Евклидова геометрия

Слайд 1

Слайд 2

Кто такой Евклид? И что он сделал для геометрии? Геометрия – это одна из древнейших наук. Как наука, она впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. И это была геометрия Евклида. Евклид, или Эвклид (около 365-300 г. до н.э.) – древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. К сожалению, сведения о жизни Евклида до нас не дошли. Известно только, что жил он около 300 года до нашей эры, что расцвет его творчества приходится на александрийский период развития культуры и науки. Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.

Слайд 3

«Начала» Евклида «Начала» Евклида (греч. Stoichtia, буквально – «азбука»; переносное значение – основные начала). Научное произведение, написанное Евклидом в 3 веке н.э., содержащее основы античной математики; элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований.

Слайд 4

Геометрия Евклида Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал». 1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по–видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демократу). 2. Линия есть длина без ширины. 3. Границы линии суть точки. 4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам. 5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. 6. Границы поверхности суть линии. 7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим. 8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости. У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями.

Слайд 5

9 Аксиом Евклида 1. Равные порознь третьему равны между собой. 2. Если к равным прибавить равные, то получим равные. 3. Если от равных отнимем равные, то получим равные. 4. Если к неравным прибавим равные, получим не равные. 5. Если удвоим равные, то получим равные. 6. Половины равных, равны между собой. 7. Совмещающиеся равны. 8. Целое больше части. 9. Две прямые не могут заключить пространства.

Слайд 6

Новая интерпретация 9 аксиом. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну; Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими; Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 0 . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 0 , и только один. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.