Исследовательская работа "Золотое сечение" и гармония православных храмов.

Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей №1 Красноармейского района г. Волгограда

   Областной  научно-исследовательский    

                                            конкурс  «Новое поколение выбирает

                                       науку» среди старшеклассников и      

студентов.

                секция Математика.

«Золотое сечение» и гармония в православной архитектуре.

                                                       Выполнили:

                                                  ученик 8 «Б» класса

                                                  Кушнарёв Александр Сергеевич,

                                                  ученица 10 «Б» класса

                                                  Яковлева Нина Михайловна

                                                  Учитель математики:

                                                  Яковлева Анна Викторовна,

                                                  Учитель истории и обществознания:

                                                  Аксёнова Оксана Владимировна.

                                            Волгоград 2012  

Содержание.                                                                                          с.

Введение.......................................................................................................3

Глава 1.Методика исследования…………………………………………5

Глава 2. Сущность архитектуры как отрасли инженерных знаний и искусства. Роль геометрии в архитектуре…………...............................7

2.1 Инженерная и художественная составляющие архитектуры……...7

2.2 «Золотое сечение» как основная пропорция в искусстве………….8

2.3 Геометрический смысл «золотого сечения».....................................8

Глава 3. Геометрия в древнерусских постройках……………………..11

3.1 «Золотое сечение» в архитектуре русских храмов………………..11

Глава 4. Исследование «математического каркаса»  церквей

Святого Никиты  - Мученика в селе Дубовый Овраг

Светлоярского района и Святого Ф. Ушакова в

Красноармейском районе города Волгограда………………………14

4.1 История церкви Святого Никиты – Мученика…………….…….14

4.2 Исследование пропорций притвора…………………..…………..15

4.3 Исследование пропорций колокольни…………………..………..16

4.4 Исследование математического каркаса храма Святого праведного Фёдора  Ушакова на набережной Красноармейского района………...17

Заключение ………………………...……………………………………20

Список литературы…………………………………………………….21

Приложение…………………………………………………………….22

Введение.

   Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые. Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека - архитектура.

   Архитектура - это соединение искусства, науки и производства. Архитектуру метко называют дочерью геометрии. Практика поколений строителей, опыт, передавшийся по наследству, способствовали сложению определенных правил, устойчивых приемов выполнения геометрических очертаний зданий.

  Актуальность исследования обусловлена интересом к духовному наследию русского народа, возможностью глубже понять такое направление в архитектуре как православное зодчество, а также интересом  к  золотому сечению с точки зрения дальнейшей перспективы (применения полученных знаний в своей будущей профессии инженера-строителя).

  Православные храмы удивляют своей красотой и совершенством благодаря точным пропорциям, образующим своеобразный «математический каркас» церкви. Именно, сочетание красоты, духовности и целесообразности рождает гармонию. В ходе анализа литературы, современной практики строительства храмов возникает вопрос: не утрачены ли традиции старых мастеров, создавших шедевры мирового зодчества? В ходе исследования нами была выдвинута гипотеза: в «математических каркасах»  церкви в селе Дубовый овраг и часовни Ф. И. Ушакова, недавно построенной на набережной Красноармейского района,  заложены пропорции «золотого сечения».

  Цель работы: Выявить гармоничность постройки церкви Святого Никиты  - Мученика в селе Дубовый Овраг и часовни адмирала Ф. И. Ушакова на набережной Красноармейского района, с точки зрения «золотого сечения».

Задачи:

Осуществить поиск и подбор научной литературы о «Золотом сечении» в геометрии, в архитектуре православных храмов.

Исследовать пропорции в архитектуре церкви Святого Никиты – Мученика и церкви Святого праведного Фёдора Ушакова.

Рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей в зодчестве, их практическом применении при проектировании и постройке храмовых сооружений в селе Дубовый Овраг Волгоградской области и Красноармейском районе города Волгограда.

Расширить общекультурный кругозор  посредством знакомства  с лучшими образцами произведений православной архитектуры.

 Объект исследования: «математический каркас» церкви Святого Никиты  - Мученика в селе Дубовый Овраг и часовни адмирала Ф. И. Ушакова на набережной Красноармейского района.

 Предмет исследования: пропорции в архитектуре  церкви Святого Никиты  - Мученика в селе Дубовый Овраг и церковь Святого праведного Фёдора Ушакова на набережной Красноармейского района.

  Новизна работы состоит в том, что в ней впервые исследуется культовое зодчество Волгоградского региона с точки зрения гармоничности его пропорций, рассматриваются региональные и художественно – стилистические особенности православной архитектуры.

  Научные методы исследования:

теоретические (анализ, синтез, аналогия, формализация);

эмпирические (измерение, работа с  чертежами, наблюдение,    

  сравнение,   математические  расчеты).

 Глава 1.  Методика исследования.

   В ходе исследования мы провели необходимые методологические мероприятия, которые можно разбить на несколько этапов.

   Первый этап – подготовительный. На данном этапе определены цели и задачи исследования. После этого проведён сбор и анализ информации по выбранной теме: изучены исторические книги, книги по архитектуре и прикладной геометрии.

  Второй этап – основной. Данный этап включает в себя систематизацию полученных сведений,  методы, определения технических характеристик зданий (высота).

Способ определения высоты часовни Ф. И. Ушакова на набережной Красноармейского района.

На некотором расстоянии от объекта  на ровной месте в точке С (рис.1) кладут  горизонтально зеркало и отходят от него назад в такую точку D, стоя в от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхнюю точку  А объекта. Тогда объект (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ЕD), во

рис.1  Определение высоты объекта с помощью зеркала

сколько раз расстояние ВС от зеркала до объекта больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя. Этот способ основан на законе отражения света. Верхняя точка А объекта отражается в точке А1 так, что АВ = А1В. Из подобия же треугольников ВСА1 и СЕD следует, что А1В : ЕD =  ВС : СD. В этой пропорции остается лишь заменить А1В равным ему АВ[8].

План построения эскиза купола «луковичной» формы(Приложение 1), [1].

Выбирают единицу измерения  - отрезок  е. Строят равнобедренный треугольник АВС, у которого основание АВ = 8е, а высота О 1С = 5е. АВ и О1С составляют золотую пропорцию. Треугольник АВС служит основой эскиза купола православной церкви. Далее:

1.Проводят перпендикуляр О1К  к стороне ВС.

2.На высоте СО1 отмечают  точку М так, чтобы СМ=О1 В, и через точку М проводят прямую, перпендикулярную прямой  СО 1 , которая  пересекает отрезок  О 1К в точке О 2.

3.Проводят окружность с центром  в точке  О 2 и радиусом О 2К.

4.Делят отрезок  О 1В  точкой S  пополам и  через  неё проводят  прямую  SP, перпендикулярную  АВ. Она  пересекает  построенную окружность в точке  L, через которую проводят прямую, параллельную  АВ. В пересечении с осью СО получается точка Е.

5.На прямой  СЕ от точки С откладывают  отрезок CG =2е. Из точки  О 1 как из центра  проводят окружность , радиусом  О 1G, которая пересекает предыдущую окружность в точке N, и окружность  радиусом  О 1К, пересекающую  высоту  СO 1  в точке F.

6.Из точек С И N как из центров проводят окружности радиусом СN. О3  - точка пересечения окружностей.

7.Затем из О3 проводят дугу радиусом О3 N до её пересечения с  точкой С.

Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО 1.

Третий этап – итоговый, заключается в вычерчивании чертежей, вычисление отношений, сравнение полученных результатов с пропорциями «золотого сечения»  и оформление выводов через

 учебно – исследовательскую работу.

Глава 2 .Сущность архитектуры как отрасли инженерных знаний и искусства. Роль геометрии в архитектуре.

             "Необходимо прекрасному зданию быть построенным      

              подобно хорошо сложенному человеку "

                                                                         Павел Флоренский

2.1 Инженерная и художественная составляющие архитектуры.

   Архитектура (лат. architectura от греч. ἀρχιτέκτων – ἀρχι (главный) +τέκτων (строитель, плотник): искусство и наука проектирования и строительства зданий и других объектов[6].

Самая ранняя известная обзорная письменная работа по архитектуре - написанный римским архитектором Витрувием в начале I в до н.э. трактат «Десять книг об архитектуре». Согласно постулатам Витрувия, изложенным в этом трактате, постройка должна удовлетворять трем принципам ( «триада Витрувия»):

прочность - постройка должна быть крепкой и со временем оставаться в хорошем состоянии

польза - постройка должна удовлетворять потребности людей в соответствии со своим назначением

красота - постройка должна восхищать своим видом

  Согласно Витрувию, архитектура должна служить удовлетворению каждого из этих требований.

2.2 «Золотое сечение» как основная пропорция в искусстве.

        Золотое сечение – понятие математическое, но оно является критерием гармонии и красоты в  искусстве. В энциклопедическом словаре изобразительного искусства дано такое определение «золотого сечения»:

  «Золотое сечение, или божественная пропорция (лат. Sectio aurea;  Sectio Divina; см. золото; пропорционирование) - идеальное соотношение величин, наилучшая и единственная пропорция, уравновешивающая отношения частей какой-либо формы между собой и каждой части с целым, основа гармонии».

Там же дана «формула красоты»:  (А + В) : А = А : В.  «Эстетический смысл этой формулы состоит  в том,  что, данная пропорция является единственно возможной, тем идеальным случаем, когда уравниваются отношения частей какой-либо величины между собой и каждой из этих частей с целым. Все прочие гармонические отношения связывают только отдельные части формы, а Золотая пропорция связывает части и целое.

        2.3 Геометрический смысл «золотого сечения»?

  Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему[7].

                                                  =                (1)

Рис. 2. Геометрическое изображение золотой пропорции.

  Если длину отрезка  АВ обозначить через α, а длину отрезка  АС – через х, то длина отрезка  СВ  будет α – х , и пропорция (1) примет  вид:                    

                                      =                      (2)

  Применяя основное свойство пропорции, приведем уравнение (2) к виду:

х2 =  а (а - х)

   Из этого уравнения видно, что при «золотом сечении» длина большего отрезка есть среднее геометрическое или среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части:

            х =

 Верно и обратное: если отрезок разбит на два неравных отрезка так, что длина большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньшей части, то мы имеем Золотое сечение данного отрезка.

Уравнение х2 = а(а – х) запишем в виде а2 = х2 +ах и разделим обе части уравнения на х2.  

Обозначив искомое отношение а/х буквой Ф, получим уравнение:

                                          Ф2  = 1 + Ф,

имеющее единственный положительный корень

                                Ф = = 1, 618034…

  Часто рассматривают не отношение большего отрезка к меньшему, а обратную величину – отношение меньшего отрезка к большему – 1/Ф. Его обозначают буквой  и оно равно:

                                 = 0,618034…

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число .[2]

Рис. 3. В пропорциях Парфенона многократно присутствует число φ.

  Парфенон  является символом гармонии в мировом искусстве.

Известно, что  прямоугольник, обрамляющий его фасад, имеет размеры 2 φ -1 и  φ+1.

На практике  пользуются числом φ, взятым с точностью до тысячных 0,618, или до сотых 0,62, или до десятых 0,6.                

Глава 3. Геометрия в древнерусских постройках.

  В научной литературе по исследованию памятников архитектуры Древней Руси выявлены общепризнанные образцы гармонического единства, лучшие создания человеческого гения: церковь Вознесения села Коломенского под Москвой (построена в 1532 г); церковь Покрова на Нерли (1165 - 1167 гг.). Среди памятников древней Руси, кроме указанных, к шедеврам архитектуры относятся: Успенская церковь Печорского монастыря в Киеве, Успенская церковь Елецкого монастыря в Чернигове.

3.1.  Золотое сечение в архитектуре русских храмов

Множество архитектурных шедевров русского зодчества построено по пропорции  Золотого сечения. Ярким примером  древнерусского зодчества ХII века является храм Покрова Богородицы, стоящий на берегу владимирской речки Нерль.[5]

  В чем особенность архитектуры  храма? План храма состоит из трех частей – нефов.  В закруглениях восточной части (апсидах) помещается алтарь. Главная часть храмовой постройки – куб. В центре его верхней грани расположен барабан, на котором помещается купол. Венчает конструкцию крест. Если спроектировать барабан и купол на основание храма, то они изобразятся кругом, помещенным в центральную часть символического квадрата.

  «Архитектура храма глубоко  символична: куб воплощает землю, а купол – небо. Основой плана является крест – символ христианства. Главу храма держит Христос – Вседержитель, шею (барабан) - апостолы. В самом храме земля и небо соединяются  в архитектурном строе, они создают единое пространство.

Лаконичная «кубическая» композиция одноглавого храма Покрова на Нерли поражает своей простотой и строгостью. Правильные формы подчинены единому и точному замыслу. Как все здесь просчитано, уравновешено и продумано. Точные пропорции и старинные меры образуют своеобразный «математический каркас» церкви».

На рисунке 4 видно, что гармония храма Покрова Богородицы на Нерли (построена в 1165г.) подчинена строгим математическим законам пропорциональности. Церковь построена на пропорциях функции золотого сечения, что дает в плане три вписанных друг в друга «живых квадрата», отношение сторон которых √5:2 определяет пропорциональный строй храма.

рис. 4

  При анализе пропорции храма Покрова на Нерли нам встретились  функции Золотого сечения.  Само Золотое сечение можно встретить в строе храма не один раз. Закону Золотого сечения подчинены главные вертикали храма, определяющие его силуэт: высота основания, равная высоте тонких колонок четверика, и высота барабана. Диаметр барабана относиться к его высоте также в Золотой пропорции. Эти пропорции  видны с любых точек зрения. Если подойти к западному фасаду церкви, то ряд Золотого сечения можно продолжить: плечи относятся к диаметру барабана в Золотой пропорции.

Приняв высоту белокаменной части храма за единицу, получим ряд Золотого сечения    

1,   φ,  φ 2, φ 3, φ 4, … , φ n, … .

         Творение древних зодчих в результате такого  анализа кажется еще более совершенным. Замечательный пример неразрывного единства архитектуры и математики.[3]

Глава 4. Исследование «математического каркаса»  церквей Святого Никиты  - Мученика в селе Дубовый Овраг Светлоярского района и Святого Ф. Ушакова в Красноармейском районе города Волгограда.

4.1 История церкви Святого Никиты – Мученика.

История  строительства каменной церкви в селе Дубовый Овраг начинается 28 сентября 1903 года, когда было освящено место и заложен первый камень. До этого в селе была деревянная церковь. Строительство продолжалось 10 лет. В 1913 году отстроенная церковь была освящена в честь Никиты -Мученика.

С приходом советской власти церковь постигла участь многих церквей России. Церковь была разорена, колокола отправлены на переплавку.

 Во время героической обороны Сталинграда село Дубовый Овраг было стратегически важным пунктом защиты. Разрушенная церковь была кровом и домом для населения и солдат.

  После войны помещение церкви использовалось как совхозный склад.

Новая история церкви начинается 13 августа 1989 года, когда по просьбе  местных жителей был открыт приход Святого Никиты – Мученика. Началось постепенное восстановление  церкви, а пока все требы и служения проводились в доме настоятеля. Долгожданное событие - первая служба состоялось на Крещение Господне-19 января 1989 года. После этого началась постепенная реставрация Храма, которая длилась несколько лет. Сейчас церковь отреставрирована. Её золотой купол виден издалека.

  Купол православного храма символизирует небо. «Луковичная» форма (см. приложение 1) купола выбирается не случайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают верующие во время обращения к Богу. Такая форма купола символизирует духовный подъем и стремление к совершенству. Конечно, люди не религиозные могут не согласиться с описанной трактовкой формы купола, ведь она просто не дает скапливаться снегу и влаге. По – своему они правы, поскольку красота и духовность всегда идут рука об руку с целесообразностью. Именно это сочетание и рождает гармонию.

  Архитектурный образ храма   напоминает     вытянутый с востока  на запад  «корабль».  Такая форма  широко распространена в России. С первого же взгляда храм производит впечатление красивого  гармоничного строения.

   Главное святилище храма  - алтарь находится в апсиде – в полукруглом восточном выступе.  У  западного входа помещается притвор, в верхней части которого находится колокольня.

4.2 Исследование пропорций притвора.

 Заметим, что все приводимые измерения даны в миллиметрах.                                                                     Сравним высоту основной части притвора с верхней частью (см. Приложение 2). Обозначим высоту основной части притвора АВ, а верхней части ВС.  АВ=4150 ВС=2490.

Полученные отношения близки к «золотой пропорции» и отличаются от неё на 4% и 3%.

При исследовании пропорций западного фасада церкви  можно найти еще одну пропорцию, близкую к «золотому сечению», вычислив  отношение   высоты  притвора к ее ширине:  ≈0,602≈ φ.

4.3.Исследование пропорций колокольни.

  Рассмотрим главные вертикали колокольни, определяющие её силуэт. Взгляд на колокольню с южной стороны  позволяет проследить её деление на основные части (см. Приложение 3).

  Фасад нижней части колокольни – прямоугольник,  разделённый поясом карниза.

Высоту до карниза  обозначим АВ, а всю высоту нижней части  АС. АС= 11100, АВ= 6900.

Найдём отношение АВ к АС.

Средняя часть колокольни, высота которой около 7 метров поделена  на 3 примерно равные части: 2600, 2400, 1800.Здесь мы также можем наблюдать пропорцию близкую к «золотой»:

  Венчает колокольню, восьмигранный  шатёр и купол луковичной формы.

Отношение средней части колокольни к её нижней части.

Заметим, что  пропорции нижней и средней частей колокольни совпадают.

  Как видим, в главной вертикали колокольни, описывающей её силуэт, заложена система пропорций, близких к «золотому сечению».

 Главная часть храмовой постройки  - «куб». В центре его верхней грани расположен  восьмигранный барабан. Венчает храмовую часть глава, шатровой формы, которая находится на барабане. Украшают церковь арочные окна (см. Приложение ), в пропорцию которых заложена иррациональность. Если ширину арки принять за 1, то её высота равна  1,5+ .

4.4 Исследование математического каркаса храма Святого праведного Фёдора  Ушакова на набережной Красноармейского района.

  Храм Святого праведного Федора  Ушакова принадлежит Московскому Патриархату и Волгоградской Епархии. Построен в 2011 году в честь памяти первостроителей канала.

Храм имеет крестово-купольное строение. Основа храма  - прямоугольный параллелепипед (его основание – квадрат). (см. Приложение 5). Сторона квадрата равна 5430. Крестообразная форма храма символизирует крест Христов, через который верующие получили спасение. Храм разделяется на три основные части: притвор, средняя часть и алтарь.  

  Высоту храма определили экспериментальным путём (Приложение 6, лист 1, лист 2).

Определили высоту основной части храма и обозначим её АВ:

                                  10100:25302

                                           АВ =   

Найдем отношение сторон прямоугольника, в который вписывается основная часть храма:              

 Это величина ещё не раз встретится в пропорциях храма.

Определили высоту храма с куполом и обозначим её АС:          

                                 АС =  

Определили высоту храма до верхней точки креста купола и обозначим её АD:

                                  АD =

BD = 12550 – 6940 = 5610

Найдём отношение основной части храма AB к высоте всего храма AD, и отношение BD  к АВ:

Видно, что это отношение не является «золотой пропорцией».

Высота купола ВС =  , а высота креста СD = 5610 – 3050 = 2560

Найдем отношение BC к BD, и CD к BC:

  Заметим, что  пропорции всего храма и верхней части совпадают, хотя и не являются «золотыми», именно это и придаёт храму неповторимую архитектурную гармонию.

Заключение.

  Согласно цели исследовательской работы мы исследовали систему пропорций в архитектуре и выявили гармоничность постройки церкви Святого Никиты – Мученика в селе Дубовый Овраг и церкви Святого праведного Фёдора Ушакова в Красноармейском районе.

  В ходе исследовательской работы, мы  осуществили поиск и отбор  информации о «золотом сечении» и его свойствах, имеющих значение  в архитектуре,  православном зодчестве. На основании полученных фактов сделали вывод: что в архитектуре православного храма в селе Дубовый Овраг заложена гармоничная система пропорций, соответствующая «золотому сечению».  В архитектурном строе церкви в Красноармейском районе заложена своя вполне гармоничная система пропорций.

   Почему православные  храмы так притягательны для верующих и неверующих? Храмы на Руси всегда выходили за рамки только культового назначения. Храм - это прежде всего общественное место, нередко праздничное, предмет постоянной заботы и гордости местных жителей. Его архитектура выражает идеал красоты, в ее образах воплощается духовное совершенство. Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы куполов православных храмов, слышится колокольный звон, призывающий к вере, единству, добру, жертвенности и стойкости. Созерцая храмы – эти творения русской души, соединяешься с ними в едином порыве к красоте и духовному свету.

Список литературы.

Данкова И.Н., Бондаренко Т. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике: Общее положения, структура портфолио, программы курсов, сценарий занятий /Данкова И.Н., Бондарнко Т.Е.,Емелина Л.Л.,Плетнева О.К.; под общ. ред. проф. С.А. Антипова, и проф. Ю. А. Савинкова; - М.: « 5 за знания», 2006. – 128с.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксёнова; метод. и отв. ред. В. А. Володин. – М.: Аванта+, 2003. – 668 с.  

И.Ш. Шевелев. Геометрическая гармония. Опыт исследования пропорций в архитектуре; - Кострома: Полиграфиздат, 1963 г. -109с.

Плужников В.И. Термины российского архитектурного наследия: Словарь-глоссарий; — М.: «Искусство», 1995. – 159 с.

Раппорт П.А. Древнерусская архитектура: науч. изд.- СПб.: Строй – издат. С.-Петербургское отд-ние,  1993.-287 с.

http://decopedia.homeideas.ru/архитектура

http://nauka.relis.ru/52/0306/52306082.htm. Математические досуги. Золотая пропорция. Новый взгляд.

Перельман Я. И.Занимательная геометрия / Я. И. Перельман. Под  ред. и с доп. Б. А. Кордемского. - Изд. 7 – е  перераб.– М.:Государственное издательство технико – теоретической литературы,  1950. – 308 с.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3. 

Приложение 4.

Приложение 5.

Приложение 6. Лист 1

Приложение 6. Лист 2.