Исследовательская работа "Системы линейных уравнения методом Крамера"

V ЕЖЕГОДНЫЙ ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС ДОСТИЖЕНИЙ ТАЛАНТЛИВОЙ МОЛОДЁЖИ

«НАЦИОНАЛЬНОЕ ДОСТОЯНИЕ РОССИИ»

_______________________________________________________

Секция: Информационные технологии, математика

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Автор: ученик 8 класса Лобков Илья

Научный руководитель: Розина Татьяна Александровна

                                               учитель математики

Место выполнения работы: МОУ  Гимназия №6  им C.Ф. Вензелева

                                                    г Междуреченск  Кемеровской области

2011

Содержание

1. Введение                                                                                                           3

2. Метод Крамера                                                                                                 5

3. Сравнение вывода о количестве решений системы  уравнений

 методом Крамера и графическим способом.                                                8

4. Проведение обучающего  эксперимента                                                      10

5. Решение систем линейных уравнений с параметром                                  13

6. Компьютерная программа                                                                             17

7. Заключение                                                                                                      18

8. Список используемой литературы                                                                19  

Введение.

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.

 Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи. Способов решения систем уравнений существует много: сложения, подстановки, графический, с помощью обратной матрицы, методом исключения неизвестных, метод Крамера. Какой из них самый рациональный? Среди неизвестеных мне методов  я заинтересовался методом Крамера или методом определителей.         

При решении систем линейных уравнений в школе на уроках алгебры, мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический. Каждый способ удобен для определенной системы. К примеру, систему

мы, конечно же, решим графическим способом; систему

без труда решим способом сложения. Система

проще всего решается подстановкой.

Но каким способом пользоваться, если нет явных свойств системы уравнений? Среди неизвестеных мне методов  я заинтересовался методом Крамера или методом определителей.

        Цель. Изучение метода  Крамера для решения систем  линейных уравнений и возможности овладения этим методом учащимися 8 класса.

        Задачи:

1. Изучить литературу  по методам решения систем уравнений.
2. Научиться решать системы линейных уравнений  методом Крамера.
3. Сравнить вывод о количестве решений системы линейных уравнений  методом Крамера и графическим способом
4. Научиться применять метод Крамера для решения систем линейных уравнений, содержащих параметр.
5. Разработать и провести занятия с одноклассниками по знакомству с методом Крамера и определить уровень усвоения.
6. В помощь учителям разработать  компьютерную программу,  которая на основе введённых числовых коэффициентов находит решение системы линейных уравнений.
7. Сделать вывод о проделанной работе.

Объект:     Метод Крамера

Предмет:  Системы линейных уравнений с 2 переменными.

Методы исследования: Сравнение, анализ, обобщение, эксперимент, моделирование.

Гипотеза:  С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера  можно изучать на уроках алгебры в 7-8 классах как дополнительный метод решения систем уравнений с двумя переменными.

Метод Крамера

  Проблема  решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году  Г. Крамер (1704 – 1752) предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило  Крамера. Позже в  1809 году Гаусс опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный, как метод исключения. Одним из основных методов решения системы линейных уравнений является метод Крамера или метод определителей.

        Для начала давайте рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

        Решением данной системы будет пара чисел, при подстановки которых вместо x и y  оба уравнения обращаются в верные равенства.

        Давайте начнем решать эту систему способом сложения. Для взаимоуничтожения переменной y умножим первое уравнение на b2, второе на (-b1) и сложим их. Получим:

x(a1b2 – a2b1) = c1b2 – c2b1.

Отсюда выразим x:

x = ;

Аналогично выражаем y:

y =

Таким образом, в случае, когда a1b2 – a2b1  0 система имеет единственное решение.

Составим таблицу из коэффициентов при неизвестных данной системы уравнений. Эта таблица называется матрицей:

A = .

Итак, матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк (горизонтальные ряды) и некоторое количество n столбцов (вертикальные ряды).

Числа m и n принято называть порядками матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число m = n ее порядком. Числа, входящие в состав матрицы называют ее элементами.

В нашем примере мы имеем квадратную матрицу второго порядка.

Диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний, называется ее главной диагональ, другая диагональ называется побочной.

Если из произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы  А вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, то мы получим выражение a1b2 – a2b1, которое называется определителем матрицы А. Это определитель второго порядка, обозначается, так:

 =   =  a1b2 – a2b1.

При замене первого столбца столбцом свободных членов, получаем следующий определитель:

        x =   = c1b2 – c2b1.

        При замене второго столбца столбцом свободных членов, получаем:

        y =   = а1с2 – а2с1.

Таким образом мы нашли, что

x  = ,  y =  

Это и есть формулы Крамера для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим решение   системы  уравнений с двумя переменными методом Крамера.

Решение:

 =    = 5*5– 3*6 = 7

x =    = 4*5 – 1*6 = 14

y =    = 5*1 – 3*4 = -2

x =  = 2;  

y =  = ;

Ответ: (2;);

 Сравнение вывода о количестве решений системы уравнений  методом Крамера и графическим способом.

1.    Поскольку   x = ,  y =  , то решение  есть  если  ∆≠0.

∆= a1 b2  - a2 b1 ≠0,     a1 b2 ≠ a2b1,     Разделим обе части  на  b1 b2, тогда

Посмотрим графическое подтверждение  полученного факта.

Из курса алгебры 7 класса известно, что графики линейных функций у=к1 х+b1 и   у=к2 х+b2  пересекаются (т.е. имеют одну общую точку)  если к1 ≠к2.

Пусть дано линейное уравнение   a1 x + b1 y= c1.

Выразим переменную  у:  y =  

Тогда система уравнений      имеет одно решение, если  ≠ .     (Подтверждение получено).

Используя свойство пропорции можно записать: 

2.  Теперь запишем уже знакомые формулы в виде:  х∙∆ =∆х   и  у∙∆=∆y  

Если  ∆=∆ х = ∆у=  0,  то х  и  у могут принимать любые значения и система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Если ∆= 0,  то   

Если ∆х= 0,  то   = .

Если ∆у= 0,  то     = .

Графики линейных функций у=к1 х+b1 и   у=к2 х+b2  совпадают (т.е. имеют целое множество общих точек)  если к1 =к2  и  b1=b2.

Тогда система уравнений      имеет бесчисленное множество

    решений, если  =  и    = .

Используя свойство пропорции можно записать:  и   = .

Отсюда следует,  что и =      =>   =    (Подтверждение получено)

     Значит  =  = .

3. Равенства  х∙∆ =∆х   и  у∙∆=∆y   не имеют решений, если  ∆= 0,  ∆х≠ 0,  ∆у≠ 0

         То есть    ,   ≠  ,      .

Графики линейных функций у=к1 х+b1 и   у=к2 х+b2  параллельны (т.е не имеют общих точек) ,если к1 =к2  и  b1≠ b2.

Тогда система уравнений      не имеет   решений, если  =  и    ≠ .

Используя свойство пропорции можно записать:  и   ≠ .Значит и  ≠  

Отсюда      =   (Подтверждение получено)

В этом случае     =  .

Удобнее делать вывод о количестве решений системы уравнений, сравнивая коэффициенты:

- если     , то система линейных уравнений имеет единственное решение (графики линейных функций пересекаются);

- если  =     ,то система не  имеет решений (графики линейных функций параллельны);

- если  =  =   , то система имеет бесчисленное множество  решений (графики линейных функций совпадают).

Проведение обучающего эксперимента.

Теперь, когда мне стал понятен принцип решения систем линейных уравнений методом Крамера, я решил  проверить, насколько метод Крамера понятен  другим ученикам 8 класса, и можно ли его изучать в средней школе.  Для начала я объяснил одноклассникам способ решения системы методом Крамера. И затем провёл  небольшую проверочную работу, в которой первую систему нужно было решить тремя способами  (подстановкой, сложением  и методом  Крамера), вторую систему учащиеся могли решить любым удобным для себя способом.

Ход 1 занятия (20 минут)

1.Знакомство с новым способом  решения системы линейных уравнений.

2.Пример решения системы

Решение:

 =  = 9 +4=13

x =    = 21+2 = 23

y =    = 3-14 = -11

x = ,     y =

Ответ: (; )

3.Домашнее задание. Решить систему уравнений  тремя способами:

Ход 2 занятия (20 минут).

Самостоятельная работа.

1.Решить систему уравнений способом сложения, подстановки и

 методом Крамера:

2. Решить систему уравнений  любым способом:

В эксперименте приняли участие 25 человек. Подстановкой правильно решили первую систему уравнений 16 человек, сложением -18 человек, методом Крамера -17 человек. Для решения второй системы способ мог быть выбран любой. Из 20 человек, выбравших метод Крамера, 15 человек решили систему правильно.

Результаты работ были занесены в таблицу и по ней для большей наглядности составлены диаграммы.

Вывод: Мои одноклассники овладели методом Крамера для решения систем линейных уравнений не хуже, чем методами подстановки и  сложения. Более того, если есть возможность выбора способа решения, то 80% учащихся  остановились на новом методе.

Системы линейных уравнений с параметром.

До сих пор, готовясь к олимпиадам,  я решал системы уравнений  с параметром разными способами. Но после изучения метода Крамера, буду решать именно им, потому что считаю его наиболее рациональным и требующим меньше времени.

Вот примеры некоторых таких заданий:

Пример 1  .При каких значения параметра а система уравнений не имеет решений?    

а)

Система не имеет решений, если  = 0; x   0; y    0.

   = -a – 2 = 0;    a = -2;

   = - 4 – 2 0;

     = a – 8 0;      a 8;

Ответ: а = -2;

б)

    = (a + 1) (-a+2) – 2 = -a2 +2a – a + 2 – 2 = - a2 + a = 0

a(-a+1) = 0;

a = 0 или   a = 1;

Проверка: при  a = 0

   = 6 – 6 = 0;          

   = 6 – 6 = 0;

Вывод: при а = 0 решений много.

Проверка: при а = 1

    = 3 – 6 = -3

    = 12 – 6 = 6

Ответ: при а = 1;

Пример 2.   При каких значениях параметров а и в система уравнений  имеет  бесчисленно много решений?    

Решение. Система  имеет бесчисленно много решений, если = 0; x  = 0; y =0.

  = 2(a – 1) – 9b =  2a – 9b – 2.

      =4-(-b)= 4+ b =0  при  b= -4;

  = -a  -17= 0 при а=-17;

Проверка:  ∆=2∙(-17)-9∙(-4)-2=-34+36-2=0 (верно)

Ответ: при  a = -17; b = -4.

Пример 3.  При каких значениях параметров а и в   система уравнений  имеет единственное   решение, равное  (1;1)?  

Решение. Если пара чисел (1;1) является решением системы уравнений, то

Ответ: при  a = 1; b = -1;

Пример 4.  При каких значениях  параметра а система имеет единственное решение. Найдите это решение.

а)

Решение. Система имеет единственное решение, если ∆≠0.

   = 16a2 – 4 0;     a2   ;      a

     = a – a = 0;

 =16a2 – 4

x = 0;   y =  = 1;

Ответ:  при    a ;  х=0, у=1

Пример 5.  Решите систему уравнений для каждого значения параметра.

а)

   = a2 – 36 0           a 6

    = 2a – 12 = 2(a – 6)

    = 3a – 18 = 3(a – 6);

    x  =   =  ;

    y  =  =   ;

6x + 4y = 2

  y =  =  - 1,5x + 0,5

Ответ: при a = 6 – бесчисленное множество решений   (x; - 1,5x + 0,5);

            при a = -6 – решений нет.

            при a 6   (;);

б)

     = -ab + 90  0          ab 90

     = -6b + 90;

      = 10a – 60

     x =              y =

    Ответ: при ab = 90, a 6, b  15 решений нет;

                при a = 6, b = 15 решений бесчисленно  много.

            при ab  90 одно решение (;)

Аналогично могут быть решены и другие системы уравнений  с параметром.

Пример 1.  Найдите все значения параметра a, при которых система

имеет единственное решение.                                         Ответ: при а≠ -3.

Пример 2. Найдите все значения параметра m, при которых система

не имеет решений.                                                             Ответ: при m=1,5.

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при которых система

не имеет решений.                                                        Ответ: при а=0  и а=-2.

Пример 4. Найдите все значения параметра в, при которых система

 имеет бесконечно много решений.                               Ответ: при в=1,5.

Пример 5. Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений.

Ответ: при а= - .

Компьютерная программа

Я увлекаюсь не только математикой, но и информатикой. И поэтому  для решения систем линейных уравнений второго порядка методом Крамера составил компьютерную программу на языке программирования Delphi. На блок-схеме представлен алгоритм ее работы.

Поскольку в нашей гимназии проверочные работы составляются на 6 вариантов, то данная программа позволит учителю быстрее проверять решения учащихся (даже, если система решалась другим способом). Код программы содержится в приложении к работе.

Заключение

В результате выполнения работы:

1.Изучена литература по методам решения систем линейных уравнений.

2.Подобраны и решены системы линейных уравнений 2 порядка методом Крамера, в том числе системы, содержащие параметр.

3. Проведены занятия с одноклассниками по изучению нового метода решения систем, определён уровень усвоения материала.

4.Разработана компьютерная программа для решения систем уравнений 2 порядка методом Крамера.

Метод Крамера позволяет существенно сократить время нахождения решений систем линейных уравнений, а также уравнений, содержащих параметр. Метод Крамера  доступен для его изучения учащимся 8 классов при решении систем линейных уравнений 2 порядка и может быть предложен ученикам как дополнительный метод.

   Список использованной литературы:

1. Ляпин А.A, Родионов Е.М, Синякова С.Л,  Математика. Сборник задач. Москва. Ориентир  2006г.

2.Кулагин Е.Д., Норин В.П , Федин С.Н., Шевченко Ю.А.  3000 конкурсных задач по математике. 5-е издание. Айрес-пресс.2003г.

3. Юшкевич А.П. Математика XVIII столетия. Москва. Наука.1972г.

4.Шипачёв В.С. Высшая математика. М. «Высшая школа». 1985г.

5. Смыкалова Е.В.  Математика.  Дополнительные главы. Санкт-Петербург. СМИО Пресс.2005.

6. Смыкалова Е.В. Математика. Сборник задач. Санкт-Петербург. СМИО Пресс.2007

7.Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Москва. Просвещение 1991.

8.Севрюков П.Ф. Смоляков А.Н. Школа решения задач с параметрами. Москва. Ставрополь. 2007.

9. А. Жуков. «Изучаем Delphi» «Питер» 2005 год

10. М. Фленов.  «Библия Delphi» «БХВ – Петербург» 2004 год

11. А. Чиртик . «Delphi трюки и эффекты» «Питер» 2007 год