Определение признаков делимости чисел в восьмеричной системе счисления

Исследовательская работа

Определение признаков делимости чисел

в восьмеричной системе счисления

Автор: Терещенко Надежда Андреевна,

 Россия, сельское поселение Сингапай,  Нефтеюганское районное муниципальное общеобразовательное   учреждение «Сингапайская средняя общеобразовательная школа», 9 класс

Научный руководитель:

Баталова Оксана Владимировна, учитель математики,

Нефтеюганское районное муниципальное общеобразовательное учреждение «Сингапайская средняя общеобразовательная школа»

E-mail:     Bataliya_Ksyusha@mail.ru

2010

ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Предметы при счете сопоставлялись обычно с количеством пальцев на руках и ногах. А так как пальцев на руках и ногах по 10, то появилась десятичная система счисления. Если бы пальцев на двух руках было не 10, а, к примеру, 8, то человечество пользовалось бы не десятичной системой счисления, а восьмеричной. Учащиеся старших классов на уроках информатики изучают различные системы счисления (двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную), переводят числа из одной системы счисления в другую и обратно. Кроме того, учащиеся выполняют такие арифметические операции над числами в этих системах счисления как сложение, вычитание и умножение, пользуясь готовыми таблицами сложения и умножения, приведёнными в учебниках информатики [1].

 Действие деление является довольно сложным как в десятичной системе счисления, так и в других системах счисления. В десятичной системе счисления существуют признаки делимости чисел, по которым, не выполняя деление, можно определить, делится ли нацело число на данное или нет. В других системах счисления подобных признаков делимости нет. Однако  в олимпиадных заданиях по информатике встречаются задачи, в которых можно применить признаки делимости в различных системах счисления не производя непосредственно деление на заданное число. Например, требуется выполнить деление 112(8) на 3(8). К этому заданию предлагаются следующие варианты ответа: а) 32(8);  б) 23(8); в) нацело не делится; г) 37(8) [2]. Если бы число было записано в знакомой нам  десятичной системе счисления, то для определения того, делится ли данное число на 3, достаточно было бы вспомнить признак делимости на 3, что значительно облегчило бы задачу, особенно в случае многозначных чисел. В восьмеричной же системе счисления признаки делимости чисел не сформулированы, поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо непосредственно поделить одно число на другое, что является достаточно сложным процессом. В этом и заключается проблема.

Актуальность проблемы исследования определяется противоречием между:
необходимостью применять признаки делимости чисел в восьмеричной системе счисления и отсутствием таковых. Актуальность рассматриваемой проблемы определили тему
исследования: «Определение признаков делимости чисел в восьмеричной системе счисления».

Гипотеза: в восьмеричной системе счисления можно определить признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 7, 11 и т.д.

Цель: вывести признаки делимости в восьмеричной системе счисления.

Объект исследования: деление чисел в восьмеричной системе счисления.

Предмет:  признаки делимости чисел в восьмеричной системе счисления.

        Для реализации цели и проверки гипотезы я поставила следующие задачи:

1. Рассмотреть доказательство признаков делимости в десятичной системе счисления и примеры определения признаков делимости в восьмеричной системе счисления на основе анализа литературы.
2. Вывести признаки делимости чисел в восьмеричной системе счисления.
3. Провести эксперимент по применению данных признаков.
4. Сделать выводы.

Методы: анализ, синтез, индукция, обобщение, эксперимент

Глава I   Теоретическая часть

1. Системы счисления

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков [3]. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается справа числа в нижнем индексе: 510; 11101102; AF17816 и т. д.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

,

где S - основание системы счисления;

An - цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

Более удобной и наиболее распространенной является десятичная система счисления, основанием которой является число 10.

Существовали системы счисления и с другими основаниями [4]. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях, например, «дюжина» [5].

У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.

Самой молодой системой счисления является двоичная [6]. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах. Двоичная система удобна для компьютера, но не удобна для человека: числа получаются длинными, их трудно записывать и запоминать. Переводы в десятичную систему из двоичной и обратно, довольно трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. (Соответствие чисел, записанных в разных системах счисления см. в  Приложении I).  На машинном языке вместо записи команд в двоичной системе счисления использовалась восьмеричная система счисления. Она широко используется в низкоуровневом программировании, так как в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт. Числа 8 и 16 являются соответственно 3 и 4 степенями двойки и, следовательно, запись числа уменьшается в 3 и 4 раза соответственно. Также восьмеричная система счисления используется в справочниках для адресов памяти.

2. Делимость натуральных чисел [7].

Правила делимости натуральных чисел одни и те же в различных системах счисления.

Целое число а делится на целое b ≠ 0, если частное a : b является целым, т.е. существует такое целое число c, что a = b ∙c

Например: 2444 делится на 52, т.к. 2444 = 52 ∙ 47.

Свойства делимости:

1). Любое натуральное число a делится само на себя;

2). Если a делится на b, а b делится на c, то a делится на c;

3). Если a делится на b,а b делится на a, то a = b.

4). Если a1, a2,…,an- натуральные числа, каждое из которых делится на b, то их сумма (a1+a2+…+an) также делится на b.

5). Если a делится на c и b делится на c, причём a>b, то разность a и b (a - b) тоже делится на c.

6). Если c = a ∙ b, то c делится на a и c делится на b.

3. Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел – простейшие критерии (правила), позволяющие судить о делимости (без остатка) одних натуральных чисел на другие.

Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемыми в уме [8].

В десятичной системе счисления определены признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25 и так далее [9]  (Приложение II [10]).

Глава II      Практическая часть

1. Анализ информации по теме

       В результате поиска в сети Интернет по теме «Признаки делимости в восьмеричной системе счисления» нами была найдена работа  «Признаки делимости в различных системах счисления» [11]. Ученик 6 класса Павлов П. представил нашему вниманию информацию по признакам делимости в восьмеричной системе на 2, 3, и 4. Мы решили изучить уже выявленные признаки делимости, найти закономерности, по которым они были выведены, и  по аналогии вывести новые признаки делимости на 5, 6 и 7. В этой работе  содержалась следующая информация:

«…признак делимости на 3:

 Пусть дано двухзначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

ab8=8а+b=6а+(2а+в), так как  6а делится на 3 (6:3=2), то если сумма (2а+в) будет делиться на 3, значит, и число ab8 будет делиться на 3, а если сумма (2а+в) не делится на 3, то и само число ab8 не будет делиться на 3.

Пусть дано трёхзначное число аbc8.  Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbc8 =  82а+8b+с=64а+ 8b+с=63а+6в+(а+2в+с), так как 63а делится на 3 (63:3=21) и

6b делится на 3  (6:3=2), то если сумма (а+2в+с) будет делиться на 3, значит, и число abc8 будет делиться на 3, а если сумма (а+2в+с) не делится на 3, то и само число аbc8 не будет делиться на 3.

Пусть дано четырёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbcd8 = 8а3+8b2+8с+d=510а+63в+6с+(2а+в+2с+d), так как 510а делится на 3 (510:3=170),

63b делится на 3 (63:3=21) и 6с делится на 3 (6:3=2), то если сумма (2а+в+2с+d) будет делиться на 3, значит, и число аbcd8 будет делиться на 3, а если сумма (2а+в+2с+d) не делится на 3, то и само число аbcd8 не будет делиться на 3.

            Вывод: если сумма цифр, занимающих нечётные места и сумма удвоенных цифр, занимающих чётные места, делятся на 3, то и само число делится на 3, а если сумма цифр, занимающих нечётные места и сумма удвоенных цифр, занимающих чётные места не делится на 3, то и оно не делится на 3» [11].

  На первый взгляд мне показалось, что данная информация вполне достоверна. Однако  практика показала, что выведенные признаки делимости не приводят к желаемому результату. Например,  следуя предложенному признаку делимости на 3, мы поняли, что число 4568 делится на 3 без остатка, т. к. сумма цифр, занимающих нечётные места и сумма удвоенных цифр, занимающих чётные места, делится на 3. Однако при непосредственном делении выяснилось, что это число без остатка не делится на 3. Тем самым  получилось, что этот признак не действует. Почему? Перед нами встала задача нахождения ошибки в данном доказательстве. Анализируя каждый этап доказательства признака делимости на 3, нами было замечено, что он был выведен на основе признаков делимости  в десятичной системе счисления. А именно:  утверждать, что 510а делится на 3 (510:3=170) можно только в десятичной системе счисления, а также сумму цифр на нечётных местах и удвоенных цифр на чётных местах необходимо находить в восьмеричной системе счисления, а не в десятичной, как предложил Павлов П.  («6 + 4 = 10, 5 · 2 = 10, 10 + 10 = 20. Т.к. 20 делится на 3, то и 456 делится на 3»). В восьмеричной же системе 510:3=155 (остаток 1) и 6 + 4 = 12.   В этом и содержалась ошибка.

2. Вывод признаков делимости в восьмеричной системе счисления

Определим признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 7 и 11 на основе действий с числами в восьмеричной системе счисления.  Для этого понадобится таблица сложения и умножения чисел в восьмеричной системе счисления. Для того чтобы составить эти таблицы был рассмотрен алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления (Приложение III), после чего составлены таблицы сложения и умножения чисел в восьмеричной системе счисления.

Вывод признака делимости на 2.

При анализе табличных данных умножения чисел в восьмеричной системе счисления на 2, нами замечено, что числа оканчиваются чётной цифрой (0, 2, 4 и 6 – чётные числа, а 1, 3, 5, 7 - нечётные). Поэтому было предположено, что признак делимости на 2 можно сформулировать таким образом: если запись числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число без остатка не делится на 2. Или: Если последняя цифра числа делится на 2, то число делится  без остатка на 2, а если последняя цифра числа не делится на 2, то число не делится без остатка на 2. (Рассматриваются натуральные числа в восьмеричной системе счисления). Индуктивным путём  установлена справедливость данных утверждений (Приложение IV). 

Признак делимости на 2 в восьмеричной системе счисления совпал с признаком делимости чисел на 2 в десятичной системе счисления.

Вывод признака делимости на 4.

Также из таблицы умножения можно сделать предположение о том, что число в восьмеричной системе счисления будет делиться без остатка на 4, если оно оканчивается цифрой 0 или 4. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 4 не делится. Или: Если последняя цифра числа делится на 4, то число делится  без остатка на 4, а если последняя цифра числа не делится на 4, то число не делится без остатка на 4. Доказательство см. в Приложении V.

Таким образом, получилось, что признаки делимости чисел на 2 и 4 можно объединить: последняя цифра числа должна делиться соответственно на 2 и 4.

Вывод признака делимости на 3.

Из таблицы умножения определить признак делимости чисел на 3 не удалось. Поэтому было решено использовать индуктивный метод для его выведения.

1. Пусть дано двухзначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

ab8=8а+b=6а+(2а+b),    6а делится на 3  (6:3=2)

2. Пусть дано трёхзначное число аbc8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbc8=  82а+8b+с=1008a+108b+c=77а+ 6b+(а+2b+с),

77а делится на 3 (77:3=25) и 6bделится на 3 (6:3=2).

3. Пусть дано четырёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbcd8=83а +82b +8с+d=1000а+100b+10с+d=776а+77b+6с+(2а+b+2с+d),

776а делится на 3 (776:3=252), 77b делится на 3 (77:3=25) и 6с делится на 3 (6:3=2)

4. Пусть дано пятизначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbcde8=8а4+8b3+8с2+8d+e=10000а+1000b+100с+10d+e=7777а+776b+77с+6d+(а+2b+с+2d+e)

7777а делится на 3 (7777:3=2525), 776b делится на 3 (776:3=252),

77с делится на 3 (77:3=25) и 6 d делится на 3 (6:3=2).

Замечено, что число будет делиться на 3 тогда, когда суммы (2а+b) в двузначном числе, (а+2b+с) в трёхзначном числе, (2а+b+2с+d) в четырёхзначном, (а+2b+с+2d+e) в пятизначном, в шестизначном (2а+b+2с+d+2e+к) и семизначном (а+2b+с+2d+e+2к+f)  числах будут делиться на 3.

Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Доказательство данного признака можно провести несколько иначе. Проведём вспомогательные рассуждения, которые позволят получить признак делимости на 3. рассмотрим числа 77, 7777, 777777 и т. д., в каждом из этих чисел – чётное число семёрок. Все эти числа делятся на 3 и представимы в виде 8²-1, 84-1, 86-1 и т.д. Рассмотрим теперь числа 6, 776, 77776, 7777776 и т. д., в каждом из этих чисел чётное число семёрок и они заканчиваются на 6. Все эти числа, во-первых, делятся на 3 (поскольку 776=770+6, 77776= 77770+6, 7777776= 7777770+6; в записанных суммах оба слагаемых делятся на 3), а во-вторых, представимы в виде, соответственно, 81-2, 83-2, 85-2, 87-2 и т. д.

Для иллюстрации идеи доказательства признака возьмём восьмизначное число abcdefkm8. Имеем:  abcdefkm8 = 87a+86b+85c+84d+83e+8²f+8k+m = ((87-2)a+2a)+((86-1)b+b)+((85-2)c+2c)+ +((84-1)d+d)+((83-2)e+2e)+((82-1)f+f)+((8-2)k+2k)+m = (87-2)a+(86-1)b+(85-2)c+(84-1)d+(83-2)e+ +(82-1)f+(8-2)k+(2a+b+2c+d+2e+f+2k +m). Поскольку, как мы уже ранее установили, что числа  81-2, 8²-1, 83-2, 84-1, 85-2, 86-1, 87-2 делятся на 3, делимость числа  abcdefkm8 на 3 зависит от делимости на 3 суммы цифр (2a+b+2c+d+2e+f+2k +m).

Вывод: если сумма цифр числа, занимающих нечетные места (начиная с цифры единиц) и удвоенных цифр, занимающих чётные места, делится на 3, то и число делится на 3; а если сумма цифр числа, занимающих нечётные места (начиная с цифры единиц) и сумма удвоенных цифр, занимающих чётные места, не делится на 3, то и само число не делится на 3.

Вывод признаков делимости на 5, 7 и 11 см. в Приложении VI, Приложении VII и в Приложении VIII соответственно.

Анализируя признак делимости чисел на 11, мы пришли к выводу о том, что формулировку данного признака можно применить и при делении числа на 3, так как 11 = 3·3 в восьмеричной системе счисления. Таким образом, признак делимости числа на 3 может быть сформулирован следующим образом: если сумма цифр числа, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делится на 3, то и само число делится на 3.

Эксперимент

На следующем этапе перед нами стояла задача экспериментально проверить эффективность применения признаков делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 7 и 11 в восьмеричной системе счисления.

Для этого пригласили участников олимпиады по информатике из нашей школы и школы п. Чеускино. Всего 12 человек. Среди них были 8 учеников, которые справились с олимпиадным заданием по информатике типа: Выполните деление 112(8) на 3. Выберите верный вариант ответа: а) 32(8); б) 23(8); в) нацело не делится; г) 37(8). На вопрос: «Каким способом они решали данное задание?» мы получили ответ: «Сначала перевели число 112 из восьмеричной в десятичную систему счисления, разделили его на 3, затем перевели обратно в восьмеричную». Эта операция заняла у них примерно от 15 до 20 минут. Остальные 4 человека не справились с этим заданием.

Для проведения эксперимента были сформированы экспериментальная и контрольная группы на базе НРМОУ «Сингапайская СОШ» - по 6 человек, в каждую из которых вошли по 4 человека, справившихся с заданием олимпиады. Также количество девочек и мальчиков в обеих группах было одинаковым. Все респонденты являлись учениками 7 класса.

Предварительно всех учеников мы научили делить в столбик числа в восьмеричной системе счисления на 2, 3, 4, 5, 7 и 11. Затем учеников из экспериментальной группы познакомили с признаками  делимости чисел  в восьмеричной системе счисления.

Затем ученикам контрольной и экспериментальной групп было предложено узнать, на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 7, 11 делится число 64524, записанное в восьмеричной системе счисления?  Нами учитывалось время выполнения каждым учеником этой работы.

Результаты выполнения задания респондентами представлены в таблице.

1. Контрольная группа:

*  1 - наличие признака, 0 - отсутствие

2. Экспериментальная группа

Из таблиц видно, что респонденты экспериментальной группы, которые знают признаки делимости чисел в восьмеричной системе счисления, затрачивают на выполнение задания по применению данных признаков от 6 до10 минут, в отличие от респондентов контрольной группы, которые не знали эти признаки и делили число непосредственно на каждый из предложенных делителей в интервале от 14 до 24 минут. Кроме того, при непосредственном делении двое учащихся контрольной группы (33%) допустили ошибки, а среди учащихся экспериментальной группы только 1 человек неверно определил делимость числа на 5. 

Таким образом, время выполнения данного задания учащимися контрольной группы более, чем в 2 раза, превышает время, затраченное респондентами экспериментальной группы, а также качество выполнения задания учащимися экспериментальной группы выше, чем качество выполнения задания учащимися контрольной группы.

Заключение

Вывод. Мне удалось вывести признаки делимости в восьмеричной системе счисления на 2, 3, 4, 5, 7 и 11. Цель работы достигнута. Гипотеза подтвердилась.

Перспективы работы. В ходе этой работы возникло очень много вопросов, на которые необходимо найти ответ. Например:

• Почему при такой серьёзной ошибке, допущенной в работе ученика 6 класса Павлова П., получился верный признак делимости на 3 в восьмеричной системе счисления?
•  Каковы будут признаки делимости в восьмеричной системе счисления на 12, 13 и т.д.?
•  Чем и почему будут отличаться признаки делимости в восьмеричной системе счисления и других системах счисления? А, может, многие признаки совпадут?
• Будут ли признаки делимости в шестнадцатеричной системе счисления такими же, как в восьмеричной системе счисления?

Теоретическая значимость работы. В работе описаны способы нахождения признаков делимости чисел в восьмеричной системе счисления, которые могут применяться для обнаружения признаков делимости в различных системах счисления.

Практическая значимость работы заключается в том, что сформулированные признаки делимости чисел в восьмеричной системе счисления могут применяться для выявления делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 7 и 11 без непосредственного деления.

Новизна работы. Сформулированы и доказаны признаки делимости чисел в восьмеричной системе счисления на 2, 3, 4, 5, 7 и 11; экспериментально доказана эффективность применения данных признаков при определении делимости числа на 2, 3, 4, 5, 7 и 11 в  восьмеричной системе счисления.

Рекомендации по использованию результатов работы.

Данная работа может быть полезна:

• ученикам, увлекающимся информатикой и математикой;
•  учителям информатики и математики;
• программистам;
• а также другим людям, желающим «ум в порядок привести», поскольку в работе приведена некоторая система рассуждений при доказательстве признаков делимости.

Список использованной литературы

1.   Информатика. Базовый курс для 7 – 9  классов. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

2. Информатика: тесты к олимпиаде и итоговому тестированию /Авт.-сост. А.Ф. Чернов, А. А. Чернов. – Волгоград: Учитель, 2006.

3. Преподавание курса «Информатика и ИКТ» в основной и старшей школе: Методическое пособие / Н. Д. Угринович. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

4. Информатика в школе: Приложение к журналу «Информатика и образование».№ 5. – М.: Образование и Информатика, 2007.

5. Алгебра: Учебник для 6 кл. сред. шк. / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1987 .

6. Угринович Н. Д.Информатика и ИКТ. Базовый курс: Учебник для 8 класса / Н. Д. Угринович. – 5-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

7. Бельский. А.А;  Калужнин Л.А.  Деление с остатком. - Киев, 1977.

8. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г. Толковый словарь математических терминов / Под ред. Проф. В.А. Диткина. – М.: «Просвещение», 1965, с. 353.

9. Википедия. Электронная энциклопедия. Статья «Признаки делимости». http://ru.wikipedia.org/wiki

10. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007, с.14

11. Павлов П. Признаки делимости в различных системах счисления. http://www.bgl/3163/282.html (Дата обращения: 9-10 сентября 2008г.)

Приложения

Приложение I

Таблица. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Приложение II

Некоторые признаки делимости чисел в десятичной системе счисления.

Признак делимости на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Признак делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Признаки делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то это число без остатка на 5 не делится.

Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Признак делимости на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10

   Приложение III 

Алгоритм сложения чисел в десятичной системе счисления

1. Записать сумму чисел в столбик.(единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.)
2. Сложить единицы с единицами, десятки с десятками и т. д.                            

( Если в результате сложения единиц, получилось двухзначное число, то

единицы записываются под единицами, а десятки переносятся к сумме десятков.

Аналогично складываем и записываем десятки, сотни, и т. д.)

Пример:

     1

+   347

    462

    80910

По аналогии с десятичной системой счисления я составила  алгоритм сложения чисел в восьмеричной системе.

Алгоритм сложения чисел в восьмеричной системе счисления

1. Записать сумму чисел в столбик (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.)
2. Сложить единицы. Если сумма цифр равна 8, то в результате мы записываем 0 и единицу прибавляем к десяткам, если сумма  больше 8, то в результате мы записываем остаток от деления суммы единиц на 8, а количество восьмёрок, содержащихся в сумме единиц, прибавляем к сумме десятков (имеется в виду разряд, следующий за разрядом единиц). Аналогично складываем и записываем числа других разрядов.

Пример:

     1 1

+   347

    462

  10318

По аналогии с десятичной системой счисления я составила  алгоритм произведения чисел в восьмеричной системе.

Алгоритм произведения чисел в восьмеричной системе счисления

1. Записать числа в столбик (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.)
2. Умножить единицы на единицы. Если произведение =8, то в результате мы записываем 0 и единицу прибавляем к десяткам, если произведение больше 8, то в результате мы записываем остаток от деления произведения единиц на 8, а количество восьмёрок, содержащихся в произведении единиц, прибавляем к сумме десятков. Аналогично умножаем и записываем десятки, сотни, и т. д.

Пример:

        22

        2 3

          1

 х     134

        562

        270

+  1050

    714

         102370

Приложение IV

Вывод признака делимости на 2.

1. Пусть дано двузначное число аb8. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

 аb8 =8а+b=108а+b

 108а делится на 2, так как 108:2=48

2. Пусть дано трёхзначное число abc8. . Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abc8 = 82a+8b+c=1008a+108b+c

1008а делится на 2, так как 1008:2=408 и 108b делится на 2, так как 108:2=48

3. Пусть дано четырёхзначное число abcd8. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abcd8=83a+82b+8c+d=10008a+1008b+108c+d

10008 a делится на 2, так как 10008:2=4008 , 1008b делится на 2, так как1008:2=408 и

108с делится на 2, так как 108:2=48.

4. Пусть дано пятизначное число abcde8. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abcde8=84a+83b+82c+8d+e=100008a+10008b+1008c+108d+e

100008a делится на 2, так как 100008a:2=40008, 10008 a делится на 2, так как 10008:2=4008,

1008b делится на 2, так как1008:2=408 и 108с делится на 2, так как 108:2=48.

Таким же способом мы рассмотрели шестизначные и семизначные числа. 

Вывод: если последняя цифра числа делится на 2, то число делится  на 2, а если последняя цифра числа не делится на 2, то число не делится на 2.

Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Приложение V

Вывод признака делимости на 4.

1. Пусть дано двухзначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

аb8 =8а+b=108а+b

108а делится на 4 (108:4=28)

 2. Пусть дано трёхзначное число abc8. . Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abc8 = 82a+8b+c=1008a+108b+c

1008а делится на 4 (1008:4=208) и 108b делится на 4 (108:4=28)

3. Пусть дано четырёхзначное число abcd8. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abcd8=83a+82b+8c+d=10008a+1008b+108c+d

10008a делится на 4  (10008:4=2008),1008b делится на 4 (1008:4=208) и 108с делится на 4 (108:4=28)

4. Пусть дано пятизначное число abcde8. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abcde8=84a+83b+82c+8d+e=100008a+10008b+1008c+108d+e

100008a делится на 4,(100008a:4=20008), 10008a делится на 4, (10008:4=2008),

1008b делится на 4 (1008:4=208) и 108с делится на 4 (108:4=28)

Также мы доказали, что по тому же принципу на 4 делятся  шестизначные и семизначные числа.

Вывод: Если запись числа оканчивается цифрой 0 или 4, то это число делится без остатка на 4. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 4 не делится.

Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Приложение VI

Вывод признака делимости на 5.

1. Пусть дано двухзначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

ab8=8а+b=108а+b=5а+(3а+b)    5а делится на 5 (5:5=1)

Если сумма (3а+b) будет делиться на 5, то и число ab8 будет делиться на 5, а если сумма (3а+b) не делится на 5, то и само число ab8 не будет делиться на 5.

2. Пусть дано трёхзначное число аbc8. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

аbc8=  82а+8b+с=1008a+108b+c=74а+ 5b+(4а+3b+с)

74а делится на 5 (74:5=14) и 5bделится на 5 (5:5=1)

Если сумма (4а+3b+с) будет делиться на 5, то и число abc8 будет делиться на 5, а если сумма (4а+3b+с) не делится на 5, то и само число аbc8 не будет делиться на 5.

3. Пусть дано четырёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

аbcd8=83а +82b +8с+d=1000а+100b+10с+d=776а+74b+5с+(2а+4b+3с+d).

776а делится на 5 (776:5=146),    74b делится на 5 (74:5=14),   5с делится на 5 (5:5=1)

Если сумма (2а+4b+3с+d) будет делиться на 5, то и число abc8 будет делиться на 5, а если сумма (2а+4b+3с+d) не делится на 5, то и само число аbc8 не будет делиться на 5.

4. Пусть дано пятизначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

аbcde8=84а+83b+82с+8d+e=10000а+1000b+100с+10d+e=7777а+776b+74с+5d+(а+2b+4с+3d+e).

7777а делится на 5 (7777:5=1463), 776b делится на 5 (776:5=146),

74с делится на 5 (74:5=14),  5d делится на 5 (5:5=1)

Если сумма (а+2b+4с+3d+e) будет делиться на 5, то и число abc8 будет делиться на 5, а если сумма (а+2b+4с+3d+e) не делится на 5, то и само число аbc8 не будет делиться на 5.

На этом этапе нам не удалось сделать вывод о признаке делимости на 5 в восьмеричной системе счисления. Мы продолжили исследование с целью доказать уже возникшую здесь гипотезу: если сумма цифр числа, взятых справа налево с коэффициентами 1, 3, 4, 2  соответственно в первых четырёх разрядах, повторяемых в такой же последовательности для всех остальных разрядов делится на 5, то и всё число делится на 5. Проверяя эту гипотезу на шестизначном и семизначном числах, мы убедились, что гипотеза верна. Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Вывод: если сумма цифр числа, взятых справа налево с коэффициентами 1,  3, 4, 2  соответственно в первых  четырёх разрядах, повторяемых в такой же последовательности для всех остальных разрядов, делится на 5, то и всё число делится на 5.

Этот признак является довольно сложным, поэтому иногда более целесообразно разделить непосредственно число на 5. Аналогичными по степени сложности в десятичной системе счисления являются признаки делимости чисел на 7 и на 11.

Приложение VII

Вывод признака делимости на 7.

1. Пусть дано двухзначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

ab8=8а+b=108а+b=7а+(а+b)  7а делится на 7 (7:7=1)

Если сумма (а+b) будет делиться на 7, то и число ab8 будет делиться на 7, а если сумма (а+b) не будет делиться на 7, то и само число ab8 не будет делиться на 7.

2. Пусть дано трёхзначное число аbc8.Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbc8=  82а+8b+с=1008a+108b+c=77а+ 7b+(а+b+с)

77а делится на 7 (77:7=11) и 7b делится на 7 (7:7=1)

Если сумма (а+b+с) будет делиться на 7, то и число abc8 будет делиться на 7, а если сумма (а+b+с) не делится на 7, то и само число аbc8 не будет делиться на 7.

3. Пусть дано четырёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbcd8=83а +82b +8с+d=1000а+100b+10с+d=777а+77b+7с+(а+b+с+d).

777а делится на 7 (777:7=111), 77b делится на 7 (77:7=11) и 7с делится  на 7 (7:7=1)

Если сумма (а+b+с+d) будет делиться на 7, то и число abc8 будет делиться на 7, а если сумма (а+b+с+d) не делится на 7, то и само число аbc8 не будет делиться на 7.

4. Пусть дано пятизначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbcde8=84а+83b+82с+8d+e=10000а+1000b+100с+10d+e=7777а+777b+77с+7d+ (а+b+с+d+e).

Если сумма (а+b+с+d+e) будет делиться на 7, то и число abc8 будет делиться на 7, а если сумма (а+b+с+d+e) не делится на 7, то и само число аbc8 не будет делиться на 7.

Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Вывод: если сумма цифр числа делится на 7, то и всё число делится на 7.

Приложение VIII

Вывод признака делимости на 11.

1. Пусть дано двухзначное число ab8. Определим разрядное слагаемое, которое будет делиться на 11, и подчеркнём остаток.

ab8=8а+b=108а+b=11а+(-а+b) .   11а делится на 11 (11:11=1).

2. Пусть дано трёхзначное число аbc8. Также определим разрядные слагаемые, которые будут делиться на 11, и выделим остаток.

аbc8=  82а+8b+с=1008a+108b+c=((11·7+1)а  + (10 +1)b –b + c = 77a +11b + (a-b+с)

77а делится на 11 (77:11=7) и 11b делится на 11 (11:11=1)

3. Пусть дано четырёхзначное число abc8. Определим разрядные слагаемые, которые будут делиться на 11, и выделим остаток.

аbcd8=83а +82b +8с+d=1000а+100b+10с+d=((1000+1)а – a)+(77+1)b+(11–1)с+d=1001а+77b+

+11c + (-a+b-c+d) .

Каждое из слагаемых 1001а, 77b и 11c  делится на 11 (1001:11=71), поэтому делимость числа на 11 будет зависеть от делимости суммы (-a+b-c+d) на 11.

Аналогично можно провести доказательство для пятизначного, шестизначного и т.д. числа.

Вывод: если сумма цифр числа, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.