Применение методов математической статистики при решении задач

Министерство образования Саратовской области

Применение методов математической статистики при решении задач

Доклад

ученицы 9 «Б» класса

МОУ «Лицея № 15»

Мацак Юлии

Научный руководитель:

Плешакова Надежда Викторовна

Учитель:

Копова Ольга Васильевна

Саратов  2010

Содержание.

Введение…………………………………………………………………..3

Раздел 1. Случайные величины и их числовые характеристики….5

              1.Случайная величина и ее функция распределения…….5

              2.Дискретная случайная величина………………………….6

              3.Непрерывная случайная величина………………………..7

              4.Математическое ожидание и другие характеристики                                                        положения…………………………………………………….7

              5.Дисперсия…………………………………………………….7

Раздел 2. Выборка и характеристики ее определения………………9

              1.Выборка. Различные типы выборки………………………9

              2.Генеральная совокупность…………………………………9

              3.Простой случайный выбор………..………………………10

              4.Виды реальных выборов…………………………………..11

              5.Вариационный и статистические ряды.

                 Эмпиристическая функция распределения……………..12

              6.Выборочные числовые характеристики…………………12

Раздел 3. Статистическое исследование роста учеников девятых

               классов школ Заводского района………………….………14

Заключение………………………………………………………………..17

Список литературы………………………………………………………18

Введение.

Слово «статистика» происходит от латинского слова «status» - состояние, государство. Понятие «статистика» определяется как «собранные и классифицированные числовые данные и сведения» и как «наука, изучающая методы сбора и обработки числовых данных, относящихся к человеческой деятельности и природным явлениям».

Великому американскому сатирику О’Генри принадлежит ироническое определение статистики: “Есть три вида лжи  просто ложь, ложь злостная и …статистика!”.  

Математическая статистика изучает математическую сторону обработки числовых данных независимо от их конкретной отраслевой специфики, используя методы теории вероятностей.

Целью моей работы было найти средний рост подростков 14-15 лет. Ведь для того, чтобы дать характеристику общего физического состояния подростков, важно знать их средний рост.

Так же средний рост важен и для промышленных целей, например, для выпуска одежды и т.п.

Еще одной причиной важности подсчета среднего роста подростков 14-15 лет является необходимость сделать выводы о том, продолжается ли акселерация в наши дни или нет. Ведь если мы придем к выводу, что она  продолжается, и так как вместе с увеличением роста увеличивается и физическая сила подрастающего поколения, то тогда уже должны корректироваться и некоторые принципы воспитания и морали.

Для проведения этой работы был изучен следующий теоретический материал:

1.  Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.

2. Гмурман В.Е.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.

3. Амосова Н. Н., Куклин Б. А. и др. Вероятностные разделы математики – С-Пб.: Иван Федоров, 2001.-588с.

               4.   Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: Издательское объединение «Юнити», 1998.

         В этой литературе рассматриваются методы систематизации и обработки числовых массивов, найденных путем наблюдений и экспериментов с целью получения выводов, характеризующих изучаемые случайные явления в среднем.

В 1 разделе рассмотрены понятие случайной величины и ее функции распределения, понятия дискретной и непрерывной  случайной величины, понятие математического ожидания и других характеристик положения и понятие дисперсии.

Во 2 разделе рассмотрены понятие выборки и различные типы выборки, понятие генеральной совокупности, понятие вариационного и статистического рядов и понятие эмпиристической функции распределения.

С использованием этого материала было проведено исследование роста подростков 14-15 лет, то есть учеников 9-х классов. Измерения производились в четырех школах Заводского района (в котором я живу): в моем родном лицее № 15, школе № 22, школе № 23 и школе № 34. Результаты этого исследования приведены в разделе 3.

1. Случайные величины и их числовые характеристики

1. Случайная величина и ее функция распределения

Понятие случайной величины – одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение.  Приведем несколько примеров случайных величин, связанных с реальными опытами:

1. опыт – бросание игральной кости; случайная величина – количество выпавших очков;
2. опыт – стрельба по мишени; случайная величина – количество промахов до первого попадания;

Дадим теперь строгое определение случайной величины.

Пусть Ω  - пространство  элементарных событий. Случайной величиной (с.в.) Х называется функция, заданная на пространстве Ω  , принимающая вещественные значения: Х(ω)=х, где ω Є Ω  , х Є (-∞,+∞);при этом предполагается, что все события вида {Х< а} ={ω Є Ω :Х(ω )< а}Є F,т.е. для них вероятность определена. Здесь а - любое вещественное число.

Отметим, что со случайными величинами можно действовать, как с обычными функциями: их можно складывать, перемножать.

Важнейшей характеристикой случайной величины является ее функция распределения.

Функцией распределения (ф.р.) случайной величины Х называется такая определенная на всей числовой оси функция Fх(х), что ее значение в точке х равно вероятности события {Х < х}:

Fх(х) = Р(Х < х) для всех х Є ( -∞,+∞).

Функцию распределения с.в. Х будем обозначать Fх или F, если ясно, о распределении какой случайной величины идет речь. Следует отметить, что через вероятности событий вида {Х < х} можно выразить вероятность любого события , связанного со случайной величиной Х, то есть для нахождения вероятностей произвольных событий, порожденных случайной величиной Х, необходимо и достаточно знать  ее функцию распределения Fх. Другими словами, функция распределения дает полную информацию о вероятностях случайных событий, порождаемых случайной величиной. Поэтому в случаях, когда известна функция распределения Fх, принято говорить, что задан закон распределения случайной величины Х. Кроме того, выражение «закон распределения случайной величины» удобно использовать в ситуациях, когда задано некоторое правило (таблица, функция и т.д.), позволяющее находить функцию распределения, поскольку, подчеркнем еще раз, знание функции распределения позволяет вычислять вероятности любых событий, рассмотренных выше.

Обсудим простейшие свойства функции распределения.

Теорема (основные свойства функции распределения).

Функция распределения Fх случайной величины Х  обладает следующими свойствами:

1. 0 ≤ Fx(x)≤1;
2. ф.р. Fx не убывает;
3. вероятность попадания значений с.в. Х в промежуток [a,b) выражается через ф.р. Fx по формуле:                                                                                                     Р{X Є [a,b)}=Fx(b)-Fx(a);
4. ф.р. Fx непрерывна слева в каждой точке;
5. Fx(+∞ ) ≡ lim   Fx(х) =1

                                        x→ +∞

6. Fx(-∞ )  ≡ lim  Fx(х) =0

                                        x→ -∞

1.2 Дискретная случайная величина

Случайная величина называется дискретной (д.с.в.), если множество ее значений конечно или счетно, т.е. может быть занумеровано натуральными числами.

Приведем несколько примеров дискретных случайных величин:

1. число выпадений герба при N- кратном бросании монеты (множество значений с.в. конечно);
2. количество бракованных изделий в выборке фиксированного объема из данной партии (множество значений конечно);
3. количество вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение фиксированного промежутка времени (множество значений счетно).

Для того, чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно просто перечислить все ее значения и указать, с какими вероятностями эти значения принимаются. В связи с этим введем следующее определение.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица из двух строк, в верхней строке которой перечисляют (как правило, в порядке возрастания) все возможные значения х1, х2,…хn, …д.с.в. Х, а в нижней строке – соответствующие вероятности р1,р2,…рn, …, с которыми эти значения принимаются:

Здесь рn =Р{X=xn} (n=1,2,...) и ∑ pn=1

                                                     n

Если известен ряд распределения, то тем самым известны вероятности всех событий, связанных с д.с.в. Х. Поэтому ряд распределения полностью характеризует функцию распределения дискретной случайной величины и, тем самым, представляет собой один из видов закона распределения.

Если ряд распределения с.в. Х строится для произвольного n, то все значения  и вероятности выписать невозможно.  В этом случае обязательно должна быть указана формула образования значений и вероятностей с.в.Х по номеру n:

P{X=xn} (n=1,2,...)

Эта формула и выражает закон распределения вероятностей с.в.Х.

1.3. Непрерывная случайная величина.

Случайная величина Х называется непрерывной (н.с.в.), если существует неотрицательная интегрируемая на всей вещественной оси функция  fx, называемая плотностью распределения вероятностей, такая, что вероятность попадания значений случайной величины в любой промежуток [a,b] есть интеграл от плотности по этому промежутку:

                                                                     b

P{XЄ [a,b] } = ∫fx(x)dx.

                                                                     a

1.4 Математическое ожидание и другие характеристики положения

Математическим ожиданием (м.о.) или средним значением дискретной случайной величины Х, принимающей значения х1,х2,… с вероятностями р1,р2,…, называется число

mх=∑хnpn,

                                                                                                n

где ряд ∑хnpn предполагается абсолютно сходящимся. В противном

              n

 случае считаются, что д.с.в. Х не имеет математического ожидания.

Для обозначения математического ожидания также применяют символы МХ, М [Х].

Рассмотрим простейшие свойства математического ожидания.

Теорема: Пусть Х- с.в., имеющая математическое ожидание, с- постоянная. Тогда:

1. математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:

М[ с]=с;

2. постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М[ сХ ]=сМ [Х];

3. если к с.в. Х добавить константу, то математическое ожидание изменится на эту же константу:

М [Х+с] = М[Х]+с

1.5 Дисперсия

Дисперсией Dx случайной величины Х, имеющей математическое ожидание mх, называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

                                                                                              o

Dx=М [Х ]=М[ (Х- mх)2]

Для обозначения дисперсии также употребляются символы DX и D[Х].

Как видно из определения, дисперсия случайной величины имеет размерность, равную квадрату размерности самой случайной величины. Так как такое различие размерностей не очень удобно, вводят еще одну характеристику рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.

Квадратный корень из дисперсии с.в. Х называется средним квадратным отклонением (с.к.о.) с.в.Х:

σх = √ Dx

Дисперсия с.в. Х является очень важной характеристикой случайной величины, и, конечно, желательно иметь формулы, позволяющие вычислять Dx (а, следовательно, и с.к.о. σх) не находя распределения с.в. Y = (Х- mx)2, а используя непосредственно распределения с.в. Х. Эту задачу решает следующая теорема.

Теорема о вычислении дисперсии. Если с.в. Х2 имеет математическое ожидание, то с.в. Х имеет дисперсию Dx, для которой справедливы соотношения:

Dx= М[Х2]- m2х

Выводится это следующим образом:

Dx =М [ (Х- mх)2] =М [Х2-2 mхХ+ m2х]=

                                               = М[Х2]-2 mхМ[ Х]+ m2х =М[Х2]- m2х.

2. Выборка и характеристики ее определения.

2.1. Выборка. Различные типы выборки.

Множество измеренных (наблюденных) значений x1, x2,…….xn случайной величины X называются выборкой или простой статистической совокупностью.

Числа x1, x2,…….xn  называются элементами выборки, а их количество n – объемом выборки.

Выборка записывается в виде n- мерной точки или вектора:(x1, x2,…….xn).

Для изучения двумерной случайной величины (X, Y) создается двумерная выборка, представляющая таблицу или конечную последовательность пар чисел (x1, y1), (x2 , y2), …, (xn, yn). Существуют выборки любой размерности.

Закон распределения изучаемой случайной величины X называется генеральным законом распределения. Это может быть генеральная функция распределения Fx (x), генеральная плотность распределения, таблица распределения в дискретном случае и т.д.

Генеральный закон, как правило, неизвестен. Его изучают. В общем случае закон распределения случайной величины X  удобно обозначить символом L (X).

В математической статистике по свойствам выборки делают заключение  о свойствах изучаемой случайной величины X, т.е. – заключение о свойствах генерального закона распределения L (X).

Свойства выборки содержатся в ее законе распределения, который называется выборочным законом распределения. Виды выборочных законов распределения и их построение будут описаны далее. Итак, по свойствам выборочного закона распределения делается заключение о свойствах генерального закона распределения.

Например, если изучается распределение длительности телефонного разговора на данной телефонной станции, то его можно приближенно найти по выборочным замерам длительности телефонных разговоров.

Для краткости генеральный закон распределения часто называется генеральным распределением, а выборочный закон распределения – выборочным распределением.

2.2. Генеральная совокупность.

В математической статистике сохранилась терминология, доставшаяся ей от прикладных отраслевых статистик – экономической, сельскохозяйственной, демографической, производственной и т.д., где приходится исследовать, хотя и большое, но конечное множество объектов с общим признаком. Изучается распределение этого признака среди обследуемой группы объектов. Например, емкость в партии конденсаторов, процент детей, заболевших гриппом в школах города, урожайность зерна на полях хозяйства, процент изношенности оборудования на заводах отрасли. Числовое значение признака является случайной величиной X, принимающей конечное число значений. Множество значений случайной величины здесь называется генеральной совокупностью. Выбранные из этого множества для обследования числа составляют выборку(x1, x2,…….xn).

Понятие генеральная совокупность в математической статистике переносится и на случай, когда множество возможных значений изучаемой величины X- бесконечное. Например, когда непрерывно регистрируется температура, величина отклонения сигнала от заданного значения при автоматическом регулировании, замеряется концентрация вредного вещества в реке и т. д. Понятие генеральной совокупности часто удобно и здесь для наглядной интерпретации получения выборки из множества, которое можно изобразить из числовой оси.

Генеральной совокупностью называется множество возможных значений излучаемой случайной величины X  с приписанным к нему законом распределения  L(X) случайной величины Х.

Этот закон называется законом распределения генеральной совокупности, а его числовые характеристики – числовыми характеристиками генеральной совокупности.

В такой схеме выборка (x1, x2,…….xn) может рассматриваться как набор чисел, случайно выбранных из генеральной совокупности в соответствии с ее законом распределения L(X).

2.3. Простой случайный выбор.

Очевидно, что выборку, хотя она и случайна, нельзя создавать как попало, иначе нельзя быть уверенным, что она будет правильно характеризовать распределение генеральной совокупности.

Процесс составление выборки называется выбором.

С выбора начинаются статистические исследования. Из теории вероятностей известен выбор шаров из урны. Он и может быть положен в основу определения выбора, применяемого в математической статистике. Вместо шаров выбираются числа, составляют конечную генеральную совокупность.

Простым случайным выбором называется выбор с возвращением в Урновой модели, когда из конечного множества каждый элемент выбирается независимо и равновероятно с другими элементами.

Если один и тот же элемент выбран дважды, то он учитывается один раз.

Повторяя выборку (x1, x2,…….xn) несколько раз, мы будем в общем случае получать каждый раз новые элементы выборки, поэтому элементы выборки рассматриваются как случайные величины. Так как они принимают значение из одной и той же генеральной совокупности, то распределены одинаково – так же, как случайная величина Х, образующая рассматриваемую генеральную совокупность. x1, x2,…….xn  - это n копий СВ Х.

Далее, так как  каждый элемент выборки получен независимо от остальных. То все элементы выборки рассматриваются как независимые случайные величины.

Все элементы генеральной совокупности могут быть выбраны. При этом каждому элементу предоставляется равная возможность быть выбранным.

Каждый элемент хi(i =1,2,….,n) конкретной выборки получен в равных условиях выбора. Это свойство можно выразить, введя случайную величину Х*, принимающую выборочные значения х1,x2,…хn с одной и то же вероятностью 1/n.

Дискретное равномерное распределение с законом, заданным формулой

       P(X* = xk ) = 1/n, k=1,2,…,n,

называется выборочным распределением.

2.4. Виды реальных выборов.

Из реальных выборов отметим следующие:

1.Механический выбор. В этом случае выборку составляют по какой-либо закономерности. Например, делают измерения через равные

промежутки времени, снимают с конвейера каждую десятую деталь для

контроля и т.д.

2.Серийный выбор. В этом случае в каждом опыте выбирается не один элемент, а целая серия элементов. Например, не одно зерно, а колосок при исследовании урожайности поля, упаковка деталей, упаковка лекарственных таблеток, мерка воды, а не отдельные молекулы для контроля загрязненности водоема, и т.д.

3.Типический выбор. В этом случае генеральную совокупность разбивают на части и из каждой части берут случайных представителей в количестве, пропорциональном объему части.

4.Выбор на основе суждения (субъективный). В этом случае выбор производится на основе какого-либо предварительного субъективного принципа. Например, обследуются не все партии, а одна, наиболее подозрительная на содержание брака. При социологическом обследовании выбирается одна более представительная группа, а не все население страны. Ведется опрос по телефону, а не всех слоев населения, и т.д.

Такой способ выборки часто экономит время и средства, но может привести к большим ошибкам. Так, например, стала знаменитой ошибка журнала «Литературное обозрение» в прогнозе исхода выборов в 1936 году американского президента. Баллотировались два кандидата Ф.Д. Рузвельт и А.М. Ландон. Предварительный опрос населения проводился по телефону и, следовательно, опрашивалась состоятельная часть населения, но игнорировалось мнение более бедных слоев населения. Кроме того, учитывалось только мнение приславших ответы, т.е. деловых кругов, привыкших отвечать на письма. Эти круги поддерживали Ландона.

Все типы выборов могут комбинироваться между собой.

К выборкам предъявляется ряд требований.

Важнейшим из них является требование репрезентативности. Это означает, что выборка должна достаточно хорошо представлять всю генеральную совокупность. Например, изучая среднюю зарплату отрасли, нельзя ограничиваться данными одного завода, одного месяца и т.д.

Другим требованием является требование однородности выборки. Это означает, что условия проведения эксперимента для получения выборки не должны меняться.

2.5. Вариационный и статистические ряды. Эмпирическая функция распределения

Описательная статистика начинается с упорядочения, осреднения и графических представлений статистического материала.

Выборка является труднообозримым множеством, неудобным для последующего анализа. Для дальнейшего изучения выборку подвергают группировке, чтобы выявить ее характерные особенности, а, следовательно, и соответствующие свойства генеральной совокупности.

Вариационным рядом называется последовательность элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются.

Запись вариационного ряда х(1), х(2),..,х(n).

Элементы вариационного ряда х(i)  (i =1,2,….,n) называются порядковыми статистиками. Минимальный и максимальный элементы выборки называются крайними, иначе -  экстремальными, элементами вариационного ряда: xmin= x(1), xmax= xn .

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом, или широтой выборки:

R= xmax – xmin  

Статистическим рядом называется последовательность  различных элементов выборки z1, z2, …, zk, расположенных в возрастающем порядке с указанием частот n1, n2,…nk, с которым эти элементы содержатся в выборке.

Статистический ряд обычно записывается в виде таблицы

2.6. Выборочные числовые характеристики

С помощью выборки образуются ее числовые характеристики. Это числовые характеристики дискретной случайной величины Х*, принимающей выборочные значения х1, х2, …,хn.

Предполагается, что выборка образована с помощью простого случайного выбора. Тогда каждый ее элемент выбирается равновозможно с другими, то есть с вероятностью 1/n.

Числовые характеристики случайной величины Х* называются выборочными числовыми характеристиками.

Наиболее употребительными из них являются характеристики положения и рассеяния выборки, а также выборочные моменты. Все они характеризуют выборку, а через нее и генеральную совокупность, являясь аналогами соответствующих генеральных числовых характеристик.

Выборочное среднее.

__          n

Х =1/n Σ xi.

            i=1

Выборочный начальный момент порядка l

            n

al =1/n Σ xil.

           i=1

Выборочный центральный момент порядка l

              n

ml =1/n Σ (xi-x) l.

                    i=1

Выборочная дисперсия

                   n

s2 =m2=1/n Σ (xi-x)2.

                  i=1

Выборочное среднее квадратическое отклонение

s=√s2

Для выборочной дисперсии справедлива формула, аналогичная формуле для генеральной дисперсии

s2=a2-x2=a2-a12

Она выводится так:

            n                               n                n

s2 =1/n Σ (xi2-2xxi+x2)=1/n Σxi2-2x1/nΣ xi+1/n nx2=

            i=1                            i=1              i=1

=a2-2x2+x2=a2-x2

3. Статистическое исследование роста учеников 9 классов школ Заводского района.

Если выборка получена из непрерывной генеральной совокупности и объем ее большой, то вариационный  и статистический ряды, как и сама выборка, будут трудно обозримыми множествами. Действительно, в этом случае при достаточно точном измерении практически не будет равных элементов выборки, ибо вероятность  совпадения элементов для непрерывного распределения равна нулю.

Проведено 200 измерений роста учеников девятых классов 4-х школ Заводского района. Данные помещены в таблицу 1 и составляют первичную выборку.

Теперь прибегаем к другому способу группирования элементов выборки.

Промежуток [Xmin, Xmax] делится на некоторое число k равных по длине промежутков. Обозначим эти промежутки Δ1,Δ2, …, Δk. Если точки, разделяющие промежутки, обозначить а0, а1, …, ak, то Δ1=[xmin, a1], Δ2=(a1, a2], ..., Δi=(ai-1, ai], ..., Δk=(ak-1, xmax].

Пусть ni – число элементов, попавших в промежуток Δi. Числа n1, n2, ..., nk называются частотами попадания элементов выборки в рассматриваемые промежутки.

Совокупность промежутков Δ1, Δ2, …, Δk и соответствующих им частот n1, n2, ..., nk называется группированным статистическим рядом.

Естественно возникает вопрос - как выбрать число промежутков k ?

При слишком большом k картина распределения будет искажена случайными колебаниями частот; при слишком малом k будут искажены и затушеваны характерные особенности распределения.

Для определения k используем полуэмпиристическую формулу

                                     k=1.72n⅓

Здесь n – объем выборки. При n=200   k=10.

Длина промежутков Δ1, Δ2, …, Δk определяем по формуле

        H=R/k=xmax-xmin/k

Вместо группы элементов, попавших в интервал Δi, рассматривается один их представитель. В качестве такого представителя обычно берут среднюю точку zi промежутка Δi. Группированный статистический ряд обычно оформляется в виде таблицы.

Чтобы сформировать новую выборку, просматриваем первую выборку по порядку. Находим xmin=148 и xmax=188. Тогда R= xmax-xmin =188-148=40; k=10. Отсюда длина промежутка группирования h=R/k=40/10=4. Делим промежуток [148,188] на 10 частей и подсчитываем частоты.

С помощью группировочного статистического ряда приближенно производится подсчет выборочных числовых характеристик. Так как группа элементов выборки, входящих в промежуток Δi, заменяется средней точкой zi промежутка, то следует считать, что элемент zi встречается в выборке ni раз, т.е. имеет частоту ni.

Получаем следующие формулы:

x≈1/n∑nizi

a2≈1/n∑nizi²

Такое усреднение по промежуткам несколько искажает выборочные характеристики, но при большом объеме выборки это искажение несущественно.

Найдем выборочные характеристики x, s², s для нашей выборки.

Результаты сведены в таблицу 2.

x=33192/200=165.96

a2=5517792/200=27588.96

s²=a2-x²=27588.96-165.96²=27588.96-27542.7216=46.2384

s=6,8

Следовательно:

Выборочное среднее роста учеников 9 классов равно 165.96см;

Выборочный начальный момент порядка 2 равен 27588.96см;

Выборочная дисперсия равна 46.2384;

А выборочное среднее квадратическое отклонение равно приблизительно 6,8. Это означает, что приблизительно 90 % измерений находятся в таком интервале от выборочного среднего.

Заключение

Данное статистическое исследование показывает, что средний рост ученика 9 класса школ Заводского района равен Х =165,96.

Для проведения этой работы был изучен следующий теоретический материал: понятие случайной величины и ее функции распределения, понятия дискретной и непрерывной  случайной величины, понятие математического ожидания и других характеристик положения, понятие дисперсии, понятие выборки и различные типы выборки, понятие генеральной совокупности, понятие вариационного и статистического рядов и понятие эмпиристической функции распределения.

Такого рода исследования можно проводить и для измерения предела текучести некоторого сорта стали, отклонения веса деталей от номинала и т.п. То есть они применимы в различных областях.

Список литературы.

1.   Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.

2.   Гмурман В.Е.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.

3.    Амосова Н. Н., Куклин Б. А. и др. Вероятностные разделы математики – С-Пб.: Иван Федоров, 2001.-588с.

            4.  В.М.Гусаров Теория статистики. – М.: Издательское объединение «Юнити», 1998.