Прогнозирование успеваемости с применением метода скользящего среднего

Исследовательская работа на тему:

«Прогнозирование успеваемости с применением метода скользящего среднего»

Автор:

Романченко Полина

ученица 5«а» класса

Муниципального общеобразовательного

учреждения «Средняя общеобразовательная

школа № 67» г. Саратова

Научный руководитель:

Потапова Светлана Александровна

учитель математики первой категории

Муниципального общеобразовательного

учреждения «Средняя общеобразовательная

школа № 67» г. Саратова

Саратов

 2011

Содержание

1. Введение                                                                                                             3

2. Использование тренда и скользящего среднего при прогнозировании       5

3. Построение прогноза  успеваемости обучающихся 4 «А» класса МОУ   «СОШ №67» г.Саратова(2010/2011)                                                                    7              

4. Выводы                                                                                                               12

5. Литература                                                                                                         12

6.Приложение                                                                                                        13

1.Введение

Во многих областях жизни мы постоянно сталкиваемся с событиями и явлениями, итог которых неизвестен. При этом постоянно приходится принимать решения, иногда очень важные. Принимать такие решения можно на основе здравого смысла, опыта или интуиции. Но если заранее знать, как будет развиваться тот или иной процесс, к чему он приведет в итоге, можно планировать свою деятельность более эффективно.   Иногда учителям хочется заглянуть вперёд на несколько дней и посмотреть, как решит задачу троечник, на какую оценку напишет ударник контрольную и сохранит ли отличник свою стабильность? Для этого необязательно изобретать машину времени, ведь результаты можно спрогнозировать.

Целью моей работы является построение прогноза успеваемости моего класса 5 «А» по итогам обучения в 1 четверти за 2010/2011 учебный год.

Предсказание  будущего с помощью научных методов, а также сам результат предсказания называется прогнозированием (от греч. πρόγνωσις — предвидение, предсказание). В зависимости от того, на какой промежуток времени делается прогноз, он может быть краткосрочным, среднесрочным, долгосрочным, дальнесрочным.

Существует множество способов прогнозирования.  В зависимости от того, о каком явлении идет речь, выбирают наиболее подходящий метод прогнозирования. Широко распространенными методами прогнозирования являются статистические методы. Статистические методы  позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать выводы и прогнозы.

Почти в каждой области знания встречаются явления, которые важно изучать в развитии во времени и в пространстве. И часто у таких явлений бывают случайные отклонения от обычного течения процесса. Обычно при статистических исследованиях имеют дело с так называемыми временными рядами [1]. Временной ряд это последовательность чисел. Все элементы ряда – это значения исследуемого процесса, которые могут изменяться в большую или меньшую сторону совершенно непредсказуемо. Это так называемые случайные отклонения. Например, отличник может случайно получить тройку, а троечник, наоборот, пятерку.

Как правило, все элементы ряда нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся. Т.е. х1= 4, х2 =5  и т.д. Поэтому то, в каком порядке стоят элементы ряда, очень важно.

2. Использование тренда и скользящего среднего при прогнозировании

Чтобы проанализировать временной ряд, из него прежде всего надо  выделить так называемый тренд. Трендом называется плавно изменяющиеся значения элементов ряда. Такие изменения становятся заметными с течением довольно длительного времени. Такие плавные изменения значений хорошо описываются с помощью гладких кривых. Не существует "автоматического" способа обнаружения тренда во временном ряде. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительные непредсказуемые отклонения, то первым шагом выделения тренда является сглаживание.

Например, ученик в течение некоторого времени получил следующие оценки по русскому языку 4, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 5. Его оценки представляют собой временной ряд из 8 элементов. График зависимости оценок ученика от времени представлен на рисунке 1 в виде ломаной линии. В качестве функции, наиболее точно описывающей характер тренда, была выбрана линейная функция, как наиболее подходящая. Линия тренда представляет собой прямую линию.

Рис. 1

При прогнозировании тренд используют для создания долговременных прогнозов, в том случае, если случайные отклонения от основного значения незначительны. Если во временном ряде присутствует сильный разброс значений (успеваемость нестабильна), то сначала необходимо провести так называемое сглаживание. Для сглаживания временного ряда, а также для построения краткосрочных прогнозов можно применять метод скользящего среднего[2].

Скользящее среднее является одной из самых простых моделей усреднения. Оно помогает определить начало происходящих изменений значений и их завершение, т.е. построить краткосрочный прогноз.

Для вычисления простого скользящего среднего используется формула

где xi –значения элементов ряда, в нашем случае это оценки ученика. В знаменателе стоит основной параметр – окно усреднения или период скользящего среднего (количество дней, по которым производится усреднение). В нашем случае выбрано окно усреднения равное трем. Результаты применения такого сглаживания к рассматриваемому ряду приведены на рис.2.

Рис.2

                Из формулы (1) видно, что скользящее среднее является обычным арифметическим средним от оценок за определенный период времени. При таком усреднении оценок можно избавиться от мелких случайных отклонений от основного уровня успеваемости ученика. Чем меньше окно усреднения (т.е.количество дней, в течение которых это усреднение проводится), тем оно быстрее определяет новую тенденцию в успеваемости, но и одновременно делает больше «ложных», случайных отклонений. Чем больше окно усреднения, тем медленнее определяется новый тренд, но случайных отклонений будет меньше. Если коротко определить смысл прогнозирования при помощи скользящего среднего, то это  "завтра будет так, как было в среднем за последнее время". Такая модель, конечно, более устойчива к небольшим колебаниям успеваемости, в ней сглаживаются случайные «выбросы» относительно среднего значения.

                После того, как временной ряд избавлен от некоторых явных случайностей, к нему можно применять выделение тренда, т.е. построение долговременного прогноза. На рис. 2 прогноз представлен прямой линией.

3. Построение прогноза  успеваемости обучающихся 4 «А» класса МОУ «СОШ №67» г.Саратова

При помощи метода скользящего среднего и построения линии тренда я построила прогноз успеваемости учеников 4 «А» класса. Для обработки использовались оценки по русскому языку за 1 четверть 2010-2011 уч. года (Приложение).

Прогноз был сделан отдельно для:

1. одного ученика со стабильной успеваемостью (более 80% -«5», остальные –«4») - отличника
2. одного ученика с нестабильной успеваемостью (50% - «4», остальные – «5» и «3») -ударника
3. одного ученика с относительно стабильной успеваемостью (60-65% - «3», остальные «4» и редко «5») -  троечника.

Первым шагом было построение графиков  зависимости оценок от времени. К каждому из построенных графиков была применена процедура выделения тренда. В качестве функции, описывающей характер тренда, выбрана линейная функция.

Вторым шагом была обработка данных с использованием метода скользящего среднего с окном усреднения 3. Графики зависимости новых полученных рядов приведены на рис. 4(а, б, в). Затем к каждому из этих графиков опять применена процедура выделения тренда.

При сравнении графиков на рис.3 и рис.4 видно, что тренды для  необработанных и для сглаженных рядов отличаются.

Следующим шагом было построение прогноза на 10 дней вперед. Результаты такого прогнозирования приведены на рис. 5 (а, б, в)

Рис. 3а

Рис. 3 б

Рис. 3 в

Рис. 4а

Рис. 4б

Рис. 4в

Рис. 5а

Рис. 5б

Рис. 5в

4. Выводы

В работе были построены прогнозы успеваемости с использованием описанных методов на 10, 20, 30, 40, 50, 100 дней вперед.

        Для оценки точности прогноза было проведено сравнение полученных результатов с реальными оценками учеников за следующую четверть, взятых из классного журнала (Приложение).  

        В результате я обнаружила, что результаты прогноза совпадают с реальной оценкой, если количество дней взятых для прогноза не превышает 30 для учеников с нестабильной успеваемостью, не превышает 50 для  относительно стабильной успеваемости, и может достигать 100 для стабильной успеваемости.

Таким образом, мною было показано, что выделение тренда из ряда, сглаженного по методу скользящего среднего, позволяет построить прогноз успеваемости, совпадающий с реальной картиной успеваемости в указанных выше пределах.

5. Литература

1. Хованова Н.А., Хованов И.А Методы анализа временных рядов: Учеб. Пособие. Саратов: Изд-во Гос УНЦ «Колледж», 2001.
2. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А.Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова – М.: ИНФРА-М, 1998.