Исследовательский проект "Математика без формул"

Построения с помощью циркуля и линейки

Выполнил

учащийся группы 40/41 ПЛ №1

Полищук Д.

Руководитель

преподаватель математики Мочалова Е.В

Задачи:

1. Изучить материал по теме.
2. Выяснить, в чем суть задач  на построение с помощью циркуля и линейки, что такое идеальные инструменты.
3. Привести примеры задач на построение с помощью циркуля и линейки.
4. Ответить на вопрос: «Все ли задачи на построение с помощью циркуля и линейки имеют решение?»

Изучение материала.

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами. Их назначение известно всем школьникам: линейкой проводят прямые (точнее, отрезки), а циркулем – окружности, откладывают и отрезки заданных длин (правда, для этого в наши дни чаще используют его разновидность – измеритель).

Линейка — простейший измерительный геометрический инструмент, представляющий собой узкую пластину, у которой как минимум одна сторона прямая. Обычно линейка имеет нанесённые деления, кратные единице измерения длины (сантиметр, дюйм), которые используются для измерения расстояний.

Линейки обычно производят из пластика или дерева, реже из металлов.

В геометрии и картографии линейка используется только для проведения прямых линий, измерение расстояния по линейке считается грубым (для более точного измерения расстояние измеряют измерительным циркулем, раствор которого затем прикладывают к линейке).

Циркуль (от лат. circulus — круг, окружность) — инструмент для рисования окружностей и дуг окружностей, также может быть использован для измерения расстояний, в частности, на картах. Может быть использован в геометрии, черчении, для навигации и других целей.

Циркуль делается из металла и состоит из двух частей, соединённых шарниром. Обычно на конце одной из них располагается игла, на конце другой — пишущий предмет (например, грифель). У измерительного циркуля иглы на обеих ножках.

Специальный набор, содержащий помимо циркуля дополнительные принадлежности (такие как сменные стержни, иглы) и инструменты (кронциркуль, измерительный циркуль, рейсфедер), а также футляр с соответствующими углублениями для них называется готовальней.

Сейчас уже нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент - история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности.  История циркуля насчитывает уже несколько тысяч лет - судя по сохранившимся начерченным кругам, инструмент был знаком еще вавилонянам и ассирийцам (II - I века до нашей эры). На территории Франции, в галльском кургане был найден железный циркуль (I век нашей эры), во время раскопок в Помпеях было найдено много древнеримских бронзовых циркулей. Причем в Помпеях найдены инструменты уже совсем современные: циркули с загнутыми концами для измерения внутренних диаметров предметов, «кронциркули» для измерения максимального диаметра, пропорциональные - для кратного увеличения и уменьшения размеров. При раскопках в Новгороде был найден стальной циркуль-резец для нанесения орнамента из мелких правильных кружочков, очень распространенного в Древней Руси.

Со временем конструкция циркуля практически не изменилась, но ему придумали массу насадок, так что теперь он может вычерчивать окружности от 2 миллиметров до 60 сантиметров,  кроме того, обычный графитный грифель можно заменить насадкой с рейсфедером для черчения тушью. Есть несколько основных типов циркулей: разметочный или делительный, его применяют для снятия и перенесения линейных размеров; чертежный или круговой, его применяют для вычерчивания окружностей диаметром до 300 миллиметров; чертежный кронциркуль для вычерчивания окружностей от 2 до 80 миллиметров в диаметре; чертежный штангенциркуль для вычерчивания окружностей диаметром больше 300 миллиметров; пропорциональный - для изменения масштабов снимаемого размера.

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:

1. произвольную точку
2. произвольную точку на заданной прямой
3. произвольную точку на заданной окружности
4. точку пересечения двух заданных прямых
5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей

2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:

1. произвольную прямую
2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
3. прямую, проходящую через две заданных точки.

3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:

1. произвольную окружность
2. произвольную окружность с центром в заданной точке
3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или не единственности решения, получаемого описанным способом.

Примеры

Задача на бисекцию.

С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части.

Одно из решений показано на рисунке:

Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.

Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).

По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.

О – искомая середина отрезка АВ

Задача Брахмагупты

Построить с помощью циркуля и линейки вписанный четырехугольник по четырем его сторонам.

1. Одно из решений использует окружность Аполлония.

Задача Аполлония

Построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям.

Восемь различных решений задачи Аполлония.

Неразрешимые задачи.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда разрешимо в квадратных радикалах уравнение:

Например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной . П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: , откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис. Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

Выводы.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки существуют с древних времён.

На протяжении тысячелетий математики ищут и находят решения таких задач, но существуют задачи, которые не могут быть разрешены с использованием только идеальных инструментов.

Список источников.

http://cirkul.info - про циркули.

http://wikipedia.org

http://collection.edu.yar.ru - Удвоение куба.