Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №7»

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СТИХАХ

Автор Голубева Елена, 8 «А»

Руководитель Михалина Е.А.,

учитель математики

Реутов – 2009

Содержание

Введение        3

1. Математическая задача как предмет исследования        4

2. Классификация занимательных задач        5

3. История развития занимательной математики и увеличения знаний о ней        7

3.1. Вавилон и Древняя Греция. Диофант и его вычисления        7

3.2. Древняя Индия. Ал-Хорезми        9

3.3. Франсуа Виет        11

Заключение        13

Список используемой литературы        14

Приложение        15

Введение

Предмет «математика» настолько серьезен,

что полезно не упускать возможности

сделать его более занимательным.

Блез Паскаль [1].

Математические задачи интересного содержания и нестандартного решения встречаются на каждой математической олимпиаде, будь то школьная, городская или даже международная. Я участвовала во многих математических олимпиадах, и на каждой из них были различные задачи, но все очень и интересные и сложные. Такие задачи в школьных учебниках математики встречаются редко, и они всегда очень интересны, несмотря на то, что решать их трудно. Они совершенно разные по содержанию и по форме, но при решении необходимы определенные знания. Такие задачи не только интересней по содержанию, но они и лучше запоминаются, тренируют память и логическое мышление, провоцируют лучшее усвоение проходимого учебного материала.

Интерес к подобным задачам перерос в стремление узнать о них чуть больше, понять, когда начало зарождаться целое искусство создания занимательных задач в стихах. Это стремление побудило меня к написанию этой работы.

Объектом исследования стали занимательные математические задачи на составление математических уравнений и систем уравнений.

Цели  работы - углубление знаний о занимательных задачах в стихах на составление математических уравнений и систем уравнений, развитие логического мышления и тренировка памяти посредством решения задач.

Задачи исследования:

1. изучение научных и литературных источников;
2. поиск и решение занимательных задач в стихах;
3. составление своей задачи в стихах на составление системы уравнений второй степени;
4. анализ и обобщение полученной информации.

Актуальность:

Задачи, которые были исследованы в ходе написания работы, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад различных уровней сложности. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

Составлять задачи в стихах достаточно сложно, именно поэтому занимательных  задач, представленных в стихотворном виде, не очень много. В древние времена это делали в те периоды, когда математика считалась «высоким искусством» и изучалась знатными людьми. В наше время стихи на математические темы сочиняются в основном для развития интереса к этой науке у школьников и для различных олимпиад.

1. Математическая задача как предмет исследования

Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника» или «Чему равна площадь прямоугольника?»).

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

Рассматривая задачу, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

3. Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми. 

К занимательной математике (математическим развлечениям) относят разнообразные головоломки, игры, фокусы и прочие увлекательные задачи, связанные с математикой и требующие для решения находчивости, смекалки и оригинальности мышления.

Занимательность традиционных математических развлечений сразу бросается в глаза. Однако занимательность в широком смысле означает способность занять внимание и воображение. Обычно «занимательное» понимается как увлекательное, интересное, притягивающее к себе. Это происходит прежде всего благодаря необычности, нетрадиционности сюжета, когда в качестве исходных данных и ситуаций используются вымышленные или реальные персонажи, определенными средствами достигающие заданной цели.

В переводе с  латинского языка слово «интерес» (interest) означает «имеет значение, важно».

В толковом словаре русского языка Ушакова [2] слово «интерес» определяется:

ИНТЕРЕ'С, а, м. [от латин. interest — имеет значение].

1. только ед. Внимание, возбуждаемое по отношению к кому-чему-н. значительному, важному, полезному или кажущемуся таким. 2. Предмет, тема, приковывающая, возбуждающая внимание (книжн.)

В словаре русского языка С.И. Ожегова мы можем встретить следующее определение слова "занимательный": способный занять внимание, воображение, интересный. В другом словаре русского языка под редакцией А.П. Евгеньева под "занимательным" понимают возбуждающий, вызывающий интерес, внимание; увлекательный [3].

Познавательный интерес – является самым значительным  свойством человека: познавать окружающий мир в стремлении проникать в его многообразие, закономерности. Занимательные задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Не зря люди передавали эти задачи устно и письменно из поколения в поколение.

Занимательные задачи – нестандартные математические задачи, обычно с сюжетом, отличающиеся от обычных задач оригинальным построением условия и методом решения и вызывающие у человека, решающего их, интерес. Немногочисленность занимательных математических задач относительна. Их во много раз меньше стандартных задач школьной программы, однако, если целенаправленно искать их в книгах, то можно найти огромное их количество.

2. Классификация занимательных задач

Изучая историю математики можно заметить, что есть задачи, которые с древних времен и до наших дней не потеряли популярности. И даже в наши дни они присутствуют во многих сборниках занимательных задач. И многие авторы используют древние методы их составления (например, представляют задачи в стихах). 

Существуют различные классификации задач, например, по способу подачи информации (текстовые, графические, задачи-рисунки), по способу решения (арифметические, алгебраические, геометрические, графические), по содержанию (количественные и качественные) и т.д.

Ещё, некоторыми авторами выделяются: стандартные прикладные задачи, нестандартные прикладные задачи, нестандартные задачи, не являющиеся прикладными, и материалы, вообще не являющиеся задачами. При этом «нестандартные» дополнительно можно разделить в зависимости от нестандартной формы, способа решения и особенностей.

В литературе можно встретить огромное количество классификаций "занимательных задач". Деятели математики предлагали различные классификации, сильно отличающие друг от друга. В разное время свои классификации предлагали: Г. Ленгауэр, М. Гарднер, Б.Л. Кордемский и др.

Например, Б.Л. Кордемский, большой специалист в области занимательных задач, выделяет две категории задач данного типа:

1. задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности - типа задач математических олимпиад; 
2. задачи типа математических развлечений. Эти задачи прямого отношения к школьной программе не имеют и, как правило, не предполагают хорошей математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени сложности и, прежде всего, упражнения развивающие математическую инициативу.

Вторую категорию заданий Б.Л. Кордемский классифицировал по двум принципам: предметному (по связям задач с тем или иным предметом школьного курса математики) и операционно-тематическому (по сюжетам в сочетании с группами однородных операций - действий, применяемых для решения задач, объединенных темой). Из задач, попадающих по его классификации под второй принцип, можно выделить следующие:

1. "Затруднительные положения"
2. "Геометрия на спичках"
3. "Семь раз примерь, один раз отрежь"
4. "Умение везде найдет применение"
5. "С алгеброй и без нее»
6. "Математика почти без вычислений"

Несмотря на то, что в литературе можно встретить огромное количество классификаций "занимательных задач", в своей работе мы будем придерживаться классификации, предложенной И.Ф. Шарыгиным и А.В. Шевкиным. Авторами предлагаются следующие виды:

1. задачи, связанные с числами:

    1.1. числовые выражения;

    1.2. числовые ребусы;

    1.3. другие задания;

2. задачи на "четность";

3. задачи на "переливания";

4. задачи на "взвешивания";

5. логические задачи;

6. задачи - "шутки";

7. задачи на "худший случай"; принцип Дирихле;

8. геометрия на плоскости;

9. геометрия в пространстве;

10. математическая смесь [4].

Таким образом, проанализировав методико-математическую литературу по данной проблеме, можно сделать вывод, что не существует четкого определения понятия "занимательные задачи". Но, несмотря на это, существует большое количество классификаций занимательных задач.

Рассмотрев найденные классификации занимательных задач, я не могла не выделить среди задач в стихах несколько групп по способу их решения:

1. Шутливые задачи –  не требуют вычислений для их решения, достаточно лишь внимательно прочитать или прослушать условие, и ответ станет очевидным. Но все же мне интересны более сложные задачи. И я постаралась найти несколько примеров таких задач (см. приложение).
2.    Задачи на составление уравнения  –  для их решения требуется составить уравнение. 
3.    Задачи на составление систем уравнений первой степени – задачи, для решения которых нужно составить систему простых уравнений.
4. Задача на составление системы уравнений второй степени – на мой взгляд, самые сложные. Для их решения требуется составить систему уравнений второй степени, т.е. систему квадратных уравнений. Они, как мне кажется, более всего подходят для учеников восьмого класса по сложности. Но таких задач крайне мало, ведь составлять их очень сложно да и в восьмом классе их не решают. Вдохновившись более простыми задачами, я попробовала составить такую сама (см. приложение).

При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков. 

3. История развития занимательной математики и увеличения знаний о ней

3.1. Вавилон и Древняя Греция. Диофант и его вычисления

Изучая историю математики и решая занимательные математические задачи, я заинтересовалась историей квадратных уравнений. Оказывается, такие уравнения были известны ещё в древности, хотя, современных обозначений и терминов древние ученые, конечно не знали. Не знали они и отрицательных чисел. С необходимости вычисления квадратов, введения неизвестного переменного числа начиналась наука алгебра.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана практической жизнью. Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Так наряду с задачей вычисления площади квадрата  сторона которого равна a известна, ставилась обратная задача: какую длину a должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь   равнялась b. Эти задачи были связаны с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера и развитием астрономии и математики.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в клинописных текстах встречаются квадратные уравнения:

x2 + x = ¾, x2 – x =14 ½

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до нахождения правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенные в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонская табличка с вычислением   = 1.41421296.

О Диофанте известно очень мало. Есть основание полагать, что он жил около III в. н.э. Одна группа уравнений, так называемые неопределенные уравнения, до сих пор называются диофантовыми уравнениями. Именно для них он нашел способ решения.

Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача в стихах:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его

прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

При решении этой задачи путем составления можно получить значение, которое показывает, сколько прожил Диофант.

В первой книге своего сочинения Диофант рассматривает задачи, приводящиеся к определенным уравнениям вида ах=b или ах2=b, имеющим только одно положительное рациональное решение. Здесь же он впервые в истории науки пытается разработать систему символов, в том числе следующие:

Применялись Диофантом и другие символы для сокращения записи. В настоящее время считается общепризнанным, что Диофант был первым ученым, предпринявшим попытку создания буквенной символики.

Большинство из 189 задач шести книг «Арифметики» Диофанта посвящено решению неопределенных уравнений и их систем, например:

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.. Диофант сумел возродить и развить числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки.

 У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной, квадрата, куба, четвертой, пятой и шестой степеней, а также первых шести отрицательных степеней. Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много позднее. Лишь с конца XV века в Европе началась интенсивная разработка алгебраической символики, а завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVI — начале XVII века в трудах Виета и Декарта».

3.2. Древняя Индия. Ал-Хорезми

Широко известны математики древней Индии Ариабхата (V в.), Брахмагупта (VII в.) и Бхаскара (XII в), который написал книгу под названием «Лилавати», то есть «Прекрасная» (наука арифметика).

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:

               Обезьянок резвых стая

           Всласть поевши развлекалась,

           Их в квадрате часть восьмая

           На поляне забавлялась.

           А 12 по лианам…

           Стали прыгать, повисая.

           Сколько было обезьянок,

           Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче уравнение:

Или ( х/8)2 +12 = х

Бхаскара пишет под видом х2 – 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая:                    х2-64х+322 = -768+1024,

(х-32)2=256,

х-32=±16,

х1 = -16, х2 =48

Вот ещё одна из древнеиндийских задач (математика Сриддхары XI в.):

«Есть кадамба цветок,

на один лепесток

пчелок пятая часть опустилась.

        Рядом тут же росла

        Вся в цвету сименгда

        И на ней третья часть поместилась.

Разность ты их найди,

Её трижды сложи

И тех пчел на Кутай посади.

        Лишь одна не нашла

        Себе места нигде

        Все летала то взад, то вперед и везде

        Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось» 

Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат Ал-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».

         В трактате решение уравнений рассматривается уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Ал-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений Ал-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).

         В рукописях Ал-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т. е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом Ал-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.

         Ал-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд Ал-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным.          

 Алгебраический трактат Ал-Хорезми известен под заглавием: «Краткая книга восполнения и противопоставления» (по-арабски: «Китаб мухтасар ал-джабр ва-л-мукабала»). Трактат состоит из двух частей — теоретической и практической. В первой из них излагается теория линейных и квадратных уравнений, а также затрагиваются некоторые вопросы геометрии. Во второй части алгебраические методы применены к решению конкретных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических задач.

Ал-Хорезми показывает, какие числа применяются в алгебре. Если арифметика оперирует с обычными числами, которые «составляются из единиц», то в алгебре фигурируют числа особого вида — неизвестная величина, ее квадрат (в современных обозначениях х и х2) и свободный член уравнения.

 Неизвестную величину Ал-Хорезми называет термином «корень» (джизр) и дает следующее определение: «Корень — это всякая вещь, умножаемая на себя, будь то число, равное или большее единицы, или дробь, меньшая ее». Такое определение, не совсем понятное современному читателю, связано с тем, что при решении уравнений всегда искали не только х, но и х2. Поэтому неизвестная рассматривалась как корень из квадрата неизвестной. В определении подчеркивается также, что неизвестная может принимать как целые, так и дробные значения. Термин «корень», применяемый Ал-Хорезми, является, по всей вероятности, переводом санскритского слова «мула» («корень растения»), которым обозначали неизвестную в уравнении индийские математики. Позднее в арабской литературе для той же цели применяли термин «вещь» («шай»).
Квадрат неизвестной назван словом «имущество» («мал») и определяется как «то, что получается из корня при его умножении на себя». Свободный член уравнения -— «простое число» — Ал-Хорезми называет «дирхемом», т.е. денежной единицей.

Ал-Хорезми выделяет следующие шесть видов уравнений :

1) «квадраты равны корням», что в современной записи
означает ах2 = bх;

2) «квадраты равны числу», т.е. ах2 = с',

3) «корни равны числу», т.е. ах = с;

4) «квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bх — с;
5) «квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх;
6) «корни и числа равны квадрату», т.е. bх + с = ах2.
Для каждого из этих видов даются примеры:

Для того чтобы данное уравнение привести к одному из указанных типов, ал-Хорезми вводит два особых действия, названия которых фигурируют в заглавии книги. Первое из них — это ал-джабр (восполнение). Оно состоит в перенесении отрицательного члена из одной части уравнения в другую. Именно от этого термина возникло современное слово «алгебра».

Второе действие — ал-мукабала (противопоставление) — состоит в сокращении равных членов в обеих частях уравнения [1].

3.3. Франсуа Виет

Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона [5].

Ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

         Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене:

 «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...»

Виет показал, что, оперируя символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Символика Виета позволила и решать конкретные задачи, и находить общие закономерности, полностью обосновывая их. Таким образом, алгебра выделались в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.

Заключение

Итак, занимательные математические задачи – это особая группа задач, развивающая логику, память, вызывающая интерес у школьников.  В 8 классе общеобразовательных учреждений всегда проходят решение квадратных уравнений, а решение простых уравнений до этого идет с начальной школы.

Составлением задач на решение уравнений занимались многие математики прошлого, такие, как Диофант, Ал-Хорезми и др. Общепринятое использование алгебраических знаков и латинского алфавита в математике началось с работ Франсуа Виета, посвятившего этому огромное количество времени.

Выводы:

1. в ходе исследования я изучила историю развития алгебры и решения уравнений;
2. нашла большое количество задач в стихах различной сложности и тематики;
3. составила свою задачу в стихах;
4. проанализировала найденный материал и выделила самые главные аспекты.

Задачи, которые были исследованы в ходе написания работы, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад различных уровней сложности. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

Список используемой литературы

1. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.
2.  Толковый словарь русского языка. Под ред. Д.Н.Ушакова –  М., 1935-1940.
3. Ожегов С.И. Словарь русского языка. Под ред. Н.Ю. Шведовой. – М., Издательство «Советская энциклопедия», 1973.
4. Нагибин С.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; под ред. Телявского С.А. Алгебра: Учебник для 8 кл. средней школы. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1994.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. Задачи по математике. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.
7. Клиниченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1992.
8. Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Сборник задач по математике: Учебное пособие. – М.: Издательство МЭИ, 2000.

Приложение

Совы

22 совы скучали

На больших сухих суках.

22 совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких,

В аккуратных серых шкурках.

Ответ: 22 совы [1].

Данная задача была сочинена автором для того, чтобы легче было запомнить приблизительную запись числа π в обыкновенной дроби, равную 22/7. Это отношение прослеживается в условии задачи.

Однако решением к данной задаче является отнюдь не дробь. Стоит еще раз перечитать условие, как сразу становится понятным, что сов всего 22, а строки о мышах приведены для того, чтобы запутать решающего.

Задача про хвосты

По тропинке вдоль кустов

Шли 11 хвостов.

Сосчитать я так же смог,

Что шагало 30 ног.

Это вместе шли куда-то

Петухи и поросята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было петухов?

И узнать я был бы рад,

Сколько было поросят?

Ты сумел найти ответ?

До свиданья, вам привет.

Решение:

1) Пусть x поросят, (11 – x) петухов. Тогда:

4 x + 2 (11 – x) = 30

4 x + 22 – 2 x = 30

2 x = 30 – 22

2 x = 8

x = 8 : 2

x = 4 (пор.)

Пр. 4 * 4 + 2 (11 – 4) = 30

                    16 + 22 – 8 = 30

                                    30 = 30

2) 11 – 4 = 7 (пет.)

Ответ: 4 поросенка, 7 петухов.

Фонтаны

Четыре фонтана струями играли –

Неспешно о силе своей рассуждали:

«Тот пруд, что работники роют вдали,

За сколько бы дней мы заполнить смогли?»

Фонтан первый вымолвил: «Что до меня,

Четыре мне всего достало бы дня».

«Мне – три», «Мне –  лишь два», «ну а мне одного», -

Тотчас отвечали коллеги его.

«А если всем вместе нам пруд наполнять,

Как долго придется ночами не спать?»

Смеркалось, защелкал в саду соловей,

Вторгаясь в шум струй неумолчный друзей.

Решение:

Все фонтаны, работая вместе, заполнят пруд за x дней. Каждый из фонтанов заполнит за день соответственно 1/4, 1/3, 1/2 часть пруда либо весь пруд. Тогда:

                                                                                         1         1         1

(1 +         +        +        ) x = 1

                                                                                                       2         3         4

                                                                                                              25

          x = 1

                                                                                                             12

                                                                                                                      12

x  =          .

      25

                       12

Ответ: за         дня [1].

                       25

Задача про груши

Если Грушам дать по груше,

То одна в избытке груша,  

Если дать по паре груш,       

То не хватит пары груш.

Сколько Груш и сколько груш?

Решение: Пусть x – все девочки, y – груши

. Тогда:

2x = y + 2  

x = y – 1

2 * (y – 1) = y + 2

x = y – 1

2y – 2 = y + 2

x = y – 1

y = 4

x = 4 – 1

y = 4

x = 3

y = 4

x = 3

y = 4                                                         Ответ: 3 девочки, 4 груши [6], [7].

Лошадь и мул

Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,

Их хозяин поклажей большой нагрузил,

Долго-долго тащились дорогой знакомой,

Из последних уже выбиваясь сил.

«Тяжело мне идти!» - лошадь громко стенала.

Мул с иронией молвил (нес он тоже немало):

«Неужели, скажи, я похож на осла?

Может, я и осел, но вполне понимаю:

Моя ноша значительно больше твоей.

Вот представь: я мешок у тебя забираю,

И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.

А вот если  тебе мой мешок перебросить,

Одинаковый груз наши спины б согнул».

Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?

Сколько нес на спине умный маленький мул?

Решение: Пусть x – поклажа, которую несла лошадь; y – поклажа, которую нес мул. Тогда:

y + 1 = 2 (x – 1)                                   y + 1 = 2 x – 2                                     x + 2 + 1 = 2 x – 2

y – 1 = x + 1                                         y = x + 2                                               x = 5, тогда  y = 7.

Ответ: лошадь несла 5 мешков, мул – семь [1], [8].

Галки и палки

Прилетели галки, сели на палки,

Если на каждой палке

Сядет по одной галке,

То для одной галки

Не хватит палки.

Если же на каждой палке

Сядет по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было палок?

Решение: Пусть x – число палок, y – число галок. Тогда:

y = x+ 1  

y = x + 1

y + 2 = 2 x

y = x + 1

x + 1 + 2 = 2 x

x = 3

y = 4.

Ответ: 3 палки и 4 галки.

В кино

Недавно были мы в кино

И фильм отличный посмотрели.

На этот фильм сходить давно

С друзьями очень мы хотели.

В начале было нас немного.

Мы обзвонили всех подряд.

В кино пошли всего в итоге:

В квадрате мы и чей-то брат.

Но чтобы нам в кино сходить

Билеты надо бы купить…

Нам говорят: билеты есть.

Но вместе сядут только шесть.

Есть пятый ряд – 6 мест подряд,

А остальных – на третий ряд.

Мы согласились: фильм классный,

Не возвращаться же назад!

Так сколько было нас всего?

Узнайте также (заодно)

То, сколько было нас вначале

И как же мы расселись в зале?

Ещё подсказка вам нужна

Чтоб вычислить число ребят,

Которые, купив попкорна,

Спешили сесть на третий ряд:

Вам надо вычесть единицу

Из первоначального числа

И это возвести в квадрат.

Решение:

1) Пусть x – кол-во ребят пошедших в кино                                        

вначале, y – ребята, которые сели на 3-ий ряд. Тогда:                            

x2 + 1 = 6 + y                                        x2 + 1 = 6 + (x – 1)2

y = (x – 1)2                                                                              y = (x – 1)2

 x2 + 1 = 6 + x2 – 2x + 1                     2x = 6

y = (x – 1)2                                            y = (x – 1)2                                         

x = 3                                                       x = 3

y = (3 – 1)2                                                  y = 4

2) 4 + 6 = 10 (реб.) – всего детей.

Ответ: Всего в кино пошли 10 ребят.

Эту задачу придумала автор работы.