Решение уравнений с параметром на основании свойств корней квадратного трехчлена

Министерство образования Российской Федерации

МОУ «Гимназия №87»

Решение уравнений с параметром на основании свойств корней квадратного трехчлена

                                                                       Выполнила:

ученица 10«Б» класса

Таранец Мария

Руководитель:

учитель математики

Золкина С. В.      

Саратов, 2010 г.

Содержание.

Введение………………………………………………………………………..3

1.1 Квадратный трехчлен. Расположение корней квадратного трехчлена...4

1.2 Теоремы о корнях квадратного трехчлена……………………………….6

2. Решение уравнений с параметром…………………………………………10

Заключение…………………………………………………………………….14

Литература……………………………………………………………………..15

Приложения……………………………………………………………………16

Введение.

На одном из уроков нам были предложены следующие задания.

Задание 1. При каких значениях а корни уравнения

 принадлежат промежутку    ?

Решение.

Заданное уравнение является квадратным уравнением с параметром а. Найдем его корни по теореме Виета.

х1 + х2 = 2а,  х1  х2 = (а  +1) (а - 1), х1 = а  + 1, х2 = а – 1.

Так как корни уравнения принадлежат отрезку то справедливы двойные неравенства  , .

Ответ. .

Задание 2. При каких значениях а число 1 находится между корнями уравнения х2 + (а + 1)х – а2 = 0?

 Решение.

Решение заданного уравнения сводится к решению системы двух иррациональных неравенств   , что довольно трудоемко.

У меня возник вопрос – а нельзя ли решить эти уравнения проще, есть ли метод решения, позволяющий ответить на заданные вопросы, не находя корни уравнений? Для ответа на него мне пришлось познакомиться со свойствами корней квадратного трехчлена, зависимостью расположения корней от ряда условий  и теоремами о корнях квадратного трехчлена. После ознакомления с теоретическим материалом я смогла не только выполнить задание 2, но и решать другие аналогичные уравнения.

1.1    Квадратный трехчлен.

Расположение корней квадратного трехчлена.

Определение1: Квадратным трехчленом относительно x называют выражение   (1), где a,b,c-любые действительные числа, причем a≠0, а x-переменная.

Определение2: Функцию  называют квадратичной. Корнем квадратного трехчлена (1) называют такое значение переменной x, при котором значение трехчлена равно 0.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена, надо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение  =0  (2).

Определение3. Дискриминантом квадратного уравнения (2) называется выражение

Теорема. Квадратное уравнение ax²+bx+с=0:

1)имеет два действительных различных корня  и если ; при этом выполняется неравенство ;

2)имеет два совпадающих корня , если  ,причем ;

3)не имеет действительных корней, если .

Следствия.

1) Если коэффициент  b-четное число, то есть , корни квадратного уравнения  =0   определяются по формуле:  

2 Для решения приведенного квадратного уравнения   (3)  используется формула:   ; причем .

Теорема Виета. Если  и -корни квадратного уравнения (2), то

Теорема, обратная теореме Виета. Если a,b,c, , -действительные заданные числа, причем , для которых выполняются равенства

, то числа  и  являются корнями уравнения  .

Свойства корней квадратного трёхчлена

 Приведенные теоремы позволяют сформулировать следующие свойства корней квадратного уравнения (2), часто применяемые при решении задач с параметрами:

1.Если D>0 и a>0, то уравнение (2) умеет два действительных различных корня, знаки которых при c>0 одинаковые и противоположны знаку коэффициента b, а при c<0 знаки корней разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку коэффициента b;

2.Если D=0 и a>0,то уравнение (2) имеет действительные и равные между собой корни, знак которых противоположен знаку коэффициента b;

3.Если D<0 и a>0, то уравнение (2) не имеет действительных корней;

Замечание. Аналогично устанавливаются и свойства корней квадратного уравнения и для a<0. Хотя удобнее приводить анализ квадратного уравнения с положительным старшим коэффициентом, которое легко получить умножением уравнения с a<0 на -1.

4.Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты a и c, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного;

5.Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента b, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного;

6.Если в квадратном уравнении коэффициенты a и c разных знаков, то уравнение имеет действительные корни;

7.Если a>0 и D=0, то левая часть уравнения (2) есть полный квадрат и, наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то a>0, а D=0;

1.2 Теоремы о корнях квадратного трёхчлена.

 Приводимые ниже семь теорем описывают все возможные варианты расположения корней квадратного трехчлена относительно какого-то заданного числа.  

           Теорема1.  Дана функция , где . Оба корня  и  меньше некоторого числа , т.е.

Теорема 2. Дана функция  . Оба корня  и больше некоторого числа , т.е.

Теорема 3. Дана функция . Оба корня  и , т.е. .

Теорема 4.  Дана функция . Один из корней  меньше числа , а другой  больше этого числа, т.е.  .

Теорема 5. Дана функция , меньший  из корней которой принадлежит интервалу от  до ,т.е.

Теорема 6. Дана функция , больший из корней которой принадлежит интервалу от   до , т.е.

Теорема7. Дана функция . Оба корня лежат вне интервала от  до ,т.е. .

2. Решение уравнений с параметром.

Пример 1.( Эту задачу предлагали решить поступающим в Московский университет на физический факультет).

         Дано уравнение: , где  a<0, которое имеет одним из своих корней число 3. Решите уравнение:

     Решение.

Применим теорему Виета к первому уравнению:  Так как (по условию),то , и следовательно, . Обозначим  тогда второе уравнение примет вид:  Сравнив это уравнение с исходным, получим:  Учитывая, что  значение отбрасываем, а из равенства  находим

    Ответ:.

Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения 3ax2+(3a3-12a2-1)x-a(a-4)=0 соответствуют условию  |x|≤1

      Решение. Этот пример можно назвать контрпримером. Я не применяю для его решения теорему о корнях квадратного трехчлена потому, что она здесь нерациональна! Оказывается, традиционный способ проще!

Разложим на множители левую часть уравнения

3ax2+3a(a2-4a)x-x-(a2-4a)=0, 3ax(x+a2-4a)-(x+a2-4a)=0,  (x+a2 -4a)(3ax-1)=0

Тогда x1=4a-a2;    x2=. По условию имеем

Решим каждое неравенство в отдельности:

, корни квадратного трехчлена

a  +;

(

a

 (3)

a

(4)

a

Ответ:

Пример 3. Найти все значения параметра а, при котором уравнение (12a+7)x2+(9a-42)x+11-3a=0 имеет корни, удовлетворяющие условию x1<12

 Решение. По теореме №4: af(m)<0, где f(m)=f(1)=12a+7+9a-42+11-3a=18a-24, тогда (12a+7)(18a-24)<0

Решением неравенства является интервал

Ответ:

Пример 4.   Найти все значения параметра а, при котором уравнение (a2+a+1)x2+(a-1)x+a2=0  имеет корни, удовлетворяющие условию  x1<32

Решение. По теореме №4: af(m)<0 , где f(m)=f(3)=10a2+12a+6, тогда

(a2+a+1)(10a2+12a+6)<0

Рассмотрим каждый трехчлен  в отдельности:

a2+a+10, так как  уравнение a2+a+1=0

10a2+12a+60, так как уравнение  10a2+12a+6=0

Так как оба трехчлена принимают положительные значения, то неравенство (a2+a+1)(10a2+12a+6)<0 не имеет решений.

Ответ:

Пример 5.  Найти все значения параметра а, при котором уравнение  (a-2)x2-2(a+3)x+4a=0 имеет корни, удовлетворяющие условию  212<3

Решение.  По теореме 7:      , тогда

f(2)=4(a-2)-4(a+3)+4a=4a-20

f(3)=9(a-2)-6(a+3)+4a=7a-36

Решение будет находиться в интервале (2;5)

Ответ:

Пример 6.  Найти все значения параметра а, при котором уравнение  (a+1)x2-3ax+4a=0 имеет корни из промежутка (2;5), то есть 212<5

Решение.

По теореме №3:тогда   f(2)=4(a+1)-6a+4a=2a+4;

f(5)=25(a+1)-15a+4a=14a+25; ;

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:  (

Решение третьего неравенства: (--);

Решение четвертого неравенства: (- 4; - 1)

Решение пятого неравенства:  

Решение системы неравенств является интервал

Ответ:

Заключение.

Теперь, после выполнения работы, я могу решить уравнение, приведенное в задании 2 (введение).

Задание 2. При каких значениях а число 1 находится между корнями уравнения х2 + (а + 1)х – а2 = 0?

Решение.

Условием для данного уравнения будет , где а = 1,  = 1. Тогда

,  

Таким образом, уравнение решено практически устно!

Теоремы о корнях просты, удобны и красивы, но их семь! Можно ли их надолго запомнить? И как в условиях экзамена вспомнить требования нужной теоремы и не ошибиться? Ответ может быть таким – надо понять, как выводятся эти условия, и тренироваться именно в выводе! Такое простое исследование может выполнить каждый, а в награду получить в свое распоряжение весьма эффективный и даже эффектный метод!

Литература.

1. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1992.

2. Галицкий М.Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методическое рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя. – М.:Просвещение, 1990.

3. Шарыгин  И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 классов средней школы. М.: Просвещение, 1989.

4. Кушнир И. А. Уравнения. Задачи и решения. – Киев: Астарта, 1996.

5. Шестаков С. А., Юрченко Е. В. Уравнения с параметром. – М.: Слог, 1993.

6. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1978.

7. Шарыгин  И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1991.

Приложение 1.

Расположение корней квадратного трёхчлена.

           Большая группа задач с параметрами связана с расположением корней квадратного трехчлена.

        Рассмотрим квадратичную функцию , где . Обозначим её корни  и , причем считаем, что . Запишем квадратичную функцию в каноническом виде:     (5), где .

      Отсюда следует, что график квадратичной функции- парабола с вершиной Q , осью симметрии .Ветви параболы направлены вверх при a>0  и вниз при a<0.

         Из канонического вида квадратичной функции (5)следует, что расположение параболы относительно оси Ox полностью определяется коэффициентом a и дискриминантом D.

           Рассмотрим все возможные случаи.

1. a>0,D<0- парабола полностью лежит выше оси абсцисс  для всех значений x. Тогда решениями неравенств   и  будут                                                                                                                                                                                                                  

     2) D<0,при a<0 парабола полностью лежит ниже оси Ox, тогда  

  для любых x. Откуда           

3. D=0,при a>0 парабола лежит выше оси Ox,касаясь её в одной точке  ,т.е.    .Тогда  для любых x.

Тогда         

4. D=0,при a<0 парабола лежит ниже оси Ox,касаясь её в одной точке  ,т.е. Тогда  для любых x. Тогда   
5. 
6. D>0,при a>0 парабола пересекает ось Ox в двух точках  и , ветви параболы направлены вверх. Из графика следует, что:

 при

 при

Откуда        

7. D>0,при a<0 парабола направлена ветвями вниз и пересекает ось Ox в двух точках  и .

Из графика следует, что при

Тогда  

   Исследование квадратичной функции, проведенное выше, позволяет записать решения квадратичных неравенств в виде таблицы: