Исследовательская работа "Применение процентов в жизни человека"

МКОУ Средне - Муйская СОШ Усть - Удинского района Иркутской области

Исследовательская работа по теме «Применение процентов в жизни человека». Работу выполнили Бутакова Ксения, Ванькова Анжела, Мохоров Михаил, учащиеся 9 класса .2012 год.

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Содержание  

Аннотация

Актуальность темы: Проценты – это одна из сложнейших тем математики.  Очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты, встречающиеся в ГИА и ЕГЭ по математике.Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Значение затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью.

Предмет исследования: Поиск информации в источниках, справочниках, ресурсах Internet, бюджет семьи, сравнительный анализ качества знаний и  пропусков  учеников за два года. Выборка задач из сборников ГИА и ЕГЭ по математике за несколько лет.

Цель исследования:

1. Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах  из разных сфер жизни человека.
2. Изучить способы решения задач на проценты

Задачи:

1. Познакомиться с историей возникновения процентов
2. Научиться решать задачи на проценты разными способами
3. Сделать подборку задач из ГИА, ЕГЭ решаемые по формуле сложных процентов
4. Исследовать бюджет семьи, качество знаний учащихся и пропусков своего класса за два года
5. Поработать с ресурсами Internet
6. Поработать в Microsoft Word, Microsoft PowerPoint и Microsoft Excel
7. Получить опыт публичного выступления

Методы и приемы:

1.  Поиск информации в источниках, справочниках
2. Работа с ресурсами Internet
3. Обработка и анализ информации
4. Анкетирование учащихся по отдельным вопросам касающихся процентного соотношения
5. Умение работать в Mikrosoft PowerPoint и Mikrosoft Word, Microsoft Excel
6. Составление диаграмм, таблиц

Гипотеза: можно выдвинуть две гипотезы: в жизни человек не сможет обойтись без процентов, другая – проценты не нужны человеку в жизни. Мы считаем, что в 21 веке все финансовые, денежные расчёты выполняются с помощью процентов.  КИМах ГИА и ЕГЭ по математике встречаются задачи на проценты. Поэтому знания о процентах нужны каждому.

Выводы:  В ходе проделанной работы мы узнали, что сложные проценты – это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. Подробнее изучили правила нахождения процентов. Сделали подборку и решили ряд задач из ЕГЭ – 11 классов и ГИА – 9 классов. Исследовали бюджет семьи и посещаемость кружков, учащихся моего класса. Результаты занесли в таблицы и диаграммы. Освоили навыки работы в текстовом редакторе и поработали с ресурсами интернета. В процессе выполнения работы мы узнали много нового, думаю, что пригодится в учебе.

Описание работы

 Введение.

Почему мы  выбрали тему «Проценты»?

Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты.  Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Проанализировав программу средней школы по математике, пришли к выводу: по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Решение задач на проценты разными способами встречается в ГИА и ЕГЭ по математике. Поэтому мы  решили сделать подборку задач из ГИА – 9 классов, и ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов.

1.Из истории происхождения процентов

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». ». Проценты были известны индийцам еще в 5 веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Например : Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

1. Решение:Для начала найдем 20% от 50 , получим пропорцию                                                                                        
2. 50с – 100%
3.  Хс – 20%
4. Х=20*50/100=10 с
5. 50 + 10 = 60сестерциев
6. Ответ: 60 сестерциев.

       От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII века.

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Существует и другая версия возникновения этого знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже вышла книга Матьё де ла Порта «Руководство по коммерческой арифметике». В одной из глав речь шла о процентах, которые обозначались теми же уже знакомыми нам буквами «cto». Однако подслеповатый наборщик принял букву t в этой надписи за дробную черту. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), так возник современный символ для обозначения процента - %

Так, благодаря одной глупой или не такой уж и глупой ошибке, возможно, знак % и вошёл в обиход. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой. Принято называть сотую часть величины или числа процентом.
Для краткости слов «процент» после числа заменяют знаком %.

2. Решение задач различными способами.

Проценты в матеметике развиваются на категории

1 категория:

- простые:

а. нахождение процента от числа;

б. нахождение числа по его процентам;

в. нахождение процентного отношения двух чисел 2 категория– сложные;

а)- задачи на сплавы и смеси;

б)-экономические задачи;

в)-процентное содержание ( концентрация )

1 категория:

- простые:

а. нахождение процента от числа;(См. Приложение1 )

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Чтобы найтиа % от в, надо в• 0,01а.

Пример 1 Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение:

1200  составляет 100%

1) 1200:100 =1,2 кост составляет 1%.

2)12*32=384 кост нового фасона

Ответ: 384 кост нового фасона

б. нахождение числа по его процентам; (См. Приложение 2 )

 За контрольную работу по математике отметку»5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

  Решение:

Неизвестное число – 100%.

1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%.

2) 0,4*100=40 учеников в классе.

Ответ: 40 учеников в классе.

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге . Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Так как 138 стр. - это всего лишь часть , само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверки.

в. нахождение процентного отношения двух чисел: (См. Приложение 3 )

  Пример 3:  из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

 Решение:

1800 га составляют 100%

1) 1800:100=18 га составляет 1%.

2) 558:18=31; 558 га составляют 31%.

Ответ: ; 558 га картофеля составляют 31%.

2 категория– сложные;

а)- задачи на сплавы и смеси; (См. Приложение 3 )

 Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? Решение: Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олово в первоначальном сплаве и в полученном.                      Задача 3: в 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, т.е. 12 * 55% / 100% кг олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили x кг олова. Тогда получилось (12+ x) кг нового сплава, в котором олово стало 60%, т.е. 60%(12+x) / 100% кг. Таким образом, получается следующее уравнение: 55% * 12 / 100% + x = 60% (12+ x) / 100%. Решив это уравнение, найдем, что x = 1,5. по смыслу задачи x > 0. Найденное значение x условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова. Ответ: 1,5 кг олова.

б)- Задачи на сложный процент

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

х(1+ 0,01а)n, 

где х - начальный вклад, сумма.

а – процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Задача1. Открытое акционерное общество «Сбербанк России» предоставляет «Потребительский кредит»  в сумме 60000 рублей под 19% годовых на цели личного потребления на срок 12 месяцев. Расчёт погашения кредита ведётся по формуле х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов Первый месяц вы выплатите банку сумму в размере 11400 рублей, остаток ваш после первого погашения будет 60000 – 60000*19%=48600 рублей. Следующий месяц выплата банку составит 9234 рубля, остаток - 48600 – 48600*19% = 39366 рублей и так далее.

Задача 2. Представим, что вы положили 30 000 руб в банк под 12 % годовых.

Через год на вашем банковском счету будет лежать

сумма SUM = 30000 + 30000*12% = 33 600 руб.

Прибыль за год - 3600 рублей.

Вы решили оставить 336000 руб. на второй год в банке под те же 12%.

Через 2 года в банке накопится 33600 + 33600*12% = 37632руб.

Прибыль за первый год (3600 рублей) прибавилась к основной сумме (30 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

в)-процентное содержание ( концентрация )

3.Методы решения задач.

Задача 1

Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок?

Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого они отсчитывают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2 на другую и т.д. пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, они ответят на поставленный вопрос. Такой способ и называется практическим или предметным. Его возможности ограничены, так как учащийся может выполнить предметные действия только с небольшим количеством предметов. Усвоив смысл действия деления и его запись, можно решить эту задачу уже не практическим, а арифметическим способом, записав равенство 8 : 2 = 4.

Задача 2

Для решения можно применить алгебраический способ, рассуждая при этом так: “Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой Х. На каждой тарелке 2 яблока, значит число всех яблок - это 2х. Так как в условии известно, что число всех яблок 8, то можно записать уравнение 2х = 8 и решить его Х = 8: 2, Х = 4”.

Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ.

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим

пойманных рыб: л - лещи, о - окуни.

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их З).

Арифметический способ

1) 3 + 4 = 7 (р.) - пойманные рыбы

2) 10-7=3 (р.) - щуки

Для ответа на вопрос задачи мы выполнили два действия.

Алгебраический способ

Пусть х - пойманные щуки

Тогда количество всех рыб можно записать выражением:

3 + 4 + х - все рыбы

По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб.

Значит 3 + 4 + х = 10

Решив это уравнение, мы ответим на вопрос задачи.

Графический способ

•—л—• •—л—• •—л—• •—ок—• •—ок—• •—ок—• •—ок—• •—щ—• •—щ—• •—щ—•

Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В начальных классах используются различные формы записи решения задач по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением.

Задача 3

У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 на вторую. Остальные на третью. Сколько книг на третьей пилке?

а) решение по действиям

1) 28 - 12 = 40 (к.)

2) 90 - 40 = 50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

б) по действиям с пояснением

1) 28 + 12 = 40 (к.) на 1 и 2 полках вместе.

2) 90 - 10 = 50 (к.) на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

в) с вопросами

1) Сколько книг на первой и второй полках вместе?

28 + 12 = 40 (к.)

2) Сколько книг на третьей полке?

90 - 40 = 50 (к.)

Ответ: 50 книг.

г) выражением

90 - (28 + 12)

При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

90 - (28 + 12) = 50 (к.)

Ответ: 50 книг.

Не следует путать такие понятие как: решение задачи различными способами (практический, арифметический графический, алгебраический), различные формы записи арифметического способа, решения задачи (по действиям, выражением по действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными арифметическими способами. В последнем случае речь идет о возможности установления различных связей между данными и искомым, а, с следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.

Например, рассмотренную выше задачу можно решить другим арифметическим способом:

1) 90 - 28 = 62 (к.) на 2 и3 полках.

2) 62 - 12 = 50 (к.) на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

В качестве арифметического способа можно рассматривать и такое решение данной задачи:

1) 90 - 12 = 78 (к.) на 2 и 3 полках.

2) 78 -28 = 50 (к.) на З полке.

Ответ: 50 книг.

В числе способов решения задач ложно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство) Тем не менее моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить не вопрос задачи.

Задача 4

 В саду яблоневые и грушевые деревья, причем яблоневых было на 54 дерева больше, чем грушевых. После того, как садовник посадил еще 7 яблоневых и столько же грушевых деревьев, яблоневых стало в 4 раза больше грушевых. Сколько было деревьев каждого вида вначале?

Пусть х будет грушевых деревьев, тогда (х + 54) дерева яблоневых. Составим и решим уравнение:

            (7 + х) 4 = х + 54 + 7

            28 + 4х = х + 61

            4х – х = 61 – 28

            3х = 33

            х = 33 : 3

            х = 11

      Значит 11 грушевых деревьев, тогда 11 + 54 = 65 яблоневых

      Ответ: 11, 65.  

4. Применение процентов в жизни

4.1 Исследование бюджета семьи                                         

При составлении бюджета семьи  использовали правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.

Вычисления:

Для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на30000.

1. 14000*100 = 46,7%

                 30000

2. 16000* 100 = 53,3%

           30000

оставили бюджет семьи, применили свойство нахождения процентов от числа и представили данные в виде диаграммы.

                                                Бюджет семьи

 Вывод: мама имеет доход больше.ю чем папа

  Расход семьи в процентном соотношении

Для того чтобы найти проценты от суммы, надо сумму умножить на 100 и разделить на 30000.

Вычисления:

1)    1000*100=3,3%

            30000

2)     700*100=2,3%

          30000

3)   500*100=1,6%

        30000

 4)  500*100=1,6%

         30000

5)  7500*100=25%

        30000

6)  6000*100=20%

        30000

7)  700*100=2,3%

        30000

8)  400*100=1,3%

        30000

9)  400*100=1,3%

         30000

10)  3000*100=10%

        30000

11)  700*100=2,3%

         30000

Расходы семьи можно просмотреть с помощью диаграммы

Вывод: наибольшее число процентов семейного бюджета расходуется на питание (25%), приобретение одежды (20%), на транспортные средства    

4.2 Исследование кредитов

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

х(1+ 0,01а)n, 

где х - начальный вклад, сумма.

а – процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Задача1. Открытое акционерное общество «Сбербанк России» предоставляет «Потребительский кредит»  в сумме 60000 рублей под 19% годовых на цели личного потребления на срок 12 месяцев. Расчёт погашения кредита ведётся по формуле х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов Первый месяц вы выплатите банку сумму в размере 11400 рублей, остаток ваш после первого погашения будет 60000 – 60000*19%=48600 рублей. Следующий месяц выплата банку составит 9234 рубля, остаток - 48600 – 48600*19% = 39366 рублей и так далее.

Задача 2. Представим, что вы положили 30 000 руб в банк под 12 % годовых.

Через год на вашем банковском счету будет лежать

сумма SUM = 30000 + 30000*12% = 33 600 руб.

Прибыль за год - 3600 рублей.

Вы решили оставить 336000 руб. на второй год в банке под те же 12%.

Через 2 года в банке накопится 33600 + 33600*12% = 37632руб.

Прибыль за первый год (3600 рублей) прибавилась к основной сумме (30 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

4.3 Сравнительный анализ качества успеваемости по классу за два года ( 7, 8 классы)

Вывод: качество знаний в 8 классе резко падает по отдельным предметам. На классом собрании определили пути повышения качества знаний по предметам

4.4 Сравнительный анализ пропусков за 2 года ( 7, 8 классы)

Вывод: в 7 классе всех больше пропустила учебных занятий Колесникова Ира, в 8 классе – Дмитриев Миша. Все пропущенные занятия  по уважительным причинам

5. Задачи на проценты в ГИА, ЕГЭ по математике (Приложение 1-6)

Заключение

Выполняя исследовательскую работу, выяснили: какое значение имеют проценты в жизни человека, как они работают в стране. Доказали, что в современном мире прожить без знаний процентов невозможно. Чтобы быть хорошими специалистами уметь разбираться в большом потоке информации, необходимо знать проценты. Вкладчик сбережений учиться жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Изучение столь важной и интересной темы даёт положительную мотивацию для самообразования.  

Список литературы

1. http://karmanform.ucoz.ru/test в1.rar
2. http://karmanform.ucoz.ru/test в2.rar
3. shkolo.ru›nahozhdenie-protsentnogo-otnosheniya… 
4. shevkin.ru›?action=Page&ID=676 
5. math.sch1582.edusite.ru›6_kl/matematika/
6. «Математика›Материалы ЕГЭ›,  2005 – 2012
7. Uztest.ru
8. Сайт Ларин( Яндекс) « Готовим хорошистов и отличников к ЕГЭ»