Лента Мебиуса

  Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………………........2
2. Основная часть. Лента Мёбиуса……………….………………………............3

 2.1.     Свойства ленты Мёбиуса………………………………………………..3

2.2.     Применение ленты Мёбиуса……………………………………………..6

3. Заключение…………………………………………………………………….....9
4. Список  литературы …………………………………………………………….10

Введение.

         В наше время актуально изучение различных свойств  нестандартных явлений. В своем проекте я хотела бы исследовать необычные свойства удивительного изобретения, ленты Мёбиуса. Это  так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция  была открыта немецким математиком Августом Фердинандом Мебиусом во второй половине 19 века и, естественно, была названа в его честь.

Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Справедливости ради, надо заметить, что сама фигура, называемая всеми лентой Мёбиуса, одновременно и независимо в том же 1858 году была построена и другим немецкими математиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882), который, кстати, пустил в математический обиход и термин «топология».

Лента Мебиуса - один из объектов области математики под названием «топология». Топология (по другому – « геометрия положения») является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях.

Проблема:  Какими же удивительными свойствами обладает лента Мебиуса?

Цель работы: Исследование поверхности ленты Мебиуса и её свойств.

Задачи работы:

1. Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса.
2. Выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса.
3. Установить области применения ленты Мебиуса.

Объект исследования: лента Мебиуса.

Предмет исследования:  свойства ленты Мёбиуса.

II.   Основная часть.

2.1.  Свойства ленты Мёбиуса.

Что же это за поверхность – лента Мебиуса?

 Самое  удивительное то, что сделать её своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист или лента Мебиуса.        

 Основные свойства ленты Мебиуса.

Основными свойствами ленты Мебиуса являются:

1. односторонность,
2. непрерывность,
3. связность,
4. ориентированность,
5. “хроматический номер”.

Односторонность. 

Лента Мебиуса имеет одностороннюю поверхность. Проверить это можно закрашиванием поверхности ленты. Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот любопытное свойство.

Непрерывность.

Тополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.

Связность.

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.       

Ориентированность.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

Хроматический номер

“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

Примером односторонней поверхности является Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

2.2.  Применение.

Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса. Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Есть авторское свидетельство  на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

Мёбиусовая  лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса. Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах. 

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

  Лента Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

  Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в  ленту Мебиуса.                                                      

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на  пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Заключение.

Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли ученые. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая положила  начало целому направлению в геометрии «топологии». Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни.

В ходе данного проекта-исследования мною была прочитана и переработана большая разнообразная информация, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводила сравнение различных источников и анализировала прочитанное.

 Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса.  В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса – топологическая фигура.  Мне удалось показать, что:

Вывод 1. Лента Мебиуса топологический объект.

Вывод 2. Лента Мебиуса имеет один край и одну сторону.

Вывод 3. Один край и одна сторона ленты Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Вывод 4. Лента Мебиуса представляет собой неориентированную поверхность.

Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования о ленте Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.Мною не исчерпаны опыты с лентой Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.

                    Список использованной литературы

1. Гарднер М.Математические досуги. М. Мир,1972.
2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.
3. Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.
4. Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984
5. Смирнова Е.С. «Курс наглядной геометрии» 6 класс.
6. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.
7. http://ru.wikipedia.org/wiki/