Опорный конспект по теме "Ряды"

РЯДЫ

ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ

(если все члены ряда положительные числа)

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ

(если два рядом стоящие члена ряда имеют разные знаки)

Признак Лейбница

Если все члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел n–ого члена равен нулю, то данный ряд сходится

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин слагаемых, то сходится и данный ряд.

Абсолютная сходимость

Если знакочередующийся ряд сходится, и ряд, составленный из его модулей, сходится, то говорят ряд сходится абсолютно

Условная сходимость

Если знакочередующийся ряд сходится, и ряд, составленный из его модулей, расходится, то ряд сходится условно

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера к нулю

Если , то ряд расходится

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

1. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов заведомо сходящегося ряда

2. Исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены ряда (если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2))

Ряды, используемые для сравнения.

а) Геометрический ряд

б) Гармонический ряд

в) Обобщенный гармонический ряд

+…

Если k=1, то ряд становится гармоничным, => расходится;

Если k<1, то члены данного ряда будет соответствовать членам гармонического ряда, => расходится;

Если k>1, то мы имеем геометрический ряд, у которого  , =>ряд сходящийся

Признак Даламбера

Если для ряда с положительными членами выполняется условие

k>1-расходится; k<1-сходится

k=1-признак не работает.

Радикальный признак Коши

Если все члены ряда знакоположительные, то

k<1, ряд сходится

k>1, ряд расходится

РЯДЫ

ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ

(если все члены ряда……………)

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ

(если два рядом стоящие члена ряда………)

Признак Лейбница

.

Абсолютная сходимость

………………………………………………………………………………………………………………………… то говорят ряд сходится абсолютно

Условная сходимость

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….., то ряд сходится условно

Если ряд сходится, то его общий член стремится ……………………………………………………………………………………

………………

Если , то ряд …………………………………………………………

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

1. Исследуемый ряд сходится, если ………………………………………………………………………………………………

2. Исследуемый ряд расходится, ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ряды, используемые для сравнения.

а) Геометрический ряд

 …………………………………………………….

б) Гармонический ряд

в) Обобщенный гармонический ряд

+…

Если k=1, то ряд становится гармоничным, => ……………………………….;

Если k<1, то член данного ряда будет соответствовать членам гармонического ряда, => ………………………;

Если k>1, то мы имеем геометрический ряд, у которого  , =>ряд ……………………………………….

Признак Даламбера

Если для ряда с положительными членами выполняется условие

k>1-…………; k<1-……………..

k=1-признак не работает.

Радикальный признак Коши

Если все члены ряда знакоположительные, то

k<1, ряд ………………….

k>1, ряд …………………..