Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Утянская средняя общеобразовательная школа»

Красногвардейский район

Белгородская область

Мир интересных чисел

 (научно-исследовательская работа)

Выполнил:

Надобных Иван Романович

5 класс

Научный руководитель:

Надобных Елена Ивановна

учитель математики

Уточка

2012

Оглавление

Введение……...……..…...……..……………………..…….….….........................3

Глава 1. Историческая справка

§1. Из истории происхождения чисел ………………..……................................5

Глава 2. Теоретическая часть

§1.  Интересные числа.………..…………………..................................................8

§2.  Магические свойства некоторых чисел……………………………...…….11        

Глава 3. Исследовательская часть

§1. О каких числах знают учащиеся школы? Можно ли прожить без чисел?.15

Заключение……………………………………………………..………………..17

Библиографический список...………...................................................................18

Приложение………………………………………………………………………19

Введение

              Сведения, которые дошли  до нас из глубокой древности, говорят о том, что в далекие времена человек знал счет. Уже около 5000 лет назад народы Древнего мира (вавилоняне, египтяне) обучали детей началам арифметики.                                                                                                  Изучая историю возникновения и развития счета,  ученые пришли к выводу, что в начале человек различал понятия «один» и «много». Затем появились другие числа. На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.                                                  С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предмета другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно».                                                                         Число - важнейшее понятие математики. Понятие «число» является ключевым как для математики. Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение в физике, механике, астрономии, химии и многих других науках. Числами постоянно пользуются в повседневной жизни.                                                                                                Математика шагнула вперед в своем развитии, обойтись без вычислений невозможно. Мы уже изучили натуральные числа, десятичные и обыкновенные дроби. Научились их применять при решении различных задач. Раз есть эти числа в математике - значит, они необходимы в повседневной жизни. Но бывает холодно или очень жарко, высоко или низко? Наверно, в этом случае нужны другие числа? Для своей работы мы выбрали тему: «Мир интересных чисел».                                         Объект нашего исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства этих чисел.

Гипотеза: если  простые числа – это часть чисел, из  которых состоят все натуральные числа, и, исследуя  их, можно получить удивительные «числовые множества» с их необыкновенными свойствами.

Цель: познакомиться с удивительными числами, выяснить,  какую  роль играют простые числа в изменении  свойств заинтересовавших нас чисел.

Задачи: описать способы  поиска простых чисел,  рассмотреть свойства совершенных,  чисел-близнецов, дружественных чисел, выяснить, какова связь между ними.

Метод исследования – теоретический.

Глава 1. Историческая справка

§1.Из происхождения чисел.

           Есть много теорий о происхождении чисел. Классическим примером происхождения чисел считается Древняя Греция. Другой  из возможных вариантов происхождения символов чисел – это получение их из символов планет. 0 – абсолют, 1 – его проявление. Все это заключено в Солнце.2 – двойственность и эмоциональность с ней связанная – свойства Луны – второго светила. 3 – прошлое, настоящее и будущее, время – Сатурн.

4 – четыре стороны света, пространство – Юпитер. 5 считали  символом любви и человека. Ведь пять образуется из двойки и тройки – первого женского (четного) и мужского (нечетного) чисел. Единицу же, из-за ее математических особенностей, они, не рассматривали как число. 6 – соединение двух треугольников – корень активности, отношений,  а также преданность – свойства Марса. 7 – полнота знаний,  деталей, особенностей, подвижность, это качества Меркурия. 8 – бесконечность, лунные узлы как точки затмений, во время которых временное соотносится с Вечным. 9 – не проявленное, скрытое.

             С появлением письменности возникла проблема записи чисел. Древние греки и евреи применяли алфавитную систему нумерации: числа от единицы до девяти, а затем все десятки и сотни обозначались буквами в порядке алфавита, над которыми ставилась черта. Цифры - это, на самом деле, те же буквы. Развивая далее идею алфавита, греки создали систему, в которой буквы использовались как символы чисел.

         До этого все великие культуры древности, конечно же, имели свои способы записи чисел.

Во многих случаях числа записывались словами ("десять раз по десять десятков", "сто дюжин"), в других случаях использовались специальные значки, которые повторялись необходимое количество раз.

    Например, если мы обозначим число "один" значком О, то "три" запишется как ООО, "семь" - как ООООООО. По достижении какого-то числа символов, чаще всего десяти, вводился другой значок. Скажем, если мы обозначим десятку как Д, то число 97 напишется как ДДДДДДДДДООООООО.

           Какая запись эффективнее - 97 или ДДДДДДДДДООООООО? А если мы захотим написать 9999? Поэтому греческая система, в которой буквы служили не значками, пересчитываемыми по пальцам, а символами чисел, была, можно сказать, революционным достижением.

           Предполагается, что алфавитная запись чисел была изобретена в восточном греческом городе Милете, располагавшемся на территории современной Турции, в VIII веке до н.э.

         В милетской системе, той самой, что была изобретена в городе Милете, каждая буква алфавита представляла какое-то число. Эта система оказалась настолько удачной, что просуществовала вплоть до периода расцвета Византии. В милетской системе к 24 буквам классического греческого алфавита добавили три архаичных буквы, унаследованных от финикийцев - дигамма, коппа и санпи. В результате получилось 27 символов- как раз достаточно, чтобы записать девять цифр, девять производных десятков и девять производных сотен. Вот как выглядит эта система:

1 - альфа,        10 – йота,        100 – ро; 

2 - бета ,         20 - каппа ,      200 – сигма;

3 - гамма,       30 – лямбда,    300 – тау; 

4 - дельта,      40 – мю,           400 – ипсилон; 

5 – эпсилон,   50 – ню,           500 – фи; 

6 - дигамма,   60 – кси,           600 – хи; 

7 - дзета,        70 - омикрон ,  700 – пси; 

8 – ита,           80 - пи ,            800 – омега; 

9 - фита,         90 – коппа,       900 – санпи. 

          Милетская система получила широчайшее распространение в древнем мире, особенно в период завоеваний Александра Македонского. Египтяне, персы, финикийцы, арабы, иудеи восприняли  эту систему. По эффективности она близка к современной, так называемой арабской системе записи чисел. Например, число 128 в ней записывалось тремя буквами - ро, каппа, ита.

            Современные   "арабские" цифры представляют собой буквы индийского алфавита, принесенные арабами в Испанию в 12-м - 13-м веках нашей эры, во времена активного распространения ислама. Из Испании использование арабских чисел распространилось и по всей Европе. Наша цифра 5 - это, на самом деле, индо-бактрийская буква, соответствующая русскому звуку "П". Она является первой буквой санскритского слова "панчан", означающего "пять".

        Число 4 совсем не случайно напоминает русскую букву "Ч". Оно происходит от первой буквы санскритского слова "чатур", которое, как вы и догадались, означает "четыре" и т.д.

Глава 2. Теоретическая часть

§1. Интересные числа

          Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.

          Сами пифагорейцы высоко ценили результаты, полученные ими в теории гармонии, ибо они подтверждали их идею, что числа определяют все. Число для пифагорейцев – это собрание единиц (только целое положительное число). Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые располагались в виде правильных геометрических тел. При этом получали ряды «треугольных», «квадратных», «пятиугольных» и других «фигурных» чисел.                        Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д.                                                                                                «Треугольные» числа это числа 1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15; 1+2+3+4+5+6=21;

         «Квадратные» числа: 1; 2+2=4; 3+3+3=9; 4+4+4+4=16; 5+5+5+5+5+5=25;

«Пятиугольные» числа: 1; 1+2+2=5; 1+3+2+2+2+2 =12; 1+5+3+2+2+2+2+2+2

 «Шестиугольные числа»: 1; 6;15;

          Совершенным числом называют натуральное число, равное сумме всех его собственных деталей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Так, совершенными числами являются числа 6 и 28, ибо 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14.

          Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) существует ли наибольшее чётное совершенное число;

2) существует ли нечетное совершенное число.

Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа.                                                                                                                    

Из истории известно, первым  совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Этому числу уделяли много внимания математики, философы, богословы. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней; ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, так как оно первое из них, Следующим совершенным числом, известным древним грекам до Евклида, было число 28. Евклид сделал первый важный шаг в построение теории совершенных чисел.

В течение почти двух тысяч лет люди знали только четыре совершенных числа. Неизвестно было, существуют ли другие совершенные числа, которые можно представить в виде 2, и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие этой формуле. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной привели к признанию божественности этих удивительных чисел. Церковь учила, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа; тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но даже надежда на такую награду не смогла помочь математикам средневековья. Лишь в ХV в. было обнаружено пятое совершенное число. Им оказалось число 33550336.                                                                                        Вопрос о том, существуют ли нечётные совершенные числа и каков их вид, остаётся открытым до нашего времени. И.М. Первушин нашёл девятое совершенное число – 2305843009213693951 , которое содержит тридцать семь цифр. Последующие совершенные числа находили с помощью вычислительных устройств, включая ЭВМ.

           В настоящее время известно 23 совершенных числа.

Совершенные числа обладают рядом таинственных и вместе с тем замечательных свойств. Все эти числа являются «треугольными», каждое совершенное  число есть сумма вида

 1 + 2 + 3 + … + n.

Дружественные пары чисел являются обобщением совершенных чисел. Пара натуральных чисел называется дружественной, если каждое из них равно сумме всех собственных делителей другого. Например, дружественную пару образует числа 220 и 284, так число 220 имеет делители 1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55 и 110, а число 284 – делители 1; 4; 71; 142 и выполняются следующие равенства: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284;  1+2+4+71+142=220

Все известные дружественные пары состоят либо из двух четных чисел, либо из двух нечетных. До сих пор не обнаружено дружественной смешанной пары, но вместе с тем и не доказано, что такой пары не существует. Неизвестно также, конечно или бесконечно число дружественных пар. В 1636г. Пьер Ферма указал новую дружественную пару чисел: 17296 и 18146. Рене Декарт нашёл третью дружественную пару чисел: 9363584 и 9437056. Ферма и Декарт независимо друг от друга установили правило образования дружественных пар чисел. Леонард Эйлер опубликовал список 64 дружественных пар. Позже было обнаружено, что в двух случаях он ошибся. В 1830г. Лежандр нашёл ещё одну дружественную  пару чисел. В 1867г. шестнадцатилетний итальянец Б. И. Паганини удивил математический мир своим сообщением о том, что числа 1184 и 1210 образуют дружественную пару. Это вторая по величине дружественная пара, однако, её не заметили учёные, интересовавшиеся данным вопросом.

В настоящее время известно более 600 дружественных пар чисел, большинство из них найдено с помощью ЭВМ. Многие числа дружественных пар состоят более чем из 30 цифр.

         Дружественными  парами чисел являются: 2620 и  2924, 5020 и 5564, 6232 и 6363, 10744 и 10856, 12 285 и 14 595, 63020 и 76 084, 66928 и 66992, 67095 и 71145, 69615 и 87633. 

Существуют еще числа близнецы. Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами. Например: 11и 13; 17и 19; 29 и 31;

Ученые до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов.

§2. Магические свойства некоторых чисел.

Магические свойства чисел волновали людей еще в глубокой древности. В нас сидит какая-то симпатия к одним числам и осторожность, а порой и совсем неприятные чувства к другим. Особым почитанием окружены были числа в Древней Греции. Философ и математик Пифагор утверждал, что «числа правят миром». Пифагорейцы верили в магию чисел и думали, что за каждым предметом стоит какое-то число.

Число 0. Это символ абсолюта, бесконечности и является числом непроявленного мира. Это начало всех всех вещей, это сон или смерть. Графически изображается как кольцо или круг.

Единица. Пифагор и его единомышленники ставили единицу выше всех других чисел, считая, что именно она – начало всех начал, что именно от нее пошел весь мир. Без единицы не состоялось бы самое простое счисление. Графически изображается как вертикальная линия.

Двойка. Это число является символом любви, непостоянства и равновесия. Число 2 – это мягкость и тактичность, стремление сгладить острые углы. Оно находится между добром и злом, теплом и холодом, светом и мраком, богатством и нищетой.

Тройка. У многих народов весьма продолжительное время пределом счета было число 3. Его считали символом полноты, совершенства. Так, у древних греков это число считалось счастливым, а в Древнем Вавилоне стали поклоняться трем божествам: Солнцу, Луне и Венере. Число три стало самым излюбленным числом и в мифах, и в сказках.                                                 Четвёрка. Древние считали это число символом устойчивости и прочности. Ведь оно представлено квадратом, четыре стороны которого означают четыре стороны света, четыре времени года, четыре стихии- Огонь, Земля, Воздух и Воду. В славянской символике -символ Земли.

        Число 5 Древние же считали число «пять» символом риска, приписывали ему непредсказуемость, энергичность и независимость.

Числовая правильность: 5-простое число; 5 пальцев - пятеричная система счисление; 5- конечная звезда; 5 чувств ( зрение, слух, обоняние, осязание, равновесие).

         Число 6.  «число творения», Бог создал мир за 6 дней. В славянской символике – символ солнца; совершенное число; 6 – число предметов в чайных и столовых сервизах.

          Число 7. В египетской и вавилонской философии и астрономии оно рассматривалось как сумма двух «жизненных» чисел: три и четыре. Три человека – отец, мать, ребёнок составляют основу жизни; а четыре – это число стран света и направлений ветра, откуда приходит дождь, живительная влага которого делает землю плодоносящей. По утверждению Пифагора, сумма чисел 3 и 4 (символизирующих собой треугольник и квадрат) считалось проявлением законченности и совершенства. Поэтому-то число 7, сумма тройки и четвёрки, воспринималось как священное.

        Семь считали магическим, возможно, ещё и потому, что человек воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус) через семь «отверстий» в голове (два глаза, два уха, две ноздри, рот).

        С давних пор число 7 имело разное символическое значение. древние римляне почитали семерых мудрецов. В христианстве говорится о семи грехах и семи таинствах. Это волшебное число широко использовалось в сказках, мифах древнего мира. Сказки и загадочное число семь: злодей Синяя Борода имел семь жён; семь путешествий Синбада; Белоснежка жила у семи гномов за семью горами; волк и семеро козлят; семеро из одного стручка; храбрый портняжка убил семь мух одним ударом; царевна жила в лесном тереме у семи богатырей; цветик-семицветик и др.        

              Число 8. Древние считали воплощением надежности, доведенным до совершенства. Символизировалось двойным квадратом.

             Девятка. Таинственную силу приписывали древние и числу 9, причем в одни времена добрую, в другие – злую. У древних римлян -добрая слава; у монголов-  совершенство; в японо-китайском мире  – несчастливое число; воспринимается как «болезнь».

             Десять. Символом гармонии и полноты . Этим числом символизировался философский камень. Десяток стал основой десятичной системы счета, которую используют во всем мире.

              Одиннадцать. Наши предки относили к нехорошим числам, число 11. Как теперь установлено, изменения активности Солнца влияют на здоровье людей, а такие изменения совершаются периодически через каждые 11 лет.

              Число 12. Очень почитается число 12, «дюжина»: 12 месяцев в году, 12 знаков Зодиака, 12 делений на циферблатах часов, сервизы на 12 персон. Число 12 замыкало свет.

              Число 13. 13 сулит одни неприятности. Оно простое и делится только на себя и единицу. Суеверия, связанные с числом 13, оказались наиболее устойчивыми и получили наибольшее распространение. Люди многих стран (Англия, Франция, Польша и др.) считают это число несчастливым, испытывают перед ним панический страх и стараются избегать его. У наших предков – славян не было суеверий, связанных с числом 13.

               Число 60. Во многих вавилонских, персидских и греческих легендах синонимом самого большого представлялось 60.

              Число 1001. Это число считалось мистическим. Получается оно последовательным умножением трех простых чисел: 7, 11 и 13. А если умножить на него любое трехзначное число, то результат будет состоять из умноженного числа, записанного дважды.

              Число 666. Число 666- число зверя. В разных странах христиане обозначали этим числом неугодных церкви правителей, общественных деятелей, выдавая их за антихристов.

Глава 3. Исследовательская часть

§1. О каких числах знают учащиеся школы? Можно ли прожить без чисел?

Нам кажется, что сегодня у каждого человека есть свое интересное число. Всем необходимы числа. Мы решили выяснить, знают ли о таких числах учащиеся нашей школы. Какие числа им интересны? Есть ли интересное или любимое число у каждого конкретного ученика?

 Для исследования  мы использовали такие методы:

1. Беседа.
2. Опрос, тестирование.
3. Анализ полученных ответов.
4. Изучение учебной и научно-популярной литературы.
5. Консультация  у  руководителя.

         Определили группу учащихся 4-11 классов: Сикачёв Евгений- 4класс, Бычкова Марина - 5 класс, Юдин Иван - 6 класс, Ткачёва Галина, Болотнова Анна - 7 класс, Капустина Наталья – 8 класс, Пищулов Вадим -9 класс, Бекетова Марина -10 класс, Бычкова Анна, Бычкова Евгения-11класс. Поговорили о числах в математике, задавая им следующие вопросы:

1. Какими числами вы работаете на уроках?
2. Можно ли прожить без чисел?
3. Знаете ли вы историю появления чисел?
4. Хотели бы об этом узнать?

    Их ответы представлены в таблице. [См. приложение 1]                                 Анализируя разговор с выбранной группой, мы пришли к следующему. Нам нужно организовать опрос – тестирование  учащихся по определенным вопросам и в зависимости от ответов учащихся начать искать материал о разных интересных числах.

Мы с руководителем составили вопросы для опроса и протестировали некоторых учащихся  в 4-11 классах. Итоги опроса представлены в таблице. [См.приложение 2]                                                Оказывается, многие ученики не знают о совершенных числах, дружественных числах и о числах – близнецах. Многим интересна история развития чисел.                                                                         В ходе опроса учащиеся 11 класса назвали и другие числа: трансцендентные, целые, вещественные, точные, приближенные, маленькие, большие и сверхбольшие. «Плоские числа»: 6=2*3; 14=7*2; «Телесные числа» - 24=2*3*4. Трансцендентные числа- числа, не удовлетворяющие никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами: =3,14159…; е = 2,71828….

          Изучив дополнительную литературу по истории развития чисел, мы сами больше узнали о «фигурных», дружественных, совершенных и числах – близнецах,  и других интересных числах.   Попытались изобразить точками «фигурные числа».  «Треугольные» числа это числа 1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15; 1+2+3+4+5+6=21; «Квадратные» числа: 1; 2+2=4; 3+3+3=9; 4+4+4+4=16; 5+5+5+5+5+5=25; «Пятиугольные» числа: 1; 1+2+2=5; 1+3+2+2+2+2 =12; 1+5+3+2+2+2+2+2+2; «Шестиугольные числа»: 1; 6;15.

Наблюдая за таблицей простых чисел, мы смогли найти свои пары чисел-близнецов: 41и 59; 75 и 73; 103 и 101. Их очень много.

Заключение.

            Изучение истории развития чисел показало, что когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом их научились называть, придумали цифры, стали изучать – узнавать их свойства. Приписывали числам удивительные свойства, и они стали магическими, сказочными.

          Исследования показали, что  имеются разные числа со своими свойствами и каждое из них интересно по-своему. Древнегреческий ученый Пифагор внес огромный вклад в теорию чисел.

Мы поняли, что числа – основа математики. Свойства чисел позволяют быстро и эффективно выполнять арифметические действия над числами.

 Мы думаем, что проделанная работа  нам поможет лучше изучать математику в дальнейшем, и она полезна для учащихся 4-8 классов.

Библиографический список

1. Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.: ил.

2.Деплан И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 – 6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1989. – 287 е.: ил

3.Я.И.Перельман. Занимательная арифметика [Текст], / Я.И.Перельман – М.: АО «Столетие», 1994.- 512с.

2. Гусак А. А., Гусак Г. М., Гусак Е. А. В мире чисел, / Гусак А. А., Гусак Г. М., Гусак Е. А.  - Минск: Народная асвета, 1987. - 191 с.

Приложение 1

Приложение 2