Удивительный мир симметрии

Введение.

     Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Издавна человек использовал симметрию только в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков она придавал гармоничность, законченность.

В современном мире симметрия используется практически везде: в архитектуре, в транспорте, в создании различных орнаментов, в изображениях и т.д. В своей работе я рассматриваю связь симметрии в окружающем нас мире на примере жизнедеятельности города Краснодара. Поэтому я поставила перед собой такие проблемные вопросы:

1. Какие виды симметрии известны;
2. Как проявляется гармоничность симметрии в природе;
3. Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?

Поэтому тему своего исследования я назвала «Удивительный мир симметрии».  В своей работе я хочу показать симметрию в биологии, математике, архитектуре и искусстве.

1. Основная часть.

1. Что такое симметрия? Ее виды в геометрии.

В толковом словаре С.И. Ожегова симметрия истолковывается, как «соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости». В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Из этого же словаря я узнала, что слово гармония означает «согласованность, стройность в сочетании чего-нибудь». Значит, оно употребляется в различных смыслах, во-первых, как слово обиходной речи, во-вторых, как точное понятие ряда наук, прежде всего о геометрии.

Как обиходное слово симметрия означает известную правильность формы тел, одинаковость его размеров. Подавляющее большинство тел, искусственно создаваемых человеком (машины, дома, одежда, мебель), обладает симметрией. Симметричны планеты, орбиты планет, живые организмы, звёздочки снежинок, (рисунок 1).

«Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек в течение веков пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» - Герман Вейль.

К симметрии в своём творчестве обращаются художники, скульпторы, архитекторы. Например, фантазия голландского художника Морица Эшера (1898 - 1972) создала множество самых причудливых мозаик. И все они иллюстрируют законы симметрии( рисунок 2).

В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые

специальные виды симметрии.

 Центральная симметрия.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией (рисунок 3).

Осевая симметрия.

Фигура называется симметричной относительно прямой р, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой р, также принадлежит этой фигуре. Прямая р называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией (рисунок 4).

Зеркальная симметрия.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1. (рисунок 5).

Симметрия  - мощное средство математических исследований, она помогает решать трудные задачи. А для того, чтобы освоить «метод симметрии» надо помнить основные свойства симметрии:

1. Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой

                                              А  •   - - - - - - - - - - - - - - - -   • А1

                                                                         р    

1. Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам

                                             А                                        А1

                                                                        р      

1. Если отрезок MN симметричен отрезку относительно прямой р, то их длины равны.

                                                        А                      В      

                                               А1    

                                                                                     р

                                                           В1    

            2. Проявление симметрии в живой и неживой природе.

Все красивое радует нас. Мы невольно отмечаем необычный закат, необыкновенные листья растений, строгие формы кристаллов. Постепенно формируется картина окружающего мира, мы находим общее в различных объектах.

Что такое симметрия? Какой глубокий смысл заложен в этом понятии? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

Оказывается, симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. Симметрия- это правильность форм и определенный порядок.

Дальше поговорим о симметрии в неживой природе. Камни лежащие у подножия горы весьма беспорядочны: однако каждый камень является огромной колонией кристаллов. Именно они вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Почти все кристаллы, встречающие в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии (рисунок 6) . Почему же так красивы и привлекательны кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением. В кристаллографии (науке о кристаллах) существует даже раздел, который называется «Геометрическая кристаллография». В 1867 году генерал от артиллерии, профессор Михайловской академии в Петербурге А.В. Гадолин строго математически вывел все сочетания элементов симметрии, характеризующие кристаллические многогранники. Например, гранат попадает в первую, так называемую кубическую систему, все кристаллы которой имеют те же элементы симметрии, что и куб (форму куба имеют, например, кристаллы поваренной соли). Всего существует 32 вида симметрий идеальных форм кристалла.

А какая прелесть снежинки! Каждая из них - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией 6 - го порядка, зеркальной симметрией. Изучением этого вопроса я займусь в старших классах.

                    3. Симметрия и биология.

На выявление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии.

В 1961 году результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. Примеры симметрии в ботанике: осевой симметрией обладает лист винограда (рисунок 7). Доказательство: проведем из вершины листа вертикально вниз прямую, проходящую через стебль. На резных концах отметим точки А и А1, В и В1 С и С1. Если провести перпендикуляр через заданную прямую и точку А, то получим отрезки ОА и ОА1.Они будут равны. Значит точка А1 – есть образ точки А. Рассмотрим теперь точки В и В1. Точка В также отображается на В1, так как отмеченное на перпендикуляре, расстояние ВО1 = О1В. То же самое можно сказать о перпендикуляре, проведенном через точку С   , перпендикулярно нашей прямой. Расстояние от С до прямой СО2 = О2С1 . Значит , если взять любую точку на плоскости листа слева , то такую же точку на таком же расстоянии от выбранной оси можно найти справа на листе винограда.

 Осевой симметрией обладает так же колос пшеницы(рисунок  8). Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Поворотной симметрией обладает цветок подсолнуха, (рисунок 9).  Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим с собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120° ,для колокольчика 72°, для нарцисса 60° (цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони и т.д.(рисунок 10).

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света (рисунок 11).

Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. У большинства, например у майского жука, речного рака, лягушки, волка, лисы(рисунок  12,13), имеются одинаковые парные органы на правой левой сторонах, тела. Через тело таких животных можно мысленно провести только одну плоскость, делящую животное на две зеркально одинаковые половины. Животные с симметрично расположенными парными органами называются двустороннесимметричными, а

симметрия их тела - двусторонней. Двустороннюю симметрию тела имеют все активно передвигающиеся животные.

Животные, ведущие малоподвижный образ жизни, имеют иную симметрию тела и внешне похожи на цветки растений, шары, зонтики, например губки и кишечнополостные. Через их тело можно провести несколько воображаемых плоскостей, каждая из которых делит животное на две зеркально подобные половины. Линии пересечения этих плоскостей расходятся от центра пересечения лучами. Такую симметрию называют лучевой. Такое строение позволяет малоподвижным или прикрепленным животным ловить добычу или чувствовать приближения опасности с любой стороны.

Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные Симметрию 5-го порядка называют симметрией жизни. Это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности. Морская звезда — пример живого организма с поворотной симметрией 5-го порядка. Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе(рисунок 14). 

4.Применение законов симметрии человеком.

Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти закономерности в своих творениях. Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Примеров использования симметрии в архитектуре множество, одним из них является прекрасное здание в городе Краснодаре – драматический театр, фасад  которого имеет  осевую симметрию(рисунок 15). Доказательство: проведем вертикально вниз прямую, проходящую через середину здания. На концах здания отметим точки А и А1, В и В1 С и С1. Р и Р1. Если провести перпендикуляр к

заданной прямой через точку А к А1, то получим отрезки ОА и ОА1.Они будут равны. Значит точка А1 – есть образ точки А. Рассмотрим теперь точки В и В1. Точка В также отображается на В1, так как отмеченное расстояние ВО1 = О1В. То же самое можно сказать о перпендикуляре, проведенном через точку С , перпендикулярно нашей прямой. Расстояние от С до прямой СО2 = О2С1 . Значит , если взять любую точку на плоскости слева , то такую же точку на таком же расстоянии от выбранной оси можно найти справа на здании драмтеатра. Среди достопримечательностей нашего города немало архитектурных сооружений имеют осевую симметрию: Мемориальная Арка «Ими гордится Кубань» в сквере им. Жукова(рисунок 16), здание медакадемии (рисунок 17), арка- памятник жертвам войны (рисунок 18), собор                         А. Невского (рисунок 19), Краевая научная библиотека им. А.С. Пушкина (рисунок 20), Александровская Триумфальная арка(рисунок 21),  и другие. Также, если пройтись по улицам нашего города можно встретить объекты с осевой симметрией: цветочные часы (рисунок 22), фонтан на ул. Красной(рисунок 23).а  памятник казачеству на ул. Красной обладает лучевой и поворотной симметрией  (рисунок 24).

Современный герб Краснодарского края составлен на основе исторического герба Кубанской области(рисунок 25). На нем также можно определить ось симметрии проходящую через двойную голову орла и штандарт с лентами, также, если рассмотреть герб г. Краснодара (рисунок 26),то можно увидеть, что  центральная его часть симметрична относительно оси и квадрата в центре с литерой « Е», символизирующей причастность к названию города царицы Екатерины. Флаг Краснодарского края представляет собой прямоугольное полотнище из 3 горизонтальных полос: верхней - синего, средней - малинового и нижней - зелёного цвета. В центре флага расположен герб Краснодарского края, выполненный в одноцветном варианте –

золотым цветом (рисунок 27).Если мысленно провести через голову двуглавого орла пряму, то мы увидем , что флаг будет  будет симметричен относительно своих половин.

Костюм казака складывался веками. Это были шаровары, рубаха двух видов - русская и бешмет. (рисунок 28).Бешмет казака, чтобы подчеркнуть аккуратность  и красоту  был симметричен относительно оси. Но казак ценил одежду не за её стоимость и даже не за её удобство, которым славилась казачья «справа», а за тот внутренний духовный смысл, которым были наполнены каждьп стежок, каждая деталь казачьего костюма. Традиционный женский костюм состоял из юбки и блузки. Кофточка могла быть приталенной или с басочкой, но обязательно с длинным рукавом.Юбки шили из ситца или шерсти, широкие. Внизу она украшалась симметричными кружевами, оборками (рисунок 29). Праздничный и повседневный костюм казачки всегда был украшен вышивкой с симметричными узорами (рисунок 30). Такая вышивка называется

орнаментом. Орнамент - своеобразная знаковая система, сопровождающая каждого человека на его жизненном пути. Искусство орнамента содержит в неясном виде наиболее важную часть

высшей математики.

 Каждый орнамент несет в себе вид симметрии, в кубанском костюме преобладает орнамент центрально симметричный, осевой и поворотный. Он состоит в том, что части целой формы организованны таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от неё на определённый интервал в определённом направлении. Этот интервал называется шагом симметрии. Гуляя по Краснодару, такой вид орнамента  можно наблюдать на кованных оградах и воротах дворов.

1. Заключение

Изучив и исследовав тему «Симметрия» я узнала, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы будем изучать в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида. Представление о симметрии - один из основных инструментов назначения реальности человеком. Мы действительно обнаруживаем симметрию в природе вещей, но важные факты принципа симметрии заставляют нас ставить фундаментальные вопросы строения мира и находить на них ответы.

Таким образом, изучая симметрию природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни.

Рассматривая архитектуру зданий, предметы украшения и быта, технические изобретения, мы видим в них присутствие центральной, поворотной, переносной, осевой и зеркальной видов симметрии, которые дают ощущение спокойной уверенности и эстетической привлекательности.

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии разнообразных природных объектах и сопоставление его (изучения) результатов удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.

Надеюсь,   что   научно-исследовательский   проект  будет   полезен   ученикам   и   учителям математики, кубановедения, природоведения, биологии и поможет отыскать новые пути совершенствования обычного школьного урока.

Список Интернет - ресурсов

http://idppo.kubannet.ru/ru/recommend/23081101.html

Приложение

рисунок 7                                                                                       рисунок 8            

рисунок 9                                                                                     рисунок 10         

рисунок 11                                                                                рисунок 12  

 рисунок 13             рисунок 14

рисунок 15                                                                   рисунок 16

    рисунок 17                                                                        рисунок 18

рисунок 19                                                              рисунок 20

рисунок 21                                                             рисунок 22          

    рисунок 23                                                                   рисунок 24                                      

рисунок 25                                                                      рисунок 26

15

      рисунок 27                                                               рисунок 28          

рисунок 29                                                                   рисунок 30