Задачи на разрезание

                                                 2

                                     Содержание

I  Введение; Историческая справка······························································ 3

II  Основная часть:  

параллелограмм; ··········································································6

прямоугольник; ············································································6

треугольник; ················································································7

трапеция;·····················································································7

многоугольник;·············································································8

греческий крест;············································································9

задачи на доказательство;·······························································10

III Заключение·························································································12

                                                                           3

Введение

Историческая справка;

Задачи на разрезание являются одной из представительниц целой группы головоломок с общим названием «полимино» (производное от домино). Этот термин в 1953 году ввел в употребление американский математик Соломон Голомб – создатель теории полимино и многочисленных геометрических головоломок с фигурками тримино, тетрамино и пентамино (что означает три, четыре, пять). Его книга с описанием многочисленных головоломок стала мировым бестселлером, была переведена на множество языков, в том числе и русский.

Соломон Голомб                                        Книга «полимино» - Соломон Голомб

В нашей стране расцвет этой головоломки наступил после 1975 года благодаря публикациям в журнале «Наука и жизнь», где тема полимино стала едва ли не постоянной рубрикой.

После публикации выяснилось,  что есть и наш отечественный изобретатель пантамино – ленинградец Н.Д. Сергиевский, предположивший эту головоломку еще в 1935 году под названием «12 по 5». В 1951 году эта головоломка учавсвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки

                                                                    4

После этого связанные с полимино игры и задачи удивительно быстро распространялись по всему миру и захватили обширную аудиторию от младших школьников до профессиональных математиков.

                                                                            5

                                       Основная часть.

Я предлагаю вначале рассмотреть несколько  простых задач на разрезание, которые иллюстрируют вывод формул площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

                                                                      6

                              Задача 1.  Параллелограмм.

Параллелограмм разрежьте  на две части,  

         из которых можно сложить прямоугольник.

                             Задача 2. Прямоугольник.

Данный прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить:

а) Треугольник;

б) Параллелограмм;

в) Трапецию.

Решение:

                                                                        7

                                       Задача 3. Треугольник

Треугольник разрежьте на две части, из которых      

              можно сложить параллелограмм.

                                                   Трапеция

Задача 4.

Трапецию разрежьте на две части, из которых можно сложить треугольник.

Задача 5.

Трапецию разрежьте на три части, из которых можно сложить прямоугольник.

                                                                           8

                                                        Многоугольник.                  

Задача 6.

Правильный шестиугольник разрежьте на две части,

                                              из которых можно составить параллелограмм.

Следующие задачи более сложные

Задача 7.

Разрежьте изображенную фигуру, составленную из трех квадратов, на четыре равные части.

Рис.1

Рис.2                                                                               Рис.3

                                                        9

                                             Греческий крест

Задача 8.

Греческий крест разрежьте на несколько частей и составьте из них квадрат.

 Теперь усложним эту задачу и решим ее.

Задача 9.

Греческий крест разрежьте двумя разрезами и составьте из полученных частей квадрат.

                                                                             10  

                                   Задачи на доказательство

 Задача 10.

Используя задачи на разрезания, докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей.

                Рис. 1                                                         рис. 2                                           рис. 3                        

Доказательство:

1.Проведем д.п. : наибольшую диагональ АВ(см. рис. 2)    

2.Проведем наименьшую диагональ СD

3.СD=а=d( меньшая сторона прямоугольника)

   АВ=b (большая сторона прямоугольника)

Т.к. АВ = СD+2АМ = b = d большего.                

AM=NB=SP=KC(см.рис.3)

4.Sпр.=a·b (произведению его смежных сторон)

Т.к. а=dм., b=dб., отсюда следует, что S=dб. · dм. ( площадь равна диагонали большого умноженное на диагональ меньшего)

                                                                                         ч.т.д.

Задача 11.

Стороны АВ и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и BC – на m  равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рисунке, где n=3,

                                                                                                                                             m=4.

Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

Решение:

               Рис.

                                                                       11             

Решение:

1.По условию стороны AB и CD разбиты на n равных частей,

                                     а BC и AD на m равных частей,

как показано на рисунке 1, где n = 3, m=4.

2.Тогда с помощью разрезания и перемещения частей получим новую фигуру (рис. 2)

     Рис.2

Отрежем части составляющие неполные параллелограммы и перенесем их на противоположные стороны.

Получим (n+1) ·m-(m-1),где (n+1) ·m – все количество в большом параллелограмме.

А (m-1)-количество белых, которых нет. (рис. 3)

          Рис.3

Тогда (n+1) ·m-(m-1) = nm+m-m+1=nm+1-количество маленьких параллелограммов.

Т.к. Sбольшого = 1        Sм.=1/nm=1

Задача 12.

Докажите, что никакой выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

Доказательство:

Если выпуклый многоугольник разрезан на параллелограммы, то у каждой его стороны есть противоположная, параллельная  ей сторона. Таким образом, число сторон должно быть четным. Т.к. в данной фигуре 13 сторон, а число 13 не четное, значит и число сторон у фигуры не четное.

Ответ:13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы

                                                                            12

·Заключение

Почему я выбрала эту тему?!

Я выбрала эту тему потому, что мне интересна геометрия, и я хочу узнать еще больше чем знаю. Задачи на разрезание формируют геометрические представления о площади и ее свойствах, развивают практические навыки, воспитывают интерес к геометрии. С помощью них у нас развиваются фантазия и логика.

Список использованных источников и литературы:

Википедия

Занимательная геометрия

 http://www.alleng.ru

 http://lib.mexmat.ru

 http://www.twirpx.com

 http://stepanov.lk.net

http://www.smekalka.pp.ru