Проектная работа "Теорема Вариньона и ее применение к решению задач"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 средняя общеобразовательная школа №2

Карасукского района Новосибирской области

Теорема Вариньона и ее применение к решению задач

Выполнил: Морковский Максим

обучающийся 8 «в» класса

Научный руководитель:

Кравченко Анна Михайловна

учитель математики

г. Карасук, 2020

Содержание

Введение  ……………………………………………………………………… .... 3

1. Основные теоретические сведения ………………………………………..   5

1.1. Краткая историческая справка..…………………………………………….   5

1.2. Теорема Вариньона…………………………………………………………..  6

1.3. Следствия из теоремы Вариньона…………………………………………..   7

2. Практическое применение теоремы Вариньона и следствий из нее к решению планиметрических задач ..…………………..……………………...  13                                                                                                         2.1.Задачи из школьного курса геометрии..………………………………………13

2.2. Нестандартные задачи………………………………………………………... 14

Заключение…………………………………………………………………....... ...19

Список литературы …..............……….....…. .......................................................20

Введение

    Изменения, происходящие в обществе, требуют от современного человека умение быстро адаптироваться к новым условиям, самостоятельно находить оптимальные решения сложных вопросов, проявлять гибкость и творчество, не теряться в нестандартных ситуациях. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. Тема «Четырехугольники» является традиционным разделом и достаточно важным, так встречаются задачи на доказательство, требующие значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. Четырехугольники – это те, многоугольники, которые встречаются в реальной жизни. Поэтому изучение дополнительных теорем по этой теме всегда актуально. В работе рассказывается о Пьере Вариньоне, его достижениях; рассмотрено доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников, продемонстрировано применение теоремы. Параллелограмм Вариньона — используется в решении  задач различной сложности.

Более подробному изучению этой теоремы, я и решил посвятить свою проектную работу. Я захотел убедиться в том, что «Параллелограмм Вариньона» — необходимый инструмент в решении геометрических задач различной сложности.

Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

Гипотеза: параллелограмм  Вариньона – поможет в решении

планиметрических задач.

Цель: изучить теорему Вариньона, исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее и научиться применять ее на практике.

Задачи: 

1. изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее;                  
2. сравнить решения одной и той же задачи с помощью традиционного подхода и теоремы Вариньона;
3. выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в нестандартных задачах. 

Методы исследования: изучение литературы, сбор информации о параллелограмме Вариньона, осмысление собранной информации.

1. Основные теоретические сведения

1.1. Краткая историческая справка.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону.

Вариньон Пьер  (1654–1722)

Член Парижской Академии наук. Профессор математики коллежа Мазарини (с 1688), профессор Коллеж де Франс (с 1704). Его труды посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». В 1687 в работе «Проект новой механики...» Пьер Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вариньона. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1.2. Теорема Вариньона.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC, KL является средней линией треугольника, то  KL // AC . Аналогично из треугольника ADC,  MN // AC . Следовательно, KL // NM  и  KL= MN= AC/2  KLMN  - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника  ABCD.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,  т.е. и . Поэтому сумма площадей этих треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. Аналогично происходит и относительно суммы площадей треугольников AKN и CLM. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD.

Теорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

Следствие 1.

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны;

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Т. к. AC=BD (по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (по свойству средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Если стороны параллелограмма равны, то это ромб.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Бимедианы четырехугольника ABCD – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны.

б) бимедианы равны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Т. к. AC  BD , то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

 Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3. 

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны;  

б) бимедианы равны и перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

2. Практическое применение теоремы Вариньона и следствий из нее к решению планиметрических задач

2.1.Задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

Задача 1.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD – четырехугольник

AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND

Доказать: KLMN – параллелограмм

Доказательство:

1 способ

Проведем АС и рассмотрим    треугольник      АВС.

KL – средняя линия,  KL // AC, KL= AC/2.

Аналогично из треугольника ADC, NM // AC, NM = AC/2.

KL // AC, NM //AC,  KL //NM.

KL= AC/ 2, NM = AC/2,  KL=NM.

KLMN – параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

2 способ

KLMN – параллелограмм Вариньона (по определению)

Что и требовалось доказать.

Задача 2.

Докажите, что:

а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба [см. следствие 1.3.а];

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба [см. следствие 1.3.б].

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника [см. следствие 1.2.а];

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника [см. следствие 1.2.б].

Что и требовалось доказать.

Задача 3.

Доказать, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей четырехугольника ABCD.

Доказательство:

Так как KL = MN = 1/2 AC

LM = KN = 1/2 BD (как средние линии треугольников ABC и BCD),

то: PKLMN = 2*(KL + LM) = 2*(1/2AC + 1/2BD)  = AC + BD.

PKLMN = AC + BD.

Задача 4.

Диагональ квадрата равна 7см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон квадрата

Решение: Полученный четырехугольник является квадратом. Периметр по следствиям из теоремы Вариньона равен a+b, где a и b являются диагоналями исходного четырехугольника у квадрата диагонали равны, значит периметр равен 14см.

2.2. Нестандартные задачи.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты мной с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 1.

Вершины четырехугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом . Определите вид четырехугольника и найдите его площадь.        

                                       B                  

                      K                              L

      A                                                            C  

                N                                M

         D

Решение.

1) ABCD – ромб   KLMN – прямоугольник [по следствию 1.2.а]

2)∙  

3) ∙

Ответ: прямоугольник с площадью .                                                                          

Задача 2.

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.

Решение.

;

 AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то 

 Выходит

что и требовалось доказать.

Задача 3.

Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что

а)  , где   – угол между бимедианами четырехугольника;

б)  ,где  – угол между диагональю AC и бимедианой LN.

Решение.

а)  ABCD - параллелограмм Вариньона, а KM и NL – бимедианы, то, где  O – точка пересечения бимедиан

(следствие 2),   (теорема Вариньона)

Задача 4. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий. 

Доказательство:

Диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

Задача 5. Пусть L и N – середины противоположных сторон  BC  и  AD четырехугольника  ABCD . Доказать, что площадь четырехугольника  LPNQ  равна  сумме площадей треугольников ABP и CQD.

Решение.
Покажем, что  .

В треугольнике ACD медиана CN делит его на два треугольника равной площади, а в треугольнике ABC медиана AL делит его на два равновеликих треугольника. , то . Поэтому устанавливается нужное равенство и для четырехугольника ^ NBLD . 
Теперь утверждение задачи следует из того, что четырехугольники ALCN и NBLD покрывают внутри четырехугольника  ABCD два раза четырехугольник  LPNQ  и не покрывают треугольники ABP и CQD, а их сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Площадь четырехугольника, с другой стороны, равна сумме площадей шести треугольников (в том числе и треугольников ABP и CQD) и интересующего нас четырехугольника LPNQ.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Предмет математики настолько серьезен,

                       что нужно не упускать случая,

сделать его немного занимательным».

Блез Паскаль

В школьном курсе геометрии рассматривается достаточное количество теории и  решается множество задач по четырехугольникам. Возможно,  этого объема теоретического материала вполне достаточно для решения школьных задач и без знания теоремы Вариньона, но, используя эту теорему, решение может быть более компактным. Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике. Мною был изучен теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности. Зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Список  литературы

1. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/ Вариньон,_Пьер 
2. Адмар Ж. Элементарная геометрия, М., Учпедгиз, 1948.
3. Кокстер Г., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией. М., 1978.
4. Геометрия. Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений
5. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение,2012.
6. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. Погорелов А. В - М.: Просвещение.2012
7. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г.Владимирова- М.: Просвещение.2011
8. Геометрия. Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений В.Н.Руденко, Г.А. Бахурин - М.: Просвещение.2001
9. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
10.  Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.
11.  Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006.
12.  Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.: наука.