«Использование ключевых фактов при решении экзаменационных заданий по геометрии»

«Использование ключевых фактов при решении экзаменационных заданий по геометрии»

СЛАЙД 1    При повторении тем учащимися с любым уровнем мышления и способностей важно пройти повторение всех ранее известных для них фактов, так как изучение геометрии в течение нескольких лет расширяет восприятие материала, часть свойств и теорем забываются. Багаж знаний, умений, представлений необходимо переосмыслить: уточнить или восполнить. Знания систематизировать и обобщить. Хорошая исследовательская активность поможет выйти на более высокий уровень применения понятий. Начало повторения – замечательные линии и точки треугольника.

СЛАЙД  2

Цель работы: 
Показать возможность самореализации учащихся в процессе учебной деятельности. Развитие математических, интеллектуальных способностей, обобщенных умственных умений.

Задачи: 

1. Приобщение учащихся к работе с математической литературой
2. Умение выделять и осмысливать логические приемы мышления, развитие образного и ассоциативного мышления.
3. Уметь интегрировать знания в процессе исследования заданий сложного уровня для нахождения алгоритма решения и описать решение в виде последовательности применения уже известных приемов.

СЛАЙД 3    Чевиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема Чевы

Если три чевианы треугольника АВС АХ, ВУ, СZ конкурентны (проходят через одну точку), то .

Доказательство.

2. Аналогично, , .
3. Произведение отношений площадей равно 1.

Теорема, обратная к теореме Чевы. Если три чевианы треугольника АВС АХ, ВУ, СZ удовлетворяют условию , то они конкурентны.

B

Задача 1. Медианы треугольника конкурентны.

Доказательство следует из теоремы Чевы при подстановке.

Z

Задача 2.  Высоты треугольника конкурентны.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

X

1. ∆ABX~∆CBZ (прямоугольные треугольники, по острому углу B),

A

C

.

Y

2. ∆ACZ~∆ABY (прямоугольные треугольники, по острому углу A), .
3. ∆BCZ~∆ACX (прямоугольные треугольники, по острому углу C), .
4. Произведение трех этих равенств рано 1.

С помощью теоремы Чевы несложно решить следующую задачу.                                                                                                                                                                                                                                                                          

СЛАЙД 4    Задача 3. Если стороны ∆ и ∆параллельны, то прямые конкурентны. 

СЛАЙД 5 

 Задача 4  (Теорема Стюарта)

Если чевиана делит сторону BC на отрезки m и n, то справедливо равенство: a(p2+mn)=b2m+c2n.

Доказательство.

1. Из ∆АВХ по теореме косинусов:

с² = р²+m²-2pmcos.

Умножим обе части равенства на n. Получим

 с²n = р²n + m²n - 2pmncos.

2. Из ∆АСХ по теореме косинусов:

b² = р²+n²-2pncos(180°-) = p²+n²+2pncos. Умножим обе части равенства на m.

Получим b²m = р²m+n²m+2pmncos.

3. Сложим первое и второе равенства 

с²n+b²m = р²(m+n)+mn(m+n). Обозначим m+n=а,  с²n+b²m = р²а+mnа, тогда a(p2+mn) = b2m+c2n.

Замечание. Если даны a, b, c, p, то можно найти m n. Так как уравнение квадратное, то решений будет два: х и (а-х).

   Точка пересечения медиан в треугольнике – центроид, точка пересечения высот – ортоцентр.

Справедлива Теорема: Медианы треугольника конкурентны, делят его на 6 треугольников равной площади, центроид делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Треугольник, соединяющий основания высот, называется высотным или ортотреугольником. В тупоугольном треугольнике ортоцентр расположен вне треугольника.

СЛАЙД 6

Теорема.   В треугольнике биссектриса внутреннего угла делит противоположную сторону на части, пропорциональным сторонам треугольника.

   Эта теорема рассматривается как задача курса геометрии основной школы.
                                 Можно предложить следующее доказательство.

c

А

b

C

B

                     По теореме синусов:  и . Разделим первое равенство на второе. Доказательство короткое со ссылкой на известную теорему синусов.

Задача.  Биссектрисы треугольника конкурентны.

Доказательство с помощью теоремы Чевы и последней теоремы.

СЛАЙД 7  Задача 5  Найдите отношение площадей данного треугольника и треугольника, образованного медианами данного.

Решение. Пусть S – площадь  исходного треугольника, S1 – площадь треугольника, образованного медианами исходного треугольника. S2=S1, но S2=S1, S1=.

Ответ:.

Задача 6    Построить треугольник по известным длинам его медиан.

Решение.   Используя свойство медиан,  несложно построить треугольник, подобный искомому,  со сторонами, длины которых равны медиан.

С помощью равенства треугольников решаем следующую задачу 7 .

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный.

И задачу 8 : Если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный (по катету и острому углу).

СЛАЙД 8

Лемма 1    Если две хорды окружности стягивают различные вписанные углы в окружности. То меньшему углу соответствует меньшая хорда. (центральные углы:  1меньше 2).

Лемма 2     Если треугольник имеет два неравных угла, то меньший угол имеет большую биссектрису.  

Задача 9  (Теорема Штейнера-Лемуса)      

Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.  

Доказательство. Предположим, что углы в треугольнике не равны. Тогда по лемме 2 у него две неравные биссектрисы. Противоречие.

СЛАЙД 9

Задача 10  Выразить медиану треугольника через длины его сторон.                                                                       По теореме Стюарта .

     ma

c

b

                                                   ,  

.

СЛАЙД 10   Важно рассмотреть вписанные и

вневписанные окружности.

Вписанная окружность

СЛАЙД 11  Вневписанные окружности

Касательные из вершин треугольника к дальним

окружностям AYa=AZa=p

 Касательные из вершин треугольника к ближним окружностям AZb=Ayb=BZa=BXa= p-c.

 На чертеже три вневписанные окружности. Биссектрисы треугольника АВС – это высоты треугольника .

СЛАЙД 12

Углы при пересечении высот

1. Ортоцентр – центр вписанной окружности ортотреугольника
2. ∆ AC’B’ подобен ∆ABC с коэффициентом cos A. 
   Аналогично ∆ A’C’B подобен ∆ABC с коэффициентом cos B.  ∆ A’CB’подобен ∆ABC с коэффициентом cos C .
3. Угол 1 = 90°- С, угол 2 = 90°-А, угол 3 = 90°-В.

СЛАЙД 13    

Ортотреугольник (тупоугольный случай)

Н – ортоцентр, ∆АВС подобен ∆A’B’C с коэффициентом

k = cos H = cos (180°-B) = -cos B.

Задача 11  (КИМ, С4)

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

Решение. 1. СН – диаметр описанной окружности около НА'CB'. Следовательно, и около треугольника СА'B' и радиус для треугольника АВС по условию задачи.  2. ∆ ABС подобен ∆ A'СB' (по трем углам). k =. < С = 60°.

Ответ: а) 60° для остроугольного треугольника,

б) 120° для тупоугольного треугольник

( k=. Угол B равен 120° )

Задача 12  (КИМ, С4)

Точки А', B', С' – основания высот треугольника АВС. Углы треугольника А'B'С' равны 90°, 60°, 30°. Найдите углы треугольника АВС.

Решение. 1 случай (для остроугольного треугольника)

.

2 случай (для тупоугольного треугольника).

Всего же в задаче четыре решения!

Решения для ∆ ABС, ∆ ABН, ∆ B'НС.

а) Найдем углы ∆ ABС.  30°, 15°, 45°.

180°- (30° + 15°) = 135°.  Имеем 135°, 30° и 15°.

б) 180°- (15° + 45°) = 120°.  Имеем 120°, 15° и 45°.

в) 180°- (30° + 45°) = 105°.  Имеем 105°, 30° и 45°.

Ответ: 45°, 60° и 75°; 135°, 30° и 15°; 120°, 15° и 45°; 105°, 30° и 45°.

Задача 13  (КИМ, С4)

В треугольнике ABС проведены высоты ВМ и СТ, О - центр вписанной окружности. Известно, что ВС = 24, МN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BОС.

Решение.

1. ∆ ABС подобен ∆ МОN с k = cos A=, т.к. величина угла А равна 60°.
2. . Тогда  

. Радиус будет один и тот же из теоремы синусов для треугольников со стороной 24 и противолежащим углом 120°. R=.

Для тупоугольного треугольника .

R=,  R = 24.

Ответ: , 24.

СЛАЙД 14

   При использовании основных свойств, теорем, соотношений решение сложных заданий по геометрии возможно. Рассматривая один из случаев решения,  анализируем  возможности других решений. Как правило, эти задачи имеют два решения. Специальные теоремы и свойства упрощают решение во много раз. Справившиеся с С2, С4 получают хорошие баллы на итоговой аттестации. Зная теоретические моменты, необходимо научиться видеть в заданиях их применения. Навык придет постепенно, старшеклассникам необходимо постоянно решать и разбирать разнообразные задачи такого уровня.

Литература

1. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. – М.: МЦНМО, 2011
2. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия, 7-9. - М.:Просвещение, 2010
3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия, 10-11. -М.:Просвещение, 2009
4. Блинков А.Д., Блинков Ю.А. Геометрические задачи на построение. - М.: МЦНМО, 2010
5. Математика. 8-9 классы: элективный курс «Избранные задачи по планиметрии»/ авт.-сост. Л.Н.Харламова. – Волгоград: Учитель, 2007.

Конкурс научных проектов школьников

в рамках научно-практической конференции «Эврика»

 Малой академии наук учащихся Кубани  

Направление «Математика и информационные технологии»

Секция «Математика»

Использование ключевых фактов при решении экзаменационных заданий по геометрии

Жданова Наталья,

учащаяся 10 «А» класса  

МБОУСОШ №2,

Апшеронский район

2013 г.