Построение правильных многогранников в программе КОМПАС 3 D

_____________________________________

______________________________________________________________________________

1. ВВЕДЕНИЕ

Данная проектная работа  направлена на улучшение способов построения правильных многогранников, используя современные информационные технологии. Традиционные способы не могут обеспечить качество построения  правильных многогранников, т. к. они требуют множества расчетов и точности выполнения графических работ. К тому же любое построение многогранника дает только один его вид. А применяя программу трехмерного твердотельного моделирования КОМПАС 3D, мы получим трехмерную модель многогранника. Во-первых, для восприятия трехмерная модель лучше любого чертежа, во-вторых, с помощью трехмерной модели можно создать множество чертежей за кратчайшее время.

2. АКТУАЛЬНОСТЬ ИДЕИ ПРОЕКТА

Идея применения программы КОМПАС  3D для изучения стереометрических объектов сегодня является  очень актуальной. Низкая успеваемость российских выпускников по математике объясняется в частности слабым развитием  их пространственного мышления. Чтобы правильно воспринять форму многогранника, необходимо видеть его под разными углами зрения. Эту возможность может дать либо реальная, либо виртуальная модель объекта. Высокая точность, возможность увеличить, создать графический документ и т.д. – все это преимущества виртуальной модели над реальной. Поэтому я решила создать в программе КОМПАС 3D трехмерные модели  правильных многогранников.

3. ОПИСАНИЕ ПРОЕКТА

Многосранники являются пространственными фигурами. Для построения их на плоскости требуется хорошо развитое пространственное мышление. Занятия по трехмерному моделированию очень хорошо развивают пространственное мышление и дают возможность получить отличные графические документы.

Цели и задачи данного проекта:

1. Дать понятие правильных многогранников (на основе определения многогранников).
2. Познакомить с историческими фактами, связанными с теорией правильных многогранников.
3. Показать, как можно с помощью программы КОМПАС 3D построить  правильные многогранники.

ПОНЯТИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

        Существуют следующие виды правильных  многогранников:

1. Если грани правильного многогранника – правильные треугольники:

1. правильный тетраэдр – четыре грани;
2. правильный октаэдр – восемь граней;
3. правильный икосаэдр – двадцать граней;

1. Если грани правильного многогранника правильные четырехугольники:

1. правильный гексаэдр (куб) – шесть граней;

2. Если грани правильного многогранника правильные пятиугольники:

1. правильный додекаэдр – двенадцать граней;

        Правильных многогранников, грани которых  многоугольники с числом сторон больших пяти, не  существует.

ИСТОРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита в Шотландии как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит  Теэтету Афинскому,  современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философа Платона, в честь которого и получили название «Платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате  «Тимей» (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца.  Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

В XVI веке немецкий астроном  Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет  (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики   – законов Кеплера,  –  изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ В ПРОГРАММЕ КОМПАС 3D

Создание трёхмерной модели куба

1. На плоскости XY изометрии XYZ создается эскиз квадрата с центром в начале координат.

        2. Выполняется операция выдавливания в два направления на расстояния половины измерения куба.

3. Создается трехмерная модель куба

Создание вида в изометрической проекции выполняется автоматически, используя трехмерную модель.

Создание трёхмерной модели тетраэдра

1. Через три вершины куба создается плоскость и выполняется операция сечения плоскостью.

        2. Создается плоскость через ребро сечения и противостоящую вершину, и выполняется операция сечения плоскостью. Затем операции повторяются для создания других граней тетраэдра

Создание вида в изометрической проекции выполняется автоматически, используя трехмерную модель.

Создание трёхмерной модели октаэдра

        1. Создается модель половины куба, и вырезаются нижние  углы через середины ребер грани.

        2. Вырезание выдавливанием отображается зеркально относительно плоскости ZX и выполняется уклон всех полученных граней, добавляя угол наклона, пока ребра не сольются в одну точку.

        3. Полученное тело зеркально отображается относительно плоскости XY

Создается чертеж октаэдра, используя трехмерную модель

Создание трёхмерной модели икосаэдра

        1. Из модели куба срезаются верхние углы таким образом, чтобы двугранный угол при вершине был  равен 138.19°

        2. Операция повторяется для остальных граней куба таким образом, чтобы линии, создаваемые на смежных гранях куба были взаимоперпендикулярными.

        3. Создается плоскость через три вершины и выполняется сечение плоскостью.

3. Аналогично срезаются остальные вершины, и постепенно создается модель икосаэдра.

        Создается чертеж икосаэдра, используя трехмерную модель

        Создание трёхмерной модели додекаэдра

1. На каждой грани создается двухскатная крыша таким образом, чтобы двугранный угол при вершине был равен 116.57°.

        2. Выделяется плоскость ската крыши и данной плоскостью выполняется срезание фронтона другой крыши. Так повторяется до полного создания додекаэдра

        Создается чертеж додекаэдра, используя трехмерную модель

Приложение 1

В рамках данного проекта также созданы модели правильных невыпуклых многогранников как:  звездчатые формы октаэдра,  икосаэдра и додекаэдра и (тела Кеплера- Пуансо)

Звездчатая форма октаэдра

Звездчатая форма икосаэдра

Звездчатая форма додекаэдра

Приложение 2

Созданы модели полуправильных многогранников как: усеченный тетраэдр, усеченный икосаэдр,  кубооктаэдр, икосододекаэдр,  ромбокубооктаэдр, ромбоусеченный кубооктаэдр (тела Архимеда)

Усеченный тетраэдр состоит из трех правильных шестиугольников и трех правильных треугольников

Усеченный икосаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников.

Кубооктаэдр состоит из 6 квадратов и 8 правильных треугольников

Икосододекаэдр имеет 12 граней – правильные пятиугольники и 20 граней правильные треугольники

Ромбокубооктаэдр имеет 14 граней – квадратов и 8 граней – правильных треугольников.

Ромбоусеченый кубооктаэдр состоит из12 квадратов, 8 правильных пятиугольников,  6 правильных шестиугольников

        Используя созданные модели, их возможности поворачиваться и быть видными под разными углами зрения  в программе КОМПАС 3D, создан учебный видеофильм  «Правильные многогранники», который может быть использован в виде дидактического материала в учебных заведениях.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. Геометрия / Л. С. Атанасян, В.Т. Базылев // учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.2.-М.: Просвещение, 1987.-352с.:ил.

1. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселев, Э.Г. Позняк // 15-е изд., доп. – М. : Просвещение, 2006. – 256 с. : ил.
2. Крайнев Л.Б. Построение правильных многогранников с использованием куба / Л. Б. Крайнев // Научно-теоретический и методический журнал “Математика в школе”.- №2.- 1994.- c. 53-56.
3. Материалы из Википедии — свободной энциклопедии