Исследование зависимости периодов колебаний различных механических колебательных систем от начальных параметров

Управление образования

Администрации Еткульского района

Челябинской области

Исследование зависимости периодов колебаний различных механических колебательных систем от начальных параметров

Творческая проектная работа

1. Авторы

Жарков Евгений

Субботин Дмитрий

МКОУ Таяндинская СОШ

11 класс

Научный руководитель:

Орзуева Наталья Анатольевна,

учитель физики,

МКОУ Таяндинская СОШ

Таянды – 2013 г.

Содержание

1. Введение                                                                                2
2. Механические колебания

1. Виды колебаний                                                                3
2. Динамика периодического движения                                        3
3. Гармонические колебания                                                        4

3.1. Гармонические колебания и способы их описания                        4

3.2. Определение гармонических колебаний                                        5

3.3. Колебания под действием силы упругости                                6

3.4. Колебания под действием силы тяжести                                        7

3.5. Законы колебания математического маятника                                7

2. 3.6. Фигуры Лиссажу                                                                8

3. Заключение                                                                        9
4. Литература                                                                        10
5. Приложение        

1. Лабораторная работа №1
2. Лабораторная работа №2
3. Лабораторная работа №3
4. Лабораторная работа №4
5. Лабораторная работа №5
6. Лабораторная работа №6
7. Лабораторная работа №7
8. Лабораторная работа №8

I.Введение

Мы заинтересовались колебательными процессами потому что, колебания широко распространены в природе и технике.

Движение маятника в часах, землетрясение, переменный ток в электрической цепи, процессы радиопередачи и радиоприема – это различные, не связанные друг с другом процессы. Каждый из них имеет свои особые причины, но их объединяет один признак – признак общности характера изменения физических величин с течением времени. Эти и многие другие процессы различной физической природы во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать как один особый тип физических явлений – колебания.

Во многих случаях колебания играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, при прохождении поезд через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета (фляттер) – все это процессы, которые могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или, во всяком случае, воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров. Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

Общий признак физических явлений, называемых колебаниями – это их повторяемость во времени. При различной физической природе многие колебания происходят по одинаковым законам, что позволяет применять общие методы для их описания и анализа.

Эту тему мы считаем актуальной для себя, потому что, прочитав учебники физики за за курс школы, не нашли ответы на многие вопросы. С этого и началось мое исследование.

Эту тему я считаю актуальной для других учащихся, потому что они могут повторить эксперименты и подтвердить или опровергнуть мои выводы. Также лабораторные работы помогут в подготовке к олимпиадам.

Отсюда и цель наей работы: Исследовать свободные колебания различных механических колебательных систем;

Исходя из цели, были сформулированы ряд задач:

1. Изучить специальную литературу с целью определения степени теоретической разработки данной темы.
2. Изучить уровень теоретической разработки опытов по исследованию колебательных систем.
3. Исследовать зависимость периодов колебаний различных систем от их начальных параметров.

Для достижения поставленной цели мною проведена следующая работа:

Во-первых, с целью определения степени теоретической разработки данной темы, изучена специальная литература.

В пособии Тарасовых Л. В. и А.Н. «Вопросы и задачи по физике» подробно разбирается большое число вопросов и задач по данному разделу физики. В книге Кабардиных О. Ф. и С. И. “Методика факультативных занятий по физике” предлагаются возможные варианты постановки опытов и выполнения лабораторных работ, содержаться указания по выполнению индивидуальных заданий исследовательского и конструкторского типов. Больше всего мне понравилось учебное пособие Ландсберга глубиной изложения физической стороны рассматриваемых процессов и явлений в природе и технике.

Во-вторых, проведена экспериментальная работа по изучению зависимости периодов колебаний систем от начальных условий.

II. Механические колебания

1. Виды колебаний

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются такие колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого–либо параметра системы.

2. Динамика периодического движения

Принципиально возможны два варианта колебаний в системе: под действием внешних и внутренних сил.

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. Примером вынужденных колебаний является раскачивание боксерской груши при периодических ударах в нее. К вынужденным колебаниям относится движение иглы швейной машины.

Свободные (собственные) колебания – колебания, происходящие под действием внутренних сил в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Такими колебаниями являются, например, колебания маятника часов. Главной особенностью систем, в которых происходят свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия.

Необходимые условия для возникновения свободных колебаний:

а) Наличие энергии, избыточной по сравнению с энергией системы в положении устойчивого равновесия;

б) Работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии.

В отсутствии этих условий колебания быстро затухают или не возникают вообще.

При рассмотрении колебательного движения используют термины. Самыми основными являются период колебаний и амплитуда колебаний.

Период колебаний – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.

Амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия 6, с. 56.

3. Гармонические колебания

3.1. Гармонические колебания и способы их описания

Из большого числа различных колебаний в природе и технике особенно часто встречаются гармонические колебания. Гармоническими называют колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса: Х=Х cos (wt+) или Х=Х sin (wt+),

Где Х – величина, испытывающая колебания; t – время; w – амплитуда колебаний.

Наряду с аналитическим способом описания гармонических колебаний широко используют графические способы их представления.

Первый способ – задание графика колебаний в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают время. А по оси ординат – значение изменяющейся величины Х. Для гармонических колебаний этот график – синусоида или косинусоида.

                        X

        t

Второй способ представления колебательного процесса – спектральный. По оси ординат отсчитывают амплитуду, а по оси абсцисс – частоту гармонических колебаний. Гармонический колебательный процесс в этом случае представлен вертикальным прямой длиной Х, проведенным из точки с координатой w на оси абсцисс.

                Х

                                W0                w

Третий способ описания гармонических колебаний – метод векторных диаграмм.

3. 3.2. Определение гармонических колебаний

«Существуют два определения гармонических колебаний. В первом случае гармонические колебания определяются по тому признаку, как именно они происходят, во втором – какой причиной они обуславливаются. Иначе говоря, если первое определение использует пространственно-временное (кинематическое) описание колебаний, то второе – причинное (динамическое).

Гармоническими называются колебания, которые происходят по закону синуса.

Гармоническими называются такие колебания, для которых возвращающая сила прямо пропорциональна отклонению тела от положения равновесия.

Эти определения не эквивалентны, причем более предпочтительно первое (кинематическое), оно более полно. Так как характер движения тела в данный момент определяется не только силами, действующими на тело в этот момент, но и начальными условиями, т.е. положением и скоростью тела в начальный момент. Это утверждение означает, что характер колебаний определяется не только возвращающей силой, но и теми условиями, при которых эти колебания начались. Очевидно, что колебания можно возбудить различным образом. Например, можно отклонить тело от положения равновесия на некоторое расстояние и затем спокойно отпустить его, оно начнет колебаться. При этом расстояние, на которое отклонено тело, будет являться амплитудой колебаний. Можно отклонять тело на различные расстояния от положения равновесия, тем самым, задавая различные амплитуды колебаний. Другой способ возбуждения колебаний состоит в том, чтобы телу, находящемуся в положении равновесия, сообщить некоторую начальную скорость (толкнуть его), тело начнет колебаться. При этом в зависимости от сообщенной телу начальной скорости получим ту или иную амплитуду колебаний. Очевидно, что этой величиной распоряжаемся мы сами, когда тем или иным способом возбуждаем колебания. Возвращающая сила определяет круговую частоту или, период колебаний тела. Можно сказать, что период колебаний есть собственная характеристика колеблющегося тела, тогда как амплитуда и начальная фаза зависят от внешних условий, возбудивших данные колебания.

Возвращаясь к определениям гармонических колебаний. Мы видим, что динамическое определение не содержит никаких сведений ни об амплитуде, ни о начальной фазе колебаний, тогда как кинематическое определение содержит сведения об этих величинах» 1, с 87-90.

4. 3.3. Колебания под действием силы упругости

Рассмотрим колебания пружинного маятника. Он состоит из массивного тела, надетого на пружину, один конец которой закреплен. Если оттянуть тело из положения равновесия и затем отпустить его, то оно будет совершать колебания около положения равновесия.

Какова причина этих колебаний? Отклоняя тело от положения равновесия, мы растягиваем пружину; при этом возникает сила упругости, стремящаяся вернуть пружину в положение равновесия. Под действием этой силы тело будет двигаться ускоренно. Достигнув положения равновесия, шар не остановится, хотя в этом положении  на него не будет действовать сила; двигаясь по инерции, оно пройдет положение равновесия и начнет сжимать пружину. Возникшая сила упругости будет препятствовать сжатию пружины, вследствие чего тело, достигнув некоторого положения, остановиться. Затем под действием  силы упругости сжатой пружины тело будет двигаться ускоренно вниз; по инерции оно опять перейдет положение равновесия и снова окажется в нижней точке, совершив, таким образом, одно полное колебание. Дальше все будет повторяться.

Итак, причинами колебаний тела на пружине являются сила упругости, возникающая при растяжении и сжатии пружины, и инерция шара.

Измерения показывают, что при увеличении смещения колеблющегося тела сила упругости пружины возрастает пропорционально смещению. Значит, если сместить тело на расстояние х от положения равновесия, то величина силы F, возвращающей его в это положение, определиться из равенства: F=kx,        (1) где k – коэффициент пропорциональности – постоянная для данной пружины величина, численно равная силе, которая растягивает пружину на единицу длины. При этом сила всегда направлена к положению равновесия, смещение же отсчитывается от положения равновесия, т.е. направлено в сторону, противоположную силе. Чтобы отразить это в формуле надо правую часть равенства взять со знаком минус: F=- kx.        (2)

Периодические колебания, которые совершаются под действием силы, пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия, называются гармоническими (или простыми) колебаниями.

Согласно второму закону Ньютона. F=ma, где а – ускорение движения тела под действием силы F. Если в формулу (2) подставить вместо F произведение ma, то получим: ma=-kx, откуда: а=-kx/m.

Полученное выражение для ускорения позволяет определить гармоническое колебание следующим образом: при гармоническом колебании ускорение всегда прямо пропорционально величине смещения и противоположно ему направлено.

Упругие колебания представляют собой чрезвычайно распространенный и важный вид  колебаний. К числу их относятся, например, колебания под действием нагрузок частей машин, строительных балок, рессор; к ним же относятся звуковые колебания 3, с. 35.

5. 3.4. Колебания под действием силы тяжести

Маятником может быть любое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находиться ниже точки подвеса. Очень удобным для многих опытов маятником может быть металлический шарик, подвешенный на нити.

Выведем такой маятник из положения равновесия и отпустим его – он будет колебаться. Рассмотрим причину этих колебаний.

Когда маятник покоится в положении равновесия, сила тяжести, действующая на тело, уравновешена натяжением нити. В отклоненном же положении сила тяжести и сила натяжения нити действуют на тело под углом друг к другу. Равнодействующая этих сил всегда направлена к положению равновесия; и величина ее будет тем больше, чем больше отклонен маятник от положения равновесия. Равнодействующая возвращает маятник к положению равновесия, обусловливая его колебания.

Когда маятник движется от положения равновесия, равнодействующая замедляет его движение тем сильнее, чем дальше он отклоняется. Когда же маятник начинает обратное движение к положению равновесия, равнодействующая начинает играть роль ускоряющей силы. Маятник не остановится в положении равновесия, а по инерции пройдет его и продолжит движение до полной остановки. Затем все повторится 3, с37.

Таким образом, при малых амплитудах колебания маятника под действием силы тяжести являются гармоническими, или простыми, колебаниями.

3.5. Законы колебания математического маятника

Количественные соотношения, характеризующие колебательные движение, проще всего установить для так называемого математического маятника.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, нерастяжимой и невесомой нити. Естественно, что на практике мы можем только с той или иной степенью точности приближаться к этому идеальному случаю. Реальной моделью математического маятника в моих опытах служит небольшой металлический шарик, подвешенный на тонкой упругой нити. Размеры шарика должны быть малы сравнительно с длиной нити. Это дает возможность считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке, в центре тяжести шарика.

Подвесим к стойке один из таких маятников длиной около 1 м и, отведя его от положения равновесия на небольшой угол, определим, за какое время он сделает, например, 50 колебаний. Уменьшим угол отклонения (начальную амплитуду) и снова определим время, в течение которого шарик сделает 50 колебаний. Оказывается, что и при уменьшенной амплитуде шарику понадобилось для 50 колебаний то же время, что и при большей амплитуде. Меняя в небольших пределах амплитуду колебаний, можно установить, что период колебания маятника при небольших амплитудах не зависит от амплитуды колебания.

Это свойство маятника, открытое впервые Галилеем, называется изохронностью. Оно дало возможность применить маятник в часах.

Проведем следующий эксперимент: подвесим к стойке на длинных нитях два одинаковых шарика, сделанных из разных материалов, например стальной и свинцовый, так, чтобы длины полученных маятников были одинаковы. Отклоним оба маятника от положения равновесия на один и тот же угол. Они колеблются синхронно, т. е. периоды колебания их одинаковы, хотя массы маятников разные. Меняя как угодно массы маятников, можно убедиться, что период колебания не зависит от массы маятника.

Голландский ученый Гюйгенс, исследуя законы колебания маятника, установил, что период колебания математического маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения силы тяжести:

T=2π

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.

Таким образом, маятник является наиболее простым, удобным и точным прибором для определения ускорения силы тяжести. Наличие в каком–нибудь месте Земли залежей ископаемых, отличающихся по плотности от окружающих их пород, сказывается на изменении величины ускорения g в этом месте. Действительно, ускорение g обусловлено силой тяготения, а последняя будет тем больше, чем больше притягивающая масса Земли 3, с.40.

2. 3.6. Фигуры Лиссажу

Сделаем такой маятник: Возьмем нитку, сложим ее пополам, а к середине привяжем еще одну нитку. К другому концу этой второй нитки прикрепим какой–нибудь предмет и маятник готов. Подвесим маятник за оба конца сложенной пополам нитки на кнопках или гвоздиках в дверной проем. Если теперь отклонить маятник от положения равновесия и затем отпустить, то маятник будет двигаться по эллипсу, причем этот эллипс будет постоянно меняться, вытягиваясь, то в одну, то в другую сторону.

Кривые, которые описывает этот маятник, называются фигурами Лиссажу, по имени французского физика Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их.

Фигура Лиссажу – это траектория тела, участвующего одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний. Соотношение частот можно варьировать, меняя отношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса. При этом вычислить частоты колебаний маятника довольно сложно, а увидеть фигуры, вычерчиваемые им, значительно проще. Получившиеся кривые как бы вписаны в параллелограмм. На самом деле они должны быть вписаны в прямоугольник.

В опытах с маятником следует учитывать, что более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с малой массой груза и достаточно большим объёмом будут быстро затухать.

Фигуры Лиссажу неизбежно появляются при настройке осциллографа. 9, с. 77

6. III. Заключение

В своей работе мы рассматривали свободные колебания.

Исследуя математический маятник, мы пришли к выводу, что период колебаний не зависит от угла отклонения маятника и его начальной амплитуды, а зависит только от длины маятника Приложение I, лабораторные работы № 1 - 2.

Рассматривая колебания тела на пружине, сделали вывод о том, что период колебаний не зависит от начальной амплитуды, а зависит только от жесткости пружины (обратная пропорциональность) и массы тела (прямая пропорциональность) Приложение I, лабораторные работы № 3 - 5

Затем мною были рассмотрены колебания груза на пружинах соединенных последовательно и параллельноПриложение I, лабораторные работы № 6, 7.

А также нами были исследованы колебания груза на резиновом шнуре. Особенность колебаний груза на резиновом шнуре связана с тем, что жесткость шнура с увеличением деформации изменяется. Поэтому зависимость периода от массы не получается. Необходимо в формулу T=2π m/k подставлять различные значения жесткости шнура при разных значениях массы грузовПриложение I, лабораторная работа № 8.

Приложение I

Лабораторная работа № 1

«Исследование периода колебаний математического маятника от длины нити»

Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различной длине нити подвеса.

Оборудование: металлический шарик на  закрепленной нити.

Ход работы:

Вывод: период колебаний математического маятника зависит от длины маятника. Чем короче нить подвеса, тем меньше период и наоборот.

Лабораторная работа №2

«Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от угла отклонения»

Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различных углах отклонения.

Оборудование: металлический шарик на  закрепленной нити.

Вывод: период колебаний математического маятника не зависит от угла отклонения и является величиной постоянной для данной длины маятника.

 Лабораторная работа №3

«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»

Цель: Изучить зависимость периода колебаний груза на пружине от жесткости пружины.

Оборудование: груз известной массы, пружины различных жесткостей.

Ход работы.

Вывод: период колебания груза на пружине зависит от жесткости этой пружины, т.е. чем выше жесткость пружины тем период колебаний меньше.

Лабораторная работа №4

«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»

Цель: Изучить зависимость периода колебаний груза на пружине от массы груза.

Оборудование: грузы различных масс, пружина известной жесткости.

Ход работы.

Вывод: период колебания груза на пружине зависит от массы груза, т.е. чем больше масса груза, тем период колебаний больше.

Лабораторная работа №5

«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»

Цель: Изучить зависимость периода колебаний груза на пружине от амплитуды колебаний.

Оборудование: груз известной массы, пружина известной жесткости.

Ход работы.

Вывод: период колебания груза на пружине не зависит от амплитуды этих колебаний.

Лабораторная работа №6

«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»

Цель: Рассчитать и измерить периоды колебаний груза на двух пружинах соединенных  последовательно.

Оборудование: набор грузов известной массы, две пружины, линейка масштабная, часы с секундной стрелкой.

Описание работы. При последовательном соединении пружин, жесткость которых k1 и k2, общая деформация пружин  х равна сумме деформаций х1и х2 каждой пружины:

            х=х1+х2.

Так как сила упругости F в обеих пружинах одинакова, то по закону Гука можно записать: F/k=F/k1+F/k2 , откуда следует:  1/k=1/k1+1/k2; k=k1k2/(k1+k2).  

Тогда период колебаний груза массой m подвешенного на последовательно соединенных пружинах, равен Т1=2 , где k=k1k2/(k1+k2).  

Вывод: результаты эксперимента практически совпадают с расчетными значениями, таким образом подтверждая теорию.

Лабораторная работа №7

«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»

Цель: Рассчитать и измерить периоды колебаний груза на двух пружинах соединенных  параллельно.

Оборудование: набор грузов известной массы, две пружины, линейка масштабная, часы с секундной стрелкой.

При параллельном соединении пружин общая сила упругости F равна сумме сил упругости F1 и F2 каждой пружины: F=F1+F2.

При одинаковой деформации обеих пружин х по закону Гука можно записать:

kx=k1x+k2x и   k=k1+k2.

Период колебаний груза массой m на таких пружинах равен

T2=2 )

Результаты расчета периодовТ1 и Т2 колебаний проверяются экспериментально путем измерения времени t, за которое совершается n колебаний:

Т=t/n

Вывод: результаты эксперимента практически совпадают с расчетными значениями, таким образом подтверждая теорию.

Лабораторная работа №8

Цель: Исследовать зависимость периода колебаний груза на резиновом шнуре от массы                                                                                                                                                                                                                                  

  груза. Дать объяснение полученным результатам.    

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, резиновый шнур из набора для авиамоделей,  набор грузов, секундомер, линейка.

Вывод: Особенность колебаний груза на резиновом шнуре связана с тем, что жесткость шнура с увеличением деформации изменяется. Поэтому зависимость T=const  m не получается. Необходимо в формулу T=2π  m/к                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

           Подставлять различные значения жесткости шнура при разных значениях массы грузов.

7. IV. Литература

1. Тарасов Л.В., Тарасова А.Н. Вопросы и задачи по физике (Анализ характерных ошибок поступающих во втузы).- М.: Высшая школа, 1990. – 256 с.
2. Кабардин О. Ф., Кабардина С. И. Методика факультативных занятий по физике. – М.: Просвещение, 1988 - 240 с.
3. Перышкин А. В. Курс физики для 9 кл. – М.: Учпедгиз, 1962. – 234с.
4. Мякишев Г. Я. Буховцев Б. Б. Учебное пособие для 10 кл. – М.: Просвещение, 1975. – 368 с.
5. Кабардин О. Ф. и др. Факультативный курс физики: 10 кл.: Учебное пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1987. – 208 с.
6. Савельев И. В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1966. – 404 с.  
7. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. – М.: Шрайк,  1995 – 608 с.
8. Аганов А. В. Физика вокруг нас. – М.: Дом педагогики. 1998. – 336 с.
9. Опыты в домашней лаборатории. – М.: Наука, 1980, 144 с.