Золотое сечение в живописи

Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них – это

теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и

крайнем отношении. Первое можно представить мерой

золота; второе же больно напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер

1. Введение.

                                         Актуальность исследования.

     При изучении школьных предметов имеется возможность рассмотреть взаимосвязи между понятиями, принятыми в различных областях знаний, и процессами, протекающими в природной среде; выяснить связь между математическими законами и свойствами и закономерностями развития природы. С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного сформировалось в отдельную ветвь науки – эстетику. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, ее основных законов организации.

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по-разному – «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Классическими проявлениями золотого сечения являются предметы обихода, скульптура и архитектура, математика, музыка и эстетика. В предыдущем столетии с расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология и астрономия.

Огромный интерес у меня и моих сверстников вызвал принцип «золотой пропорции». Интерес к этой древней пропорции то утихает, то разгорается с новой силой. А на самом деле мы встречаемся с золотым сечением каждый день, но не всегда замечаем это. В школьном курсе геометрии мы познакомились с понятием пропорции. Мне захотелось подробнее узнать о применении этого понятия не только в математике, но и в нашей повседневной жизни.

Предмет исследования:

Отображение «Золотого сечения» в аспектах деятельности человека:

1.Геометрия;   2. Живопись;    3. Архитектура;  4. Живая природа (организмы);  5. Музыка и поэзия.

Гипотеза:

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение.

Задачи:

1.Рассмотреть понятие  «золотое сечение» (немного об истории), алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».

2.Рассмотреть «золотое сечение» как гармоническую пропорцию.

3.Увидеть в окружающем меня мире применение этих понятий.

Цели:

1.показать на материале от античных времен до наших дней пути  взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер  человеческой культуры – науки и искусства;

2.расширить представление о сферах применения математики;

3.показать, что фундаментальные закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т.д.

Методы работы:

Сбор и анализ информации.

Самостоятельное исследование (индивидуально и в группе).

Обработка полученной информации и её наглядное представление в виде таблиц и диаграмм.

           2.Золотое сечение. Применение золотого сечения в математике.

                           2.1  Золотая пропорция. Общие сведения.

    В математике пропорцией (лат. proportion) называют равенство двух отношений: а:b = с:d.

Рассмотрим отрезок. Его можно разделить точкой  на две части бесконечным множеством способов, но только в одном случае получается золотое сечение.

      Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как  сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

 а:b = b:с или  с:b = b:а. (рис.1)               

Выясним, каким числом выражается золотое сечение. Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. (рис.2)

  Разобьём этот отрезок на две неравные части. Большую из них обозначим через «х».  Тогда меньшая часть равна 1-х.

В пропорции,  как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и эту пропорцию перепишем в виде:  х2 = (1-х)∙1

Решение задачи сводится к уравнению х2+х-1=0, длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней х1= и х2= следует выбрать положительный корень .
= 0.6180339.. – число иррациональное.

   Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего

отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62. Такое отно-

шение и будет золотым.

      Полученное число  обозначается буквой j. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия (родился в начале 5 века до н.э.), который часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Если ≈ 0,62, то 1-х ≈ 0,38, таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

                          2.2.   История «Золотого сечения»

 Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В начале 20-го века в Саккаре (Египет) археологи вскрыли склеп, в котором были погребены останки древне-египетского зодчего по имени Хеси-Ра. В литературе это имя часто встречается как Хесира. Предполагается, что Хеси-Ра был современником Имхотепа, жившего в период правления фараона Джосера (27-й век до н.э.), так как в склепе обнаружены печати фараона.  Из склепа наряду с различными материальными ценностями были извлечены деревянные доски-панели, покрытые великолепной резьбой. (Рис.5)

   В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро дел ла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии.  В 1509г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции.

2.4.  Золотая пропорция и связанные с нею соотношения.

Вычислим число обратное по отношению к числу φ:

1:()==  ∙=

Обратная величина обычно обозначается как Ф ==1,6180339..≈ 1,618. 

        Число j - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.

=

        Обратим внимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:

Ф2=()2====    и     Ф+1=

Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу».

2.4.1. «Золотой» прямоугольник.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е.

отношение ширины к длине даёт число φ, называется золотым прямоуголь-

ником.

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: об-

ложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов,

экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.

Свойства «Золотого» прямоугольника.

1. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и в (где, а>в) отрезать квадрат со стороной в, то получится прямоугольник со сторонами в и а-в, который тоже золотой. Продолжая этот процесс, мы каждый раз будем получать прямоугольник меньших размеров, но опять золотой.
2. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется «золотой спиралью». Точка, с которой она начинает раскручиваться называется полюсом. (Рис.7 и рис.8)                                  

2.4.2. «Золотой треугольник».

Это равнобедренные треугольники  у которых отношение длины боковой стороны к длине основания равняется Ф. Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при его основании равны длине самого основания. (Рис.9)

2.4.3. Пентаграмма.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый: (рис.10 и рис.11)

Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все  диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

 Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Звездчатый пятиугольник называется  пентаграмма (от слова «пенте» – пять).

       Правильные многоугольники  привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

4.2. Золотое сечение и восприятие изображений.

О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение дает ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции.

1. Участниками исследования стали мои одноклассники, которым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. (Рис.12)

Из набора прямоугольников было предложено выбрать те, которые испытуемые сочтут самыми красивыми по форме. Большинство опрошенных (23%) указали на фигуру, стороны которой соотносятся между собой в пропорции 21:34. Соседние фигуры (1:2 и 2:3) также были оценены высоко соответственно 15 процентов верхняя фигура и 17 процентов – нижняя, фигура 13:23 – 15%. Все остальные прямоугольники получили не более 10 процентов голосов каждый. Этот тест - не только чисто статистический эксперимент, он отражает реально существующую в природе закономерность. (Рис.13 и рис.14)

2.При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению (3:5), а также в отношении 1:2 и 3:4.

                                    5.Золотое сечение в живописи.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. (Рис.15)

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, картины необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

 Ниже, приведены различные варианты сеток, созданных по правилу «Золотого сечения», для различных композиционных вариантов.

Базовые сетки, выглядят как на рис.16.

Мастера Древней Греции, умевшие сознательно пользоваться золотой пропорцией, что, в сущности, весьма просто, умело применяли ее гармонические величины во всех видах искусства и достигли такого совершенства строения форм, выражающих их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в Древнем Египте. Я покажу это на примере таких живописцев как: Рафаэль, Леонардо да Винчи, Шишкин.

ЛЕОНАРДО да ВИНЧИ (1452 – 1519)

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность  одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) рис.17 долгие годы привлекает внимание  исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

 “Тайная вечеря” (рис.18)

— самое зрелое и законченное произведение Леонардо. В этой росписи мастер избегает всего того, что могло бы затемнить основной ход изображенного им действия, он добивается редкой убедительности композиционного решения. В центре он помещает фигуру Христа, выделяя ее просветом двери. Апостолов он сознательно отодвигает от Христа, чтобы еще более акцентировать его место в композиции. Наконец, в этих же целях он заставляет сходиться все перспективные линии в точке, непосредственно расположенной над головой Христа. Учеников Леонардо разбивает на четыре симметрические группы, полные жизни и движения. Стол он делает небольшим, а трапезную — строгой и простой. Это дает ему возможность сосредоточить внимание зрителя на фигурах, обладающих огромной пластической силой. Во всех этих приемах сказывается глубокая целеустремленность творческого замысла, в котором все взвешено и учтено..."

РАФАЭЛЬ (1483 – 1520)

В отличие от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру "Избиение младенцев".

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль!

«Избиение младенцев»  Рафаэль. (Рис.19)

                                             Заключение.

   Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний. Её пытались изучить многие известные ученные и гении: Аристотель, Геродот, Леонардо Да Винчи, но никому полностью этого сделать не удалось. В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки и искусства, в которых отражается эта пропорция: архитектура, музыка, живопись, скульптура, природа. В своей работе я хотела продемонстрировать красоту и широту « Золотого сечения» в реальной жизни.   Я поняла, что мир математики приоткрыл мне одну из удивительных тайн, которую я постаралась раскрыть в своей работе, кроме того, эти вопросы  выходят за рамки школьного курса, они способствуют совершенствованию и развитию важнейших математических умений.   Я собираюсь продолжать свои исследования и дальше, и искать еще более интересные и удивительные факты. Но изучая закон золотого сечения важно помнить, что он не является обязательным во всем, что мы встречаем в природе, а символизирует идеал построения. Небольшие несоответствия идеалу – это то, что делает наш мир таким разнообразным.

                 Библиография:

1.   Энциклопедия для детей.- «Аванта+».-Математика.-685стр.-Москва.-1998г.
2. Ю.В. Келдыш. – Музыкальная энциклопедия. – Издательство «Советская энциклопедия». – Москва. – 1974г. – стр.958.
3. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
4. http://www.sotvoreniye.ru/articles/golden_ratio2.php
5. http://sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/zolsech/zolsech2.htm
6. http://imagemaster.ru/articles/gold_sec.html
7. Васютинский Н. Золотая пропорция, Москва «Молодая гвардия», 1990 год.
8. Газета «Математика», приложение к учебно-методическому пособию «Первое сентября».-М.: издательский дом «Первое сентября», 2007.
9. Депман И.Я. За страницами учебника математики, - М. Просвещение, 1989
10. Геометрия: Красота и гармония. Сост. Л.С. Сагатеолва, В.Н. Студенецкая, Учитель, Волглград, 2006.
11. И. Шмелев, "Феномен Древнего Египта" (1993).

(Я – исследователь. История открытий)                                                                                                

Тибайкина  Юлия Витальевна

Ставропольский край, г. Благодарный

МКОУ «СОШ № 9»,  9 класс

Золотое сечение в живописи.

                                          Приложение к проекту «Золотое сечение».

рис. 1

 Рис. 2

 рис.4

  Рис. 6. Античный циркуль золотого сечения

 Рисунок 5. Панели Хеси-Ра.

рис.7рис.8

рис.9                рис.10

рис.11  

                                                                                                                           Рис.12

рис.13

рис.14

 рис.15

(рис.16)

   рис.17                    

Рис .18

  рис.19