Исследовательская работа "СЛОЖНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В ГЕОМЕТРИИ"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя школа №64»

Исследовательская работа

СЛОЖНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

В ГЕОМЕТРИИ

Выполнил:

ученик 10 класса

Хмара Алексей

Руководитель:

учитель математики

Плохих И.В.

Иваново , 2024

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Теоретическая часть: понятие и виды многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Практическая часть: создание моделей некоторых сложных многогранников. . . . . .7

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Список используемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Введение

Классификация моего проекта:

По доминирующей деятельности это будет прикладной (практико-ориентированный) проект. В проекте также будет и информационная часть.  Итогом моей деятельности станут сделанные модели сложных многогранников. Результат ориентирован на интересы учащихся старших классов школы и учителей математики.

По предметно-содержательной  области данный проект классифицируется как межпредметный, т.к. предполагает использование знаний по нескольким предметам: математике, геометрии, черчению, технологии.

По объекту проектирования   – морфологический  - проектирование вещей, а именно моделей геометрических фигур.

По продолжительности выполнения – долгосрочный: несколько месяцев.

Цель проекта: изучить виды сложных многогранников и сделать их модели, которые послужат наглядным пособием  на уроках геометрии.

Актуальность: многогранники являются важным объектом изучения в геометрии и имеют множество интересных свойств и особенностей. Чтобы лучше понять их структуру, для облегчения познания этих фигур помогут наглядные пособия. Всегда интереснее разбирать тему не только в теории, но и на практике. Поскольку это трехмерные фигуры, изучать их лучше используя не плоские изображения в учебнике, а модели.

Ученикам наглядные модели помогут лучше понять свойства многогранников, учителям  –  это дополнительные пособия для проведения уроков.

Задачи:

- изучить теорию: виды многогранников, их строение,  особенности

- узнать наличие фигур в кабинетах математики, спросить у учителей, какие они хотели бы использовать модели многогранников для проведения уроков.

- подобрать качественные материалы для макетов (картон, клей и т.д.)

- сделать чертежи и разверстки фигур

- склеить аккуратные, идеально собранные, визуально красивые  макеты.            Объект исследования – стереометрия, предмет исследования – многогранники.

Теоретическая часть: понятие и виды многогранников.

Многогранник (в трехмерном пространстве) – совокупность конечного числа плоских многоугольников, расположенных в разных плоскостях, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне)^[1].  Эти стороны принято называть рёбрами многогранника. Каждое ребро является общей стороной двух и только двух многоугольных граней. Сами рёбра сходятся в точках, именуемых вершинами многогранника.

Многогранники называют по количеству граней, основываясь на классических греческих терминах чисел. Примеры: тетраэдр (4), пентаэдр (5), шестигранник (6), гептаэдр (7), триаконтаэдр (30) и т. д. Другие распространенные названия указывают на то, что некоторая операция была выполнена с более простым многогранником. Например, усеченный куб выглядит как куб со срезанными углами и имеет 14 граней (так что это также пример тетракаидекаэдра).

Многогранник разделяется на три типа:

1. Правильногранный многогранник — это выпуклый многогранник, каждая грань которого является правильным многоугольником.

2. Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой.

3. Призма и антипризма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами и треугольники соответственно.

В свою очередь правильногранный многогранник разделяется на следующие подтипы: платоновы тела, архимедовы тела и тела Джонсона. Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией. «Платоновыми» тела называются благодаря философским трудам Платона, в которых он активно использовал их в качестве аналогов четырех стихий и т.п. Количество таких тел равно ровно пяти: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Второй подтип правильногранных многогранников — это архимедово тело (архимедов многогранник) — высоко симметричный полуправильный выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников. Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Архимед доказал, что многогранников такого типа существует лишь 13.

Третий подтип называется телом Джонсона или многогранником Джонсона, если он не является ни платоновым телом (правильным многогранником), ни архимедовым, ни призмой, ни антипризмой, например пирамида с квадратным основанием и боковыми гранями из правильных треугольников.

В типе звёздчатый многогранник также можно выделить подтип — тела Кеплера-Пуансо — тела, представляющие собой правильные звёздчатые многогранники, не являющиеся соединением платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.

Объединение описанных выше множеств платоновых и архимедовых тел вкупе с бесконечными семействами призм и скошенных призм образует множество тел, называмых выпуклыми однородными многогранниками. Выпуклость многоугольика означает, что ни один его внутренний угол не превосходит 180°. Аналогично выпуклость многогранника сводится к тому, что ни один из его внутренних двугранных углов (образованных соседними гранями) не превосходит 180°. Свойство, по смыслу противоположное выпуклости, иногда называют вогнутостью. Многогранники с полостями, впадинами или выступающими пиками будут невыпуклыми, то есть вогнутыми. Слово однородные в применении к рассмотренным выше многогранникам означает, что все их грани – правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

В данной работе мы уделим большее внимание сложным многогранникам: звёздчатым, усечённым, квазиправильным, «курносым» телам.

Усечённое тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел. Другую группу составляют тела, именуемые квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчёркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причём каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Существуют так называемые «курносые» модификации для куба и для додекаэдра и их звёздчатые формы. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). Если у каждой вершины грани встречаются тройками в чередующемся порядке, такой многогранник  называется битригональным.

Итак, мы рассмотрели общие свойства, которыми обладают и те фигуры, модели которых будут сделаны.

Практическая часть: создание моделей некоторых сложных многогранников.

Среди огромного многообразия сложных многогранников я выбрал 4, модели которых буду изготавливать: большой додекаэдр, вторая звездчатая форма икосаэдра, большой битригональный икосододекаэдр, квазиромбокубооктаэдр (первые два относятся к звездчатым многогранникам, а другие два к невыпуклым однородным многогранникам)

Для работы использовались такие материалы и инструменты: листы А0 (ватман), клей, канцелярский нож, линейка, карандаш, транспортир.

Рассмотрим подробнее процесс изготовления моделей каждого многогранника:

Большой додекаэдр

Этот многогранник составлен из 12 попарно параллельных пересекающихся пятиугольных граней. Для этой модели нужны заготовки в виде треугольников с углами 36о, 36о, 108о (см. Примечание рис. 1). Эти заготовки склеить в треугольные пирамиды (вершиной вниз) и из 20 пирамид составить многогранник.

Вторая звездчатая форма икосаэдра

На этой модели заметны пятиугольные пики, выступающие из впадин модели соединения десяти тетраэдров (см. Примечание рис. 2). В примечании показаны одна грань пятиугольного пика (два малых треугольника внизу, отогнутые и склеенные вместе, образуют небольшой желобок), и заготовка, служащая связующим звеном между разными пиками (см. Примечание рис.3 и рис. 4).

Большой битригональный икосододекаэдр

Построение модели начинается с изготовления пятиугольной чаши (см. Примечание рис. 5), по форме совпадающей с пятиугольной пирамидой. Затем нужно сделать 5 треугольных выемок (см. Примечание рис. 6), их следует подклеить к краям пятиугольной чаши. Между лучами получившейся звезды необходимо вклеить пары равносторонних треугольника (см. Примечание рис. 7). Изготовив все звезды, следует связать их парами равносторонних треугольников.

Квазиромбокубооктаэдр

Для начала потребуется шесть копий части I (см. Примечание рис. 8), которая заполняет центр октаграммы. Пунктирные линии указывают, что в этом месте заготовки надо перегнуть ребром вниз, а не вверх как обычно. Часть II (см. Примечание рис. 9) – заготовка для лучей звезд. Их понадобиться 24. Кроме того необходимо изготовить 8 угловых впадин (часть III) (см. Примечание рис. 10) и 12 пар равносторонних треугольников (часть IV) (см. Примечание рис. 7). Сначала соединяются части I и II, а потом полученные секции связываются частями III и IV.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели свойства многогранников и создали наглядные модели различных сложных геометрических тел, в частности, звездчатых и невыпуклых однородных многогранников. Поставленные цели были достигнуты. Возможно создание большего количества многогранников, но я выбрал самые интересные и красивые, на мой взгляд, фигуры. Сделанные мной модели будут использованы на практике, а именно применяться учителями на уроках геометрии в старших классах в качестве наглядных  пособий для изучения сложных многогранников и их свойств.

Список используемой литературы:

1. Альсина К. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники/ Мир математики в 40 т. Т. 23 – М.: Де Агостини, 2014.

2. Веннинджер М. Модели многогранников - 1974г. https://www.mathedu.ru/

3. Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников http://jorigami.ru/Ori_book_shelfs/Joribook_1810_rus.htm

Примечание

                        Рис. 1                                                              Рис. 2

                        Рис. 3                                                        Рис. 4

                                   Рис. 5                                                        Рис. 6

                          Часть IV                                         Часть I

                            Рис. 7                                              Рис. 8

                          Часть II

                            Рис. 9

                                                                                            Часть III

                                                                                              Рис. 10