Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа п.Новопушкинское»

Энгельсского муниципального района

Саратовской области

Учебно-исследовательский проект

«Тайна последней цифры степени»

Выполнила:

 Чавкина Полина

ученица 7 а класса

Руководитель:

учитель математики

Трунина Татьяна Николаевна

89379616395

tanya-trunina2016@yandex.ru

2023

Содержание

Введение        3

Что такое степень?        4

Закономерности возведения в степени………………………………………….……….….….5

Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4…………………………………………………………………………………..7

Задачи………………………………………………………………………………………….…8

Заключение………………………………………………………………………………………9

Список используемой литературы………………………………………….............................10

Введение

Михаил Васильевич Ломоносов когда-то сказал: «Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь».

С четырьмя математическими операциями мы знакомы с начальной школы (сложение, вычитание, умножение, деление), в 7 классе познакомились с еще одним действием: возведение в степень и изучили его свойства. Мне стало интересно,  какой цифрой заканчивается натуральное число в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Цель: Изучить литературу по выбранной теме и выяснить последние возможные цифры степени.

Задачи:

1. Изучить литературу по выбранной теме.
2.  Найти закономерности и научится вычислять последние цифры степеней.
3. Составить опорную таблицу «Последние цифры степени».
4. Сделать вывод о том, как вычислить последнюю цифру больших степеней чисел.        

Актуальность темы: Я выбрала эту тему потому что,  стало интересно, что такое степень числа и какой цифрой оканчивается степень числа, если степень представлена многозначным числом. Я думаю, что на сегодняшний день это тема достаточно актуальна и я попробую её изучить.

Что такое степень?

Степень числа - это действительное число, которое показывает сколько раз число надо умножить число на себя. Я решила выяснить, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа с изменением его показателя.

Я решила найти более удобный и универсальный способ нахождения последней цифры степени. Заполнила  таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

После заполнения  пятой и шестой строки, я удивилась. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа. Я сделала предварительный вывод о том, что последние цифры в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После заполнения и первоначального анализа таблицы я пришла к выводу, что:

1. квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
2. куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
3. четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
4. пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
5. если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
6. нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.

Последние цифры степени.

Итак, последние цифры степеней… Рассмотрим  последовательность степеней двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...
И выпишем только последние цифры: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4,... Будет ли эта закономерность сохраняться до бесконечности? Да, сохранится, так как каждый следующий член этой последовательности полностью определяется по  предыдущему. Более того, для получения последних цифр степеней не обязательно сами степени вычислять полностью - достаточно после каждого умножения оставлять только последнюю цифру:  3•3 = 9, 9•3 = 27, 7•3 = 21, 1•3 = 3. Снова период длины четыре: 3, 9, 7, 1. Для четвёрки зацикливание наступит уже на третьем шаге: 4•4 = 16, 6•4 = 4. Так как 5•5 = 25, а 6•6 = 36, то, как и для нуля и единицы, последняя цифра 0 и 1, то и для чисел оканчивающихся на 5 или 6, при возведении в степень последняя цифра меняться не будет. Для цифр 7, 8 и 9 получаем периоды: для 7-  7, 9, 3, 1. Для 8:- 8, 4, 2, 6, для 9 - 9, 1.

Что интересного можно из этого почерпнуть?
Во-первых, при возведении в пятую степень последняя цифра не меняется.
А во-вторых, квадрат числа не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8. Этот факт можно использовать при решении задач на олимпиадах по математике.
Для четвёртой степени список допустимых последних цифр ещё меньше: она может оканчиваться только на 0, 1, 5.

Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

Рассмотрим следующую задачу:

Найти последнюю цифру степеней :
, ,

Так как последние цифры степеней повторяются с периодичностью, равной 4. Найдем остаток от деления показателей степени (20, 8, 36, 24, 12) на 4 , получим остаток равный 0, это четвертая строка таблицы, описанной выше.

Итак, я заметила, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований (в нашем примере - 3, 19), кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных (96 и 4), искомая цифра равна 6.

Далее я начала подбирать такие степени, когда при делении показателя степени на 4 получаются остатки 1, 2, 3.

Например, ., , , .

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет равна последней цифре основания степени.

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания.

Если остаток равен 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания.

Я рассмотрела несколько задач:

Задача 1.Найдите 2 последние цифры числа 81989.

Решение:  В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, из показателя степени отнимаем 19800, именно столько раз, период пройдет полностью и остановиться на 1989 – 1980 = 9, а на девятом числе, а 9-ое число это 28.
             Ответ: последние 2 цифры числа 81989 – 28.     

Задача 2. На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?
             Решение: Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий.
              Ответ: перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым.

Задача 3.  Делится ли сумма данных чисел на 10?

Решение: Для начала найдём последние цифры чисел

11:4=3 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  - 1.

12:4=3 (остаток 0).

Следовательно, последняя цифра числа  - 6.

13:4=3 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра  числа  - 3.

Получаем, 1+6+3=10.  

Ответ: последняя цифра числа 0, значит, сумма данных чисел делится на 10.

Задача 4. Является ли результат сложения чётным числом ?

Решение: 358:4=89 (остаток 2).

Следовательно, последняя цифра числа  - 9.

275:4=68 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  - 7.

Получаем, 9+7=16. Итак, последняя цифра числа 6.

Вывод: число чётное.

Задача 5.

Найдите последнюю цифру суммы 19811989 + 19821989 + 19831989 + 19841989 +19851989 +…+ 19891989 .

Решение: 1989:4=499 (остаток 3).

Тогда  оканчивается цифрой 1,  - 8,  - 7,   - 4,

 - 5,  - 6,  - 3,  - 2,  - 9.

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 19811989 + 19821989 + 19831989 + 19841989 +19851989 +…+ 19891989  оканчивается цифрой 5.

Вывод: последняя цифра 5.

Заключение

Определить последнюю цифру степени числа не сложно, я легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.

Я провела большую исследовательскую  работу: составила таблицу для последней и двух последних цифр степеней и получила интересные с моей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил мне ещё раз убедиться в своих возможностях. В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач.

Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы - М.: Просвещение, 2008.- 224 с.: ил.

5. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. - 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.