VIII межрегиональные соревнования школьников «Шаг в будущее, Юниор»

Этот удивительный треугольник.

Авторы: Ипаев Андрей.

 Россия, Республика Бурятия, Муйский район,

 п. Таксимо, 8 «А» класс

Научный руководитель: Панченко Галина Константиновна.

Россия, Республика Бурятия, Муйский район,

 п. Таксимо, учитель математики МОУ СОШ №3

                     Оглавление.

                   1).Введение                                                           Стр. 2

                   2) Все о замечательном треугольнике.               Стр. 2-3

                   3). Где используются треугольники.                  Стр.3-9

                    4). Всё треугольниками.

                    5) головоломки.                                                   Стр.9-14

                    6) Выводы.                                                            Стр.14

Цель:                                 Изучить историю создания треугольника и его применения в                       .                                          жизни.

Задачи:                               1)Изучить литературу по данному вопросу.

                                             2)Рассмотреть логические задачи.

                                             3)Исследовать, как с помощью треугольника можно составить

                                               Предметы.

                                             4)Предложить игру «Треугольник в треугольнике»

                                        1) Введение.

В 7 классе мы начали изучать геометрию. Эта удивительная наука покорила меня. Я захотел знать больше, чем изучают в школе. Учитель на уроке часто говорит о практической направленности математики. Мне захотелось понять, когда и где  появились треугольники, кто и как их изобрёл, для чего они нужны, раскрыть особенности этой фигуры.

                                2)Все о замечательном треугольнике

      Крупнейший древнегреческий историк Геродот (v век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия –  «землемерие»  ( от греческого  «гео»  - «земля»  и  «метрео»  -  измеряю ).

       Древнее землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологии рассчитывали расположение небесных светил – всё это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных

Фигур, и в первую очередь о треугольнике.

   Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три  точки ,не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.

    Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах в документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе  Пифагора и других; оно было, затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида.

                                                                     2  

Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

   Несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

  При определении вида треугольника учитывают величины его углов и наличие равных сторон. По первому из этих признаков треугольники делят на остроугольные – у них все углы острые, прямоугольные – с прямым углом и тупоугольные – с тупым углом. У любого треугольника сумма углов равна 180 градусов, а потому только один из его углов не может быть острым. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. По наличию равных сторон различают три вида треугольников.

  У равносторонних (или правильных) треугольников все три стороны равны. Равнобедренные треугольники имеют две равные стороны; эти стороны называют боковые, а третью основанием. Все остальные треугольники разносторонние. Равносторонние треугольники, по существу, все одинаковы – они имеют одну и ту же форму и могут отличаться лишь размерами. Равнобедренные треугольники оказываются той очень удобной ступенькой, на которую нетрудно подняться, как только, только приступают к изучению геометрии. А с этой ступеньки уже открывается возможность дальнейшего движения вперёд.

        В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в.до н.э. Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Среди «определений», которыми начинается эта книга, имеются и следующие: «из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны. Равнобедренный треугольник  – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны». Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

                            О равнобедренном треугольнике. Фалес Милетский.

  Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических свойств, которые привлекли к себе внимание ещё в древности. В задачах на треугольники, содержащихся в папирусе Ахмеда, на первый план выступают равнобедренный и прямоугольный треугольники. На практике часто применялось свойство медианы равнобедренного треугольника, являющейся одновременно и высотой и биссектрисой. Термин «медиана» происходит от латинского слова mediana – «средняя» (линия). То, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, было известно ещё древним вавилонянам 4000 лет назад.

                                                              3      

Евклид

В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга.

                            3). Где в жизни встречаются треугольники?

Треугольник самая распространенная фигура. В лесу, когда мы смотрим на ель и ее тень, то перед нами представляется равнобедренный треугольник.

На магических символах.

Предметы обихода: треуголки, вырезы на одежде.

Музыкальные инструменты.

ТРЕУГОЛЬНИК, самозвучащий музыкальный инструмент — стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.

                                            “Египетский”  треугольник

Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников, особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» также относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре

                                                                5

  3)Аномальные явления в природе связанные с геометрией треугольника.

                                           Бермудский треугольник

Почему пишут о бермудском треугольнике, а не, скажем, о Багамским, Флоринском или пуэрто-риканском? Почему говорят о треугольнике, а не, к примеру, о квадрате, круге или трапеции? Бермудский треугольник — далеко не единственное название этого удивительного района в западной части Атлантического океана. Его называют также "дьявольское море", "кладбище Антлантики", "море вуду", "море проклятых". И все-таки почему, собственно, бермудский? Ведь

Бермудские острова образуют лишь одну из вершин этого треугольника и расположены отнюдь не в его центре. Вероятно, определение "бермудский" укоренилось по той причине, что многие загадочные исчезновения случились именно около Бермуд, а может быть, потому, что слово это довольно выразительно и благозвучно. Так что название "бермудский треугольник" вошло в обиход, скорее всего, из-за своих фонетических достоинств. Все утверждают, что в бермудском треугольнике происходят сверхъестественные, необъяснимые вещи. Это место, между Флоридой, Кубой и Бермудами, считается самым ужасным, самым жутким местом планеты.

В 5 декабря 1945 года было обычным днем для американских ВВС, базирующихся во Флориде. В то время на службе там состояло большое количество пилотов, получивших богатый боевой летный опыт, поэтому происшествия в воздухе случались сравнительно редко. Да и задание на этот раз они получили не слишком сложное: выйти прямым курсом на Чикен Шоал, находящийся севернее острова Бимини.

Погода была великолепной, пять трехместных бомбардировщиков-торпедоносцев "Эвенджер" ("Мстители") взлетели и взяли курс на восток, имея на борту горючего на 5,5 часов...

Больше их никто не видел, что было с ними потом - ведает лишь один Бог. Различных гипотез (чаще всего надуманных) и версий по этому поводу было выдвинуто предостаточно. Все они оставались недосказанными только лишь по одной причине - не были найдены пропавшие самолеты.

После дела о пропаже 5 самолетов "как грибы после дождя" стали возникать новые истории с печальным концом. "Обычных" таинственных исчезновений бермудологам было уже недостаточно, поэтому в ход пошли приписки, недомолвки и просто обман, в результате которых в число жертв треугольника попали суда, утонувшие либо по вполне тривиальным .

Настоящих, запротоколированных случаев исчезновений кораблей едва ли наберется больше 10-15% оттого, что сообщалось в сенсационных газетных публикациях. Вся беда в том, что

разобраться с этими случаями практически невозможно, это таинственное "нечто" не оставляет свидетелей.

                                                                 6

Итак, первый и бесспорный вывод, который следует из прослушивания радиопереговорных записей - пилоты столкнулись в воздухе с чем-то необычным и странным. Океан имеет странный вид, появилась "белая вода", стрелки приборов пляшут. Да и в самом Бермудском треугольнике "белый туман" не такой уж редкий гость. После встречи с ним исчез однажды с экранов локаторов приближавшийся к Майами авиалайнер, и когда через 10 минут появился вновь, все имевшиеся на борту часы отставали на те же самые минуты. В том полете никто из пассажиров ничего необычного не заметил; не исключено, что так же незаметно для глаз будет внезапное увеличение скорости по причине "фокусов" со Временем.

Что же говорить о районе Бермуд в Атлантике, где мощное течение Гольфстрим закручивает водяные вихри в сотни километров диаметром! (Именно подобные образования иногда становятся видимыми на поверхности океана в виде белых или даже слабосветящихся кругов и "колес"). Закручиваются вихри - изменяется Время - должна изменяться и гравитация. В центре вихря (там, где американские спутники фиксировали уровень воды на 25-30 метров ниже обычного) гравитация повышенная, на периферии - пониженная. Не в том ли причина многих катастроф морских судов, что грузы в трюме внезапно увеличивают свой вес? При неоднородном нагружении и превышении запаса прочности корпуса катастрофа практически неминуема! Для полноты трагической картины к этому нужно добавить и ненадежность радиосвязи в таких местах...

Зато кое-какие выводы можно сделать в деле с пропажей 5 самолетов. Вероятнее всего, в небе над Бермудским треугольником это звено столкнулось с нестационарной кочующей аномальной зоной, в которой у них отказали приборы и забарахлила радиосвязь. Затем самолеты, находясь в "странном тумане", с очень большой скоростью переместились в Мексиканский залив, где пилоты и узнали с удивлением местную гряду островов...

Вот оно, недостающее звено в цепи разгадок! Пока на земле прошел всего один час, в белом тумане пролетело около трех!! Скорость самолетов была все это время обычной, но для гипотетического стороннего наблюдателя она показалась бы в 3 раза быстрее! Вероятно, за эти 3 часа собственного времени торпедоносцы, увы, проскочили выступ Флориды с родной базой и оказались в Мексиканском заливе. Пилоты еще до конца не вышли из цепких лап весьма поредевшего тумана, когда под крыльями появилась гряда островов.

                                         Треугольники в астрономии...

Маленькое созвездие к юго-востоку от Андромеды. У его западной границы видна спиральная галактика М 33, или Туманность Треугольника (5,7 зв. вел.), повернутая к нам почти плашмя. Ее английское прозвище Pinwheel переводится как «цевочное колесо» – разновидность зубчатого колеса со стерженьками вместо зубьев; оно довольно точно передает видимую форму галактики.

                                                                      7

Она, как и Туманность Андромеды (М 31), член Местной группы галактик. Обе они расположены симметрично относительно звезды Мирах ( Андромеды), что существенно

облегчает поиск более слабой М 33. Обе галактики находятся от нас примерно на одинаковом расстоянии, но Туманность Треугольника чуть дальше, на расстоянии 2,6 млн. световых лет.

                                         4)Всё треугольниками.                      

Из треугольников можно составить разные: предметы, фигуры, вещи. В общем из треугольников можно составить всё.

Например, из треугольников можно составить планету земля.

Из треугольников можно составить сердце.

Можно составить солнце.

                                                                        8

А также ёлочку.    

        Орнаменты из треугольников

. 

                                                          5) головоломки.

                                               Тригонометрическая головоломка.

 Бытуем мнение, что у прекрасной половины человечества зачастую возникают сложности с математикой вообще и тригонометрией в частности. Пересчитайте внутри пятиугольника abcde все треугольники до единого. (Для непосвященных приводим для ясности некоторые примеры: abf, fcg, abc и т. д. )

 Внимание: в головоломках данного типа дается только один шанс. Пересчитывать заново запрещается!

                                                                        9

 ОТВЕТ: Внутри пятиугольника в общей сложности 35 треугольников:  тип abf =10  тип ace=5 / тип bfc=5 / тип cfg=5 / тип abc=5 / тип bge=5.

                     Десять пирамид.

Этот египетский художник явно пребывает в затруднении. Нарисованная им пятиконечная звезда символизирует собой пять прямых дорог и десять пирамид. На каждой дороге расположено по четыре пирамиды, причем на пути к ним преград нет. А фараон пожелал увидеть другую фигуру : те же пять прямых дорог с четырьмя пирамидами на каждой, но две из них должны оказаться внутри фигуры – тогда каждому кто захотел бы к ним приблизится, пришлось обязательно пересечь одну из дорог! Что за фигуру должен изобразить художник, чтобы по воле фараона древнего Египта его не заточили живьём в только что

построенную пирамиду?  

                                                                           10

Ответ: Уберите четыре отрезка, обозначенных на рисунке пунктиром, и вы получите четыре одинаковых треугольника.

                                      Головоломка «треугольник»

Дети на рисунке знают решение этой математической задачи. Геометрическая фигура состоит из восьми треугольников, образованных шестнадцатью отрезками. Необходимо передвинуть четыре треугольника одинакового размера. В нашем распоряжении пять минут.

                                                                        11

Ответ: Уберите четыре отрезка, обозначенных на рисунке пунктиром, и вы получите четыре одинаковых треугольника.

                                   Талисман «треугольник»

На рисунке – талисман. К несчастью, художник перепутал порядок цифр, и талисман потерял силу. Чтобы её восстановить, вы должны расставить цифры от единицы до девяти таким образом, чтобы их сумма на каждой стороне треугольна, равнялась 17. Цифры на углах, разумеется, также идут в счёт.

                                                                   12

Ответ:

                                      Окно темницы.

Однажды сэр Хьюг весьма озадачил своего главного зодчего. Он подвёл этого достойного человека к стене темницы и указал на окно. Это квадратное окно имеет сторону в один фут, а узкие прутья делят его на четыре просвета со стороной в полфута. Теперь нужно чтобы повыше было сделано другое окно, у которого каждая сторона тоже равнялась бы одному футу, но его следует разделить прутьями на восемь просветов, у которых все стороны были бы равны между собой?

Ответ: Сэр Хьюг весьма озадачил своего главного зодчего, потребовав от него построить окно, у которого каждая сторона равнялась бы, одному футу и которое было бы разделено железными прутьями на восемь одинаковых просветов с равными сторонами. На рисунке показано. Как это можно сделать. Нетрудно заметить, что стороны окна равны одному футу, а каждая сторона треугольных просветов составляет половину фута.

Изучив данную тему, я придумал игры, связанные с треугольниками. Они позволяют развить мышление, понять свойства треугольника.

1)Мы  знаем популярную китайскую головоломку танграм, которая означает «хитроумный узор из 7 частей. Я, используя египетский треугольник, предлагаю разрезать его и составлять удивительные фигурки.

                                                                13

2)Эта игра для развития внимания и мышления.

                                            6)Как важна эта тема

        Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей,  например, в Китае г. Пекин на олимпийских играх 2008 года на главном стадионе крыша была круглая, но основание крыши было построено из треугольников, что доказывает треугольники это очень полезная фигура. Треугольник применяется также: в архитектуре, в быту, при строении чертежа, можно сказать, треугольник мы видим везде. Треугольник очень важен для человека.

Литература.

1)  Занятие школьного кружка, О.С.Шейнин, Г.М.Соловьева

            2)Энциклопедия. Словарь юного математика. Савин. А.П.,1985-352с.,ил

            3)Удивительный мир чисел Б.А.Кордемский, А .А .Ахадов,1986-144с.:ил

            4)Математика В. А.Гусев .А.Г.Мордкович

            5)Математика. Большой справочник. П.И.Алтынов, И.И.Баврин и др.: Дрофа,1999-                                                              

            864с.: ил.

                                                         14