Пчёлы и математика

Слайд 1

Слайд 2

Цели и задачи Цель – нахождение и исследование математических обоснований выбора формы пчелиных сот.

Слайд 3

Цели и задачи Задачи: изучить литературу по описанию пчелиных сот; изучить правильные многоугольники; познакомиться с геометрическими принципами построения пчелиных сот; выявить закономерности построения пчелиной соты и ячейки; провести математический анализ строения пчелиной ячейки; проанализировать экономическую выгоду построения соты; рассмотреть использование геометрических закономерностей построения пчелиных сот в различных областях; сделать выводы о значении математических способностей пчел.

Слайд 4

Объект исследования: пчелиные соты. Предмет исследования: геометрические принципы построения пчелиных сот. Гипотеза: если идеальной геометри-ческой фигурой для построения пчелиных сот является шестиугольник, то пчелы имеют математические способности. Методы исследования: наблюдение, моделирование, классификация, сравнительный анализ.

Слайд 5

Исследование №1 Паркет Площадь правильного шестиугольника «ближе» к площади круга Цель : нахождение математического принципа заполнения плоскости правильными шестиугольниками.

Слайд 6

Исследование №1 № 1 № 2 № 3 № 4 паркеты из правильных многоугольников Вывод: из правильных многоугольников можно сложить паркет, т.е. нет просветов, когда сумма углов многоугольников в общей вершине равна 360 0

Слайд 7

Паркет Основа паркета Величина угла правильного многоугольника Количество правильных многоугольников с общей вершиной Сумма углов при общей вершине Вывод № 1 правильный треугольник 60 0 6 6х60 0 = 360 0 Паркет сложить можно № 2 квадрат 90 0 4 4х90 0 = 360 0 Паркет сложить можно № 3 правильный пятиугольник 108 0 3 3х108 0 = 324 0 Паркет сложить нельзя № 4 правильный шестиугольник 120 0 3 3х120 0 = 360 0 Паркет сложить можно Исследование №1 , где n – число сторон многоугольника, k – число углов, сходящихся в одной вершине. Вывод: мы выяснили, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники. 360 0

Слайд 8

Исследование №2 Цель: нахождение зависимости длин сторон правильных треугольника, квадрата, правильного шестиугольника одинаковой площади.

Слайд 9

Исследование №2 Длина стороны квадрата 8 см Длина стороны правильного треугольника 12,2 см Длина стороны правильного шестиугольника 5 см Длина стороны k=a n :а 4 квадрата 8 см правильного треугольника 12,2 см k= 12,2:8 k= 1,52 правильного шестиугольника 5 см k= 5: 8 k= 0,63 Вывод : если квадрат, правильный треугольник и правильный шестиугольник имеют одинаковую площадь, то длины сторон вычисляются по формулам: a 3 =1,52*а 4 , a 6 =0,63*а 4 .

Слайд 10

Исследование №3 № Заданное значение Результаты вычислений (приближенные, с точностью до десятых) А 4 см Р 4 см S 4 см 2 А 3 см Р 3 см S 3 * см 2 А 6 см Р 6 см S 6 * см 2 1. 4 16 16 6,1 18,3 16,1 2,5 14,9 16 2. 6 24 36 9,1 27,4 35,9 3,8 22,7 36,2 3. 8 32 64 12,2 36,6 64 5 30 64,2 4. 21 84 441 31,9 95,8 440,7 13,2 79,2 441,2 5. 100 400 10000 152 456 10000,4 63 378 9997,7 Цель: сравнение периметров квадрата, правильного треугольника, правильного шестиугольника одинаковой площади Вывод: из всех правильных многоугольников трёх видов именно шестиугольники имеют наименьший периметр.

Слайд 11

Исследование №3 № Р 3 см Р 4 см Р 6 см Р 3 : Р 4 : Р 6 1. 18,3 16 14,9 1 : 0,874 : 0,814 2. 27,4 24 22,7 1 : 0,876 : 0,828 3. 36,6 32 30 1 : 0,874 : 0,820 4. 95,8 84 79,2 1 : 0,877 : 0,827 5. 456 400 378 1 : 0,877 : 0,828 Соотношение периметров: Р 3 : Р 4 : Р 6 = 1 : 0,88 : 0,82 Вывод: По-видимому, именно это математическое соотно- шение лежит в основе выбора пчелами шестиугольной формы основания ячеек: при построении ячеек, тем самым пчела экономит воск.

Слайд 12

Исследование №4 V= S осн. * H S бок = Р осн. * H Цель: исследование практической значимости геометрической формы пчелиной ячейки.

Слайд 13

Исследование №4 № Заданное значение Результаты вычислений для квадратных ячеек (приближенные, с точностью до десятых) А 4 см Р 4 см S 4 см 2 V= S осн. H см 3 S бок = Р n H см 2 3. 8 32 64 640 320 № Заданное значение Результаты вычислений для шестиугольных ячеек (приближенные, с точностью до десятых) А 6 см Р 6 см S 6 см 2 V= S осн. H см 3 S бок = Р n H см 2 3. 5 30 64,2 642 300 № Заданное значение Результаты вычислений для треугольных ячеек (приближенные, с точностью до десятых) А 3 см Р 3 см S 3 см 2 V= S осн. H см 3 S бок = Р n H см 2 3. 12,2 36,6 64 640 366

Слайд 14

Выводы:

Слайд 15

Выводы: 1) Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку они заполняют пространство так, что не остаётся просветов. При условии одинаковой площади многоугольников наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Таким образом, только используя данную фигуру в построении сот, пчелы максимально сокращают расход воска. 2) Шестигранная форма соты – наиболее устойчивая форма в смысле распределения нагрузок, оптимальная природная форма. 3) Объёмы пчелиной ячейки и правильной шестиугольной призмы равны, поэтому «пчелиной ячейки» - наименьшая площадь поверхности, что выгодно с экономической точки зрения. 4) Принцип «пчелиных сот» широко используется в архитектуре, в строительстве, в создании новых дизайн – проектов, в производстве эко-материалов и нанотехнологиях.