Иррациональные числа

Слайд 1

Слайд 2

Прежде всего заметим ,что в математике не принято говорить «не иррациональное число» .Обычно используют термин «иррациональное число».Термин «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio - «разум» буквальный перевод: «рациональное число»- «иррациональное число»- неразумное число»; впрочем; так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально»- это значит, что он поступил разумно, «так действовать не иррационально»-это значит, что так действовать неразумно.

Слайд 3

Рассмотрим уже известное нам иррациональное число .Понятие квадратного корня из неотрицательного числа мы отмечали, что оно заключено между числами 2и3; если точнее,- то между числами 2,2и2,3;если еще точнее,- то между числами 2,23и2,24.Можно продолжить уточнения оценок числа и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,236(в квадрате)=4,999696,что меньше 5. Итак, 2,236 < <2,237 .

Слайд 4

Точно так же можно определить границы для четвертого знака после запятой, для пятого знака и т.д. ясно, что выполняется приближенное равенство приблизительно 2,236.Если же считать, что для числа выписаны все последующие десятичные знаки ,то можно воспользоваться записью =2,236… это- бесконечная десятичная дробь. Иррациональное число выражается бесконечной десятичной непериодической дробью.

Слайд 5

Вообще, иррациональным числом называют бесконечную непериодическую дробь. Такие числа встречаются не только при извлечение квадратного корня, но и во многих других случаях, в чем вы не раз убедитесь в старшых классах. Приведем пример: если длину любой окружности разделить на ее диаметр, то в частном получиться иррациональное число 3,141592… Этот факт установил еще в 3-ем веке до н.э греческий математик и филосов Архимед. Для указанного числа в математике введено специальное обозначение буква греческого алфавита «пи»

Слайд 6

Любая арифметическая операция над рациональными числами приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно, ведь сумма обыкновенных дробей есть обыкновенная дробь. -иррациональное число, и * =5-рациональное число, т.е. произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным числом; =

Слайд 7

и — иррациональные числа, и их произведение, т. е. , — тоже иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и иррациональное число. А что получится, если в операции участвуют одно рациональное число и одно иррациональное число, какое «пересилит»? Оказывается, «пересилит» иррациональное число. Рассмотрим такой пример: дано рациональное число 3 и составим их сумму Предположим, что это рациональное число r, т. е. Тогда а r-3 рациональное число(как разность 2-х рациональных чисел) Получается, что — рациональное число, а это неверно, ведь мы знаем, что это число — иррациональное. Получили противоречие, значит, сделанное нами предположение неверно, т. е. — иррациональное число. Аналогично можно доказать, что — иррациональное число.

Слайд 8

Замечание. Обратите внимание, что в проведенном рассуждении мы использовали метод доказательства от противного: "Понятие квадратного корня из неотрицательного числа".

Слайд 9

Итак, можно сделать следующие выводы: Любая арифметическая операция над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу. Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу. Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).

Слайд 10

Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением. Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», объясняется теми же причинами.