Квадратное уравнение

ОБЛАСТНАЯ  НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

СЕКЦИЯ «Математика»

Это необычное квадратное уравнение

Автор: Тюрнина Анна Эдуардовна

учащаяся 9 б класса

ГБОУ СОШ №1 п.г.т. Суходол,

 Сергиевского района

Руководитель: Гуркина Светлана Юрьевна

       учитель математики I категории

САМАРА,  2012 г.

Содержание

1. Обоснование………………………………………………………………………………...……..3
2. Цель работы…………………………………………………………………………...…………...3
3. Задачи……………………………………………………………………………………...……….3
4. Введение…………………………………………………………..……………………………......4
5. История возникновения и развития квадратных уравнений………………………………..….6
6. Квадратные уравнения…………………………………………………………………………… 8
7. Решение квадратных уравнений по формуле……………………………………………………8
8. Разложение левой части уравнения на множители……………………………………………..9
9. Теорема Виета……………………………………………………………………………………10
10. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения………………………………. 11
11. Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента………..12
12. Метод выделения полного квадрата……………………………………………………………12
13. Графический способ решения квадратных уравнений…………………………………….......13
14. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки…………………………….14
15. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы……………………………………15
16. Геометрический способ решения квадратных уравнений…………………………………….16
17. Анализ способов решения полных квадратных уравнений…………………………………...18
18. Заключение……………………………………………………………………………………….19
19. Список использованных источников и литературы…………………………………………...20

Обоснование

В школе на уроках математики мы изучили несколько способов решения квадратного уравнения. От учителя я узнала, что существуют и другие способы, но мы не рассматриваем их в школьной программе. Меня это заинтересовало, и я решила узнать, какие еще способы решения квадратного уравнения существуют и сколько их всего.

Цель работы

        Изучить все существующие способы решения квадратного уравнения. Научиться использовать эти способы.

Задачи

        Я поставила перед собой несколько задач. Решая эти задачи, я смогу раскрыть выбранную мною тему.

1. Понять, что называется квадратным уравнением.
2. Узнать какие виды квадратных уравнений существуют.
3. Найти информацию о способах решения квадратного уравнения и изучить её.

Введение

Человеку, изучающему алгебру, часто  полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.                                         У.У. Сойер (английский математик XX века)

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.  Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать данные уравнения.

 Часто первый избранный способ бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика - научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения квадратного уравнения. Так как в некоторых случаях их можно решать и устно только для этого необходимо помнить алгоритм, который может пригодиться как на экзамене, так и в различных  жизненных ситуациях.

Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра? Какие есть еще способы решения квадратных уравнений, и сколько их? Ответа на эти вопросы я не нашла на страницах школьного учебника. Что бы разобраться и глубже изучить данную тему, я решила провести исследование.

Актуальность темы:

1. Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.
2. В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.

Гипотеза: если я при исследовании данной темы смогу реализовать постановленною мною цель и задачи, то соответственно выйду и на реализацию предпрофильной подготовки в области математического образования.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой.
2. Наблюдение, сравнение, анализ.
3. Решение задач.

Ожидаемые результаты: В ходе изучения данной работы, я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал и соответственно в будущем определиться с профилем обучения, создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, изучение данного вопроса позволит мне компенсировать недостаточность знаний по обозначенной теме.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики, для повышения математической грамотности,  и учителя на факультативных занятиях.

История возникновения и развития квадратных уравнений

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет.                                Г.В. Лейбниц (немецкий математик XVII-XVIII веков)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.         Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями,  изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа  и общие  методы решения  квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:  ах2 + bx = c, где a > 0. В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении  уравнений  Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Хорезмский математик  ал-Хорезми  в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и  квадратных   уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: ах2 + с = bх,  ах2 = с,   ах = с,  ах2 + с = bх,   ах2 + bx = с,      bx + с = ах2. Ал-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих  уравнений  слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание  уравнения, у которых нет положительных  решений.

 Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:     х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и от рицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – алгебраическое уравнение вида  ax2 + bx + c = 0, где  х – переменная; коэффициенты а, b и с – любые действительные числа, причем,  а ≠ 0.

Все квадратные уравнения можно условно разделить на три вида:

1.  Полные квадратные уравнения;

2.  Неполные квадратные уравнения – это уравнение вида ax2 = 0, ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0, где коэффициент b=0 и/или с=0;

3. Приведенные квадратные уравнения – это уравнения вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a=1,  р  – коэффициент при х (p =  ),  q – свободный член (q = ).

В свою очередь каждое квадратное уравнение, по количеству или отсутствию корней, можно условно отнести к одному из классов:

1.  Не имеют корней;

2.  Имеют ровно один корень;

3.  Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Решение квадратных уравнений по формуле

Формула дискриминанта D = b2 − 4ac знакома каждому школьнику, изучающему математику, начиная с 8 класса. Так как способ решения квадратных уравнений через дискриминант является наиболее распространенным и преподается в школьном курсе алгебры.

По знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение.

х

Пример 1.        х 2 - 7х + 6 = 0

                а = 1,  b = 7,  с = 6

                D = b2 − 4ac = 49 – 4 · 1 · 6 = 25

                D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

x1 ;         x2
        Ответ: 1; 6.

Пример 2.        x2 + 12x + 36 = 0 

                a = 1,  b = 12,  c = 36

                D = b2 − 4ac = 122 − 4 · 1 · 36 = 0

                D = 0 ⇒ уравнение имеет 1 корень

                х

                Ответ: 6.

        Формула корней квадратного уравнения позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Разложение левой части уравнения на множители

        Цель этого метода заключается в том, чтобы привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х) = 0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Существует три основных способа разложения на множители:

1.  Вынесение общего множителя за скобки

Пример 3.        х2 – 2х = 0 (с=0)

                х (х – 2) = 0

                х = 0  или  х – 2 = 0

                               х = 2

                Ответ: 0; 2.

2.  Использование формул сокращенного умножения

Пример 4.        9х2 – 25 = 0 (b=0)

                (3х – 5) (3х + 5) = 0

                3х – 5 = 0  или  3х + 5 = 0

                х = 1             х = - 1 

                Ответ:  - 1  ;   .

3.  Способ группировки

Пример 5.        3х2 + 2х – 1 = 0

                3х2 + 3х – х – 1 = 0

                3х (х + 1) – (х + 1) = 0

                (х + 1) (3х – 1) = 0

                х + 1 = 0  или  3х – 1 = 0

                х = - 1                   х =

                Ответ: - 1;   .

        С помощью 1 и 2 способов наиболее рационально решать неполные квадратные уравнения.

Теорема Виета

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус p он получил.
А корней произведенье дает q из уравнения.

Согласно теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иными словами, если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, то

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней):

1. Если сводный член q > 0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.
2. Если свободный член q < 0, то  уравнение  имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.

Также справедлива теорема, обратная теореме Виета. Если числа х1 и х2  таковы, что      

то  х1 и  х2  – корни квадратного уравнения  x2 + px + q = 0.

Пример 6.        х2 – 7х + 10 = 0

                х1 + х2 = 7;  х1х2 = 10

                Подбираем числа 2 и 5

                2 + 5 = 7;  2 · 5 = 10

                Таким образом, числа 2 и 5 – корни уравнения

                Ответ: 2; 5.        

        Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения

        Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх +  с = 0. Разделим обе части уравнения на    а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета

1. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2  = . 

Доказательство. По условию а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с. Значит,  

Получаем х1 = 1,  х2  = .

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1,  х2  =  –. 

Доказательство.  По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х1 = – 1  и  х2  =  ,  что и требовалось доказать.  

Пример 7.        2х2 –  6х + 4 = 0

                Так как 2 – 6 + 4 = 0, то

х1 = 1; х2 =  = 2

Ответ: 1; 2.

Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента

Суть метода состоит в том, что корни квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 и                y2 + by + ac = 0 связаны соотношением: х =   .

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х =   ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = y1 / a и х2 = y2 / a. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы  «перебрасывается» к нему. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример 8.        2х2 - 9х – 5 = 0

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y2 – 9y – 10 = 0

(D>0), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

y1 + y2 = 9;  y1y2 = -10

y1 = 10;  y2 = -1

вернемся к корням исходного уравнения

        х1 =   = 5;  х2 =  = -0,5

Ответ: -0,5; 5.

Метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Метод выделения полного квадрата

Цель - привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом

нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2;  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Поясним этот метод на примере.

Пример 9.        х2 + 6х – 7 = 0

                Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

                х2 + 6х  в следующем виде:

                х2 + 6х  = х2 + 2· х ·3

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа  х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2

Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0,прибавляя к ней и вычитая 32, имеем:

х2 + 6х – 7 =  х2 + 2· х ·3 + 32  –  32 – 7 =  (х + 3)2 –  9  – 7 =  (х + 3)2 – 16

Таким образом, данное уравнение можно записать так:        

(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2  = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0или х + 3 + 4 = 0

                    х1 = 1         х2 = -7

Ответ: -7; 1.

        Этот метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Чаще всего используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

Графический способ решения квадратных уравнений

        Квадратное уравнение можно решать и графическим способом. Решим графически уравнение ах2 + bx +с = 0. Оно равносильно уравнению ах2 = - (bx + c). Постоим графики функций y = ax2  и  y = - bx - c в одной системе координат (рис. 1). График первой функции – парабола, проходящая через начало координат. График второй функции – прямая. 

В точках х1 и х2 значения обеих функций равны. Следовательно, х1 и х2  являются корнями уравнения   ах2 = - (bx + c)   и равносильного ему уравнения ах2 + bx +с = 0.

Возможны следующие случаи:

1. Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения

являются корнями квадратного уравнения.

2. Прямая  и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно

решение.

3. Прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

        Уравнение ах2 + bx +с = 0 можно решить иначе, построив параболу y = ах2 + bx +с  и найдя точки ее пересечения с осью ОХ, если  D ≥ 0 (рис. 2).

        Применяя графический метод не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

        Проблема: по данным действительным коэффициентам a, b и c уравнения                     ax2 + bx +c = 0 определить радиус и координаты центра окружности, пересекающей ось ОХ в точках, абсциссы которых являются корнями данного уравнения.

        Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1; 0) и                C (х2; 0), где  х1  и х2  –   корни уравнения ах2 + bх +  с = 0, и проходит через точки  А (0; 1)  и E (0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущихся имеем ОВ ∙ ОС = ОА ∙ ОЕ, откуда    ОЕ =   =   .

        Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = ;                SF = .

Итак:

1. Выберем систему координат.
2. Построим точки S(;) (центр окружности) и А (0;1).
3. Проведем окружность с радиусом  SA.
4. Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью  ОХ являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая:

1. Радиус окружности больше ординаты центра (SА > SВ), окружность пересекает ось ОХ

в двух точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения (рис.1).

2. Радиус окружности равен ординате центра (SА = SВ), окружность касается оси ОХ  в

точке  B (х1; 0), где х1  – корень  квадратного уравнения (рис.2).

3. Радиус окружности меньше ординаты центра (SА < SВ), окружность не имеет общих

точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения (рис.3).

                рис. 1                                        рис. 2                                        рис. 3

        С помощью этого способа решения квадратного уравнения легко провести исследование его корней на знак. Но, очевидно, что этот красивый способ практически не применяется из-за геометрических построений и последующей проверки результатов  решения.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы» - М., Дрофа, 2001). Таблица XXII. Номограмма для  решения   уравнения  z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая  квадратного   уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам  

Полагая, что ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а, из подобия треугольников САК         и    СDF   получим   пропорцию                                  откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой  точки криволинейной шкалы.

Пример 10.        Для уравнения  

z2  –  9z + 8 = 0 

Номограмма дает корни

z1 = 8 и z2 = 1

Ответ: 1; 8.

Пример 11.        2z2  – 9z + 2 = 0 

Разделим коэффициенты этого уравнения    

на 2, получим уравнение

z2 – 4,5z + 1 =  0

Номограмма дает корни

z1 = 4 и z2 = 0,5

Ответ: 0,5; 4.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

Вот пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». На сторонах квадрата со стороной х строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5. Площадь каждого прямоугольника равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют до нового квадрата, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2,5, а площадь 6,25. Площадь квадрата можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата (х2), четырех прямоугольников (4 ∙ 2,5х = 10 х) и четырех пристроенных квадратов (6,25 ∙ 4 = 25), т.е. S=x2 + 10x +25.  Заменяя  х2 + 10х числом 39, получим  S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для  искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2,5 ∙ 2 = 3.

х2

2,5х

6,25

6,25

6,25

6,25

2,5х

2,5х

2,5х

В

D

С

А

Анализ способов решения полных квадратных уравнений

Сделаем анализ найденных девяти способов и  выполним классификацию способов решения квадратных уравнений по следующим признакам:

1. сложность решения;
2. рациональные методы решения;
3. практическое применение.

На основании опроса одноклассников установлено, что наиболее сложными оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Рациональные методы решения: решение квадратных уравнений по формуле, решение уравнений с использованием теоремы Виета (когда коэффициенты небольшие числа), применение свойств коэффициентов квадратного уравнения (особенно, когда коэффициенты большие числа). Практического применения  не имеет геометрический способ решения квадратных уравнений.  Крайне редко применяется графический способ решения квадратного уравнения. Никогда раньше не слышали о способах: с помощью номограммы, решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и о решение уравнений способом «переброски». Хотя последний способ вызвал интерес у учеников.

Заключение

Квадратные   уравнения  находят широкое применение при  решении задач различного уровня сложности. Однако, значение  квадратных   уравнений  заключается не только в изяществе и краткости  решения  задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения  квадратных   уравнений  при  решении  задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

В своей работе я проводила исследование способов решения квадратных уравнений. В результате выполнения работы были  изучены  следующие способы:

1. Решение квадратных уравнений по формуле
2. Разложение левой части уравнения на множители
3. Теорема Виета
4. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения
5. Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента
6. Метод выделения полного квадрата
7. Графический способ решения квадратных уравнений
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений

Подводя итоги можно сказать, что каждый из изученных способов имеет как положительные стороны, так и недостатки. Но выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Так же не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.

Я считаю эту тему актуальной, так как она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а в последующем и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.

Список использованных источников и литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений // 10-е издание. М.: Просвещение, 2003.
2. Брадис В.М. Четырехзначные  математические таблицы // М.: Дрофа, 2001.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе VII - VIII классы. Пособие для учителей // М.: Просвещение, 1997.
4. Дроздов В. Квадратное уравнение: варианты решения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №10/1997. стр.6.
5. Окунев А.К. Квадратичные функции,  уравнения  и неравенства. Пособие для учителя // М.: Просвещение, 1972. – 143 с.
6. Панкратова Л. Квадратные уравнения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №21/1996. стр.5-6.
7. Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений.  Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31.
8. Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки // М.Квант. №4/1972. стр.34 – 35.
9. Шаталова С. Способы решения квадратных уравнений // «Математика в школе» №42/2004.