтому для наглядности обычно принято изображать прямые, слегка их искривляя, чтобы отчётливее выразить характер их сближения или расхождения на плоскости Лобачевского. Однако Лобачевский такие вольности себе не разрешал[ 4].

Сколько времени нужно было учёным, чтобы проверить на различных моделях: псевдосфере Клейна, модель Пуанкаре, трёхмерные многообразия математика Тёрстона, что геометрия Лобачевского действует? Какие сомнения возникали у самого Лобачевского в правильности его идей?! Но именно элементы геометрии Лобачевского стали основой таких разделов математики, как теория чисел и теория функций комплексной переменной и многих других.

IV. Значение Неевклидовой геометрии

Новая геометрия явилась чистым порождением разума, отделившейся от окружающей действительности. Поэтому Лобачевский назвал ее «воображаемой». Появление неевклидовой геометрии было важным шагом в превращении математики в науку о логически мыслимых формах и отношениях. Этот процесс шел по всему фронту не только в геометрии, но и в алгебре. Появились теория множеств, математическая логика. В геометрии вскоре за геометрией Лобачевского появилась многомерная евклидова геометрия[ 2].

Лобачевский был назван «Коперником геометрии», но его можно назвать и Колумбом науки, открывшим новую ее область, за которой следовал материк новой геометрии и вообще новой математики. Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной науки.

Открытие новой геометрии стало началом многочисленных исследований выдающихся математиков 19 века. Геометрия послужила толчком к развитию науки, а значит и пониманию мира, который на окружает.

А в начале 20-говека было обнаружено, что геометрия Лобачевского совершенно необходима в современной физике. Например, в теории относительности Эйнштейна, в расчетах современных синхрофазотронов, в космонавтике.

V. Заключение

Создателями неевклидовой геометрии стали такие яркие учёные, как сам Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский. Евклид делал попытки доказать пятый постулат, но у него не получалось. У некоторых учёных открытия в неевклидовой геометрии происходили одновременно, независимо друг от друга.

Н. И. Лобачевский  раздвинул границы науки, существовавшей на тот момент. Любые факты планиметрии Лобачевского не противоречат геометрии Евклида. Однако созданная геометрия существенно отличается от прежней. Лобачевский, очевидно, хотел подчеркнуть противоречие V постулату: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную. И тем самым заменил  евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранил все рассуждения геометрии Евклида.

Много времени понадобилось учёным, чтобы проверить на различных моделях: псевдосфере Клейна, модель Пуанкаре, трёхмерные многообразия математика Тёрстона, что геометрия Лобачевского действует? Какие сомнения возникали у самого Лобачевского в правильности его идей?! Но именно элементы геометрии Лобачевского стали основой таких разделов математики, как теория чисел и теория функций комплексной переменной и многих других.

Лобачевский был назван «Коперником геометрии», но его можно назвать и Колумбом науки, открывшим новую ее область, за которой следовал материк новой геометрии и вообще новой математики. Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной науки.

Открытие новой геометрии стало началом многочисленных исследований выдающихся математиков 19 века. Геометрия послужила толчком к развитию науки, а значит и пониманию мира, который на окружает.

А в начале 20-говека было обнаружено, что геометрия Лобачевского совершенно необходима в современной физике. Например, в теории относительности Эйнштейна, в расчетах современных синхрофазотронов, в космонавтике.

Используемая  литература

1.Лаптев Б.Л. Н.И.Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1976.

2.Шербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. от проективной геометрии – к неевклидовой (вокруг абсолюта): Кн. Для внеклассного чтения. IX, X кл. – М.:     Просвещение, 1979. – 158с., ил.- (Мир знаний)

3.Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/   А.В. Погорелов.-5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.-224 с.

 4. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников А.С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 1 - 146.

 5.http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/67.html

 Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате.

 6. uztest.ru/abstracts/?idabstract=336056

Словарь терминов

1. Пространсто — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… …   Философская энциклопедия

2. Лобачесвского геометрия — геометрия, основанная на тех же основных посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных (см. Пятый постулат). В евклидовой геометрии согласно этой аксиоме на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А А, проходит.

  Математическая энциклопедия

3. Лобачевского геометрия —         геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная Евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит:… …  

 Большая советская энциклопедия

4. Геометрия— раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию.   Энциклопедия

5.  «Плоскостью Лобачевского» (коротко: Л-плоскостью) называется внутренняя область абсолюта.
6.  «Точкой Лобачевского» (коротко: Л-точкой) называется любая евклидова точка M є.
7.   «Прямой Лобачевского» (коротко: Л-прямой) называется любая хорда (без концов) окружности ω.
8.   Прямыми Лобачевского (коротко: Л-прямыми) называются хорды (без концов) абсолюта.