Учебно-исследовательская работа «Функция и её производная в решении практических задач»
Основная идея работы:чистому городу, каким является наш Белгород, нужны и чистые автомобили. Проблема:для мойки автомобилей требуется изготовить открытый цилиндрический бак объемом 300 л, чтобы площадь его поверхности была наименьшей. Каковы должны быть его размеры?Объём и площадь поверхности бака взаимосвязан с такими параметрами, как высота бака и диаметр его основания.
Огромный мир зависимостей между переменными позволяют рассмотреть и проанализировать различные процессы реального мира. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.
Для разрешения нашей ситуации, решим задачу в общем виде и учтем толщину используемого материала, возможно, это повлияет на результат.
Задача 2. Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью V0. Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим? Получили: чтобы изготовить цилиндрический резервуар объемом V0при наименьшем расходе материала высота цилиндра и радиус внутреннего цилиндра должны быть равны, от толщины материала полученное решение задачи не зависит. Значит, чтобы изготовитьоткрытый цилиндрический бак объемом 300 литров наименьшей площади его поверхности необходимо, чтобы радиус и высота цилиндра приблизительно были равны 4,57дм, тогда расход материала будет наименьшим.
Естественно, изготовление баков для воды не решит проблему грязных машин, номы, будущие водители, должны помнить, что в наших силах поддерживать чистоту и порядок в нашем родном городе. Необходимо правильно эксплуатировать автомобиль и соблюдать все правила и нормы ТО.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 proizvodnaya_i_eyo_primenenie_k_konferencii.rar | 1.71 МБ |
Подписи к слайдам:
Проблема
Для мойки автомобилей требуется изготовить открытый цилиндрический бак объемом 300 литров, чтобы площадь его поверхности была наименьшей. Каковы должны быть его размеры?
Н
R
Развертка цилиндрической поверхности с одним основанием
Определение функции
Если каждому значению х
из некоторого множества чисел
поставлено в соответствие число у ,
то говорят, что на этом множестве задана функция у(х).
f
х
у
y=f(х)
(х)
x-область определения
y(x)-область значений функции
f –соответствие между множествами
x
y1
1
2200
2
2400
3
2600
4
2800
5
3000
6
3200
7
3400
x
y2
1
1400
2
1800
3
2200
4
2600
5
3000
6
3400
7
3800
Вывод: до 500км выгодней заказ у второй фирмы, на более дальние расстояния – более выгоден заказ первой фирмы. Точка пересечения ( 5; 3000) говорит, что при дальности поездки в 500км расходы одинаковы.
Пусть х- расстояние в сотнях километров, у- стоимость перевозок, получаем: у1 = 2000 + 200х, y2 = 1000 + 400х
ООО УТЭП занимается грузоперевозками. 1 фирма предоставляет в аренду автомобили по договорной предоплате 2000 рублей и ее услуги: 200руб. за 100км пробега. 2 фирма: договорная оплата 1000 рублей, но ее услуги оплачиваются: 400 руб. за 100км пробега. Найти наиболее выгодный вариант.
У
Х
1
0
а>1
0
У
Х
1
0
0
Возрастание
Затухание процессов
Экономические расчеты
Задача: Стоимость оборудования мастерской равна 500 тыс. р. Известно, что через 10 лет стоимость этого оборудования вследствие амортизации будет равна 200 тыс. р. Найдите процент ежегодной амортизации оборудования.
завод
Решение.
где B = 200 тыс. рублей,
тыс. рублей, x = 10 лет.
Ответ: ежегодный процент амортизации составляет 8,76 %.
Г. Лейбниц
И. Ньютон
Основоположники дифференциального исчисления
Ньютон.задача о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
Лейбниц задача о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.
Основоположники дифференциального исчисления
Понятие производнойМеханический смысл производной
Средняя скорость движения
∆t
∆S
Мгновенная скорость движения
90 км
мгновенная скорость движения: скорость в момент времени t
Мгновенная скорость движения
Предел разностного отношения при называется производной функции S(t). Обозначается
Мгновенная скорость – производная пути по времени
Геометрический смысл производной
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Решение задач на нахождение углового коэффициента касательной имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории.поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.
у
х
0
y = f(x)
А
Δх
Δу
f(x)
f(x+Δх)
х+Δх
α
1
х
М
1
у
х
0
y = f(x)
А
Δх
Δу
f(x)
f(x+Δх)
х+Δх
α
1
х
М
1
М
2
у
х
0
y = f(x)
А
Δх
Δу
f(x)
f(x+Δх)
х+Δх
х
М
2
α
3
М
1
М
3
у
х
0
y = f(x)
А
Δх
Δу
f(x)
х
М
2
М
1
М
3
α
касательная
Угловой коэффициент касательной- производная функции в данной точке
производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Применение производной в решении экстремальных задач
Необходимое условие экстремума.Теорема Ферма. Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .
а
b
x
0
y
Возрастание функции
y=f(x)
Если f (x)>0 на промежутке, то функция возрастает на этомпромежутке
Угол наклона касательной меньше 90°, тангенс угла положительный
а
b
x
0
y
Убывание функции
y=f(x)
Если f (x)<0 на промежутке, то функция убывает на этомпромежутке
Угол наклона касательной больше 90°, тангенс угла отрицательный
Экстремумы функций
Максимум функции
x
0
y
х
о
f(х )
о
f(х)
y=f(x)
Точка х0 –точка максимумафункции f(x), если существуетТакая окрестность точки х0, что для всех х≠х0, из этой Окрестности выполняется неравенство
Точка х0 –точка максимумафункции f(x), если существуетТакая окрестность точки х0, что для всех х≠х0, из этой Окрестности выполняется неравенство
Минимум функции
x
0
y
х
о
f(х )
о
f(х)
y=f(x)
Точка х0 –точка минимумафункции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х≠х0, из этой окрестности выполняется неравенство
Производная для исследования функции
х
о
f ( ) = 0
х
о
f ( ) = 0
х
1
Знакпроизводной
+
_
+
Точка максимума
Точка минимума
x
0
y
y=f(x)
х
1
касательная
касательная
касательная
Наибольшим ( наименьшим)значением функции называется самое большое значение функции ( самое малое)из всех максимумов (минимумов), включая концы заданного для функции интервала
Задачи на максимум и минимум
Основные моменты решения нашей задачи с помощью производной:
1.Устанавливаем функциональную зависимость между заданными величинами.2.Находим производную полученной функции.2. Приравниваем производную к нулю и определяем все критические точки из области определения функции.3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки .4.Определяем точки экстремума.5. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.6. Выбираем наименьшее значение из всех минимумов, включая концы интервала
Решение проблемы
Задача 2.Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью V0. Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?
R
R0
h
Пусть
- внутренний объем цилиндра, высотой h.
V - объем внешнего цилиндра, высотой h.
=
=
.Объем дна:
Объем материала: Vмат. = (V-V0)+Vдна
Получили функциональную зависимость между объемом и высотой цилиндра.
Выразим
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции
.
,
Единственный положительный корень производной – это точка, она и дает решение задачи. Так как
, то
.
Х –радиус внутреннего цилиндра. Значит, высота цилиндра и внутренний радиус должны быть равны!
Получили: чтобы изготовить цилиндрический резервуар объемом V0 при наименьшем расходе материала высота цилиндра и радиус внутреннего цилиндра должны быть равны, от толщины материала полученное решение задачи не зависит.Используя решение этой задачи, получаем: чтобы изготовить открытый цилиндрический бак объемом 300 л наименьшей площади его поверхности необходимо, чтобы радиус и высота цилиндра были равны.
Пусть h=R=x, тогда
получаем:
Значит, h=R=4,57дм, а площадь поверхности
Чтобы изготовить открытый цилиндрический бак объемом 300 литров наименьшей площади поверхности, его радиус и высота должны быть h=R=4,57дм.
ВЫВОД:
Следи, чтобы автомобиль был исправным!Исключи утечку топлива и смазки!Следи за герметичностью узлов и систем агрегатов!Используй только качественное горючее!Установи нейтрализаторы на выхлоп!При ТО не разливай ГСМ!Не выбрасывай использованную ветошь!Отработанное масло слей и отправь на переработку!
БЕЛГОРОД
Белгород должен быть чистым!
Литература и другие источники:Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: Просвещение, 1992. Беляева Э. С., Монахов В.М. «Экстремальные задачи». М.: Просвещение, 1997. Виленкин Н. Л. «Функции в природе и технике». – М.: Просвещение, 1978 Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985. Математика в жизни общества - http://revolution.allbest.ru/mathematics/l
images.yandex.ru›белгород фото города
Щелкунчик
3 загадки Солнечной системы
Мать-и-мачеха
Лепесток и цветок
По морям вокруг Земли