Признаки делимости и их практическое променение

Комитет по образованию г.Улан-Удэ

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

 Научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»

Секция "Алгебра"

Тема: «Признаки делимости чисел и их

практическое применение»

                        Выполнила:

        ученица 6 «г» класса

                    МАОУ «СОШ №37»                Тугутурова Анастасия Владимировна

                                                Научный   руководитель:

Конева Галина Михайловна                                                                                                                                                                                                                                                              

учитель математики МАОУ «СОШ №37"

2023 г.

Содержание

I. Введение …………………………………………………………………….....

II. Делимость чисел ………………………...……………………………………

1. Понятие делимости чисел…………………………………………………

2. Свойства делимости……..…………………………………………………

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе  на 2, 3, 5, 9, 10………

4. Признаки    делимости   чисел,  не   изучаемые  в   школе

     (на 4, 11, 25, 6, 7, 12, 13, 15, 19)….............................……………………………

III.Применение признаков делимости при нахождении НОД и НОК

IV. Признаки делимости в задачах ЕГЭ ……………………………………….

V. Заключение……………………………………………………………………

VI. Список литературы

 Приложение. Таблица «Признаки делимости чисел»……………………..

I. Введение.

Жалок тот ученик, который

не превосходит своего учителя.

Леонардо да Винчи

        Математика - самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям. Слово математика греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление».

Вопросами делимости чисел люди интересовались очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики остается еще много неясного. Теория делимости возникла из-за практических потребностей людей, которые возникали при строительстве уже самых примитивных сооружений, где было необходимо рассчитать, сколько примерно материала пойдет на постройку и т. п. Либо при развитии торговли, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми. В современной жизни у нас также часто возникает необходимость узнать, делится ли одно число на другое без остатка. Не всегда под рукой имеются технические средства, чтобы это быстро рассчитать. Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости: в банковском деле, при денежных расчетах в магазине и т. п. Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить целочисленное деление чисел без необходимости выполнять фактическое деление.

Немного истории. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. Пифагорейцы (Пифагор Самосский 580-500г.г. до н. э.) делили их на классы. Выделялись классы:

1)совершенных чисел (число, равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3),

2)дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),

3)фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др. 6,10,15 – фигурные числа треугольные; 4,9,16 – квадратные.

Такое представление чисел облегчало пифагорейцам изучение свойств чисел.

Эратосфен Киренский (276-194 до н. э.) создал метод составления списка простых чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». При этом он использовал признаки делимости.

Решая задачи и выполняя действия на деления, не всегда удается число разделить нацело. Возникает  необходимость предсказать – делится число нацело или нет. Поэтому  в математике исследуются  условия делимости, выводятся определенные правила и признаки, по которым  можно определить делится ли натуральное число  на другое натуральное число или нет.

Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число  b,  можно  произвести  деление этих чисел. Но при решении некоторых  задач  это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно  знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет.

Изучая  в курсе математики признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10, у меня возник вопрос: «Нельзя ли, не прибегая к непосредственному делению числа, установить его делимость  на другое натуральное число?». Именно поэтому для творческой работы  мной выбрана тема «Признаки делимости чисел».

Актуальность  выбранной темы  заключается  в  том,  что  знание признаков  делимости чисел поможет учащимся более быстро выполнять  сокращения  дробей,  нахождения и вынесения общего множителя  за скобки, при упрощении выражений.

Гипотеза: Признаки делимости — не просто математическое занудство, а полезный лайфхак в решении задач.
Цель  исследовательской  работы:  осветить признаки делимости чисел  на 2,  3,  4,  5,  6,  9, 10,  11,  12,  13,  15,  25.        

Задачи исследования:

 - Рассмотреть основные свойства теории делимости натуральных чисел.

 - Рассмотреть признак Паскаля, как универсального метода получения признаков делимости.

-Подобрать задачи из олимпиад различных лет, решаемых с помощью признаков делимости натуральных чисел.

 -Рассмотреть практическое применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач олимпиадного характера.
-Изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел», расширить и углубить свои знания по этой теме.

-Овладеть в совершенстве признаками делимости чисел, изучаемых на уроках математики и вне школьной программы.

-Рассмотреть задачи на применение признаков делимости чисел в задачах ЕГЭ, подобрать серию задач, связанных  с  признаками делимости чисел

-Разработать мини-справочник «Признаки делимости чисел».

Объект исследования: признаки делимости чисел.

Предмет исследования: изучение правил и методов делимости чисел.

Задачи на делимость натуральных чисел интересны и красивы, не зря они привлекают ученых в течении многих уже столетий. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ...
В своей работе я постараюсь доказать, что признаки делимости — это важное и существенное понятие в математике, значительно облегчающее процесс расчетов, необходимый лайфхак для решения задач, в том числе и олимпиадных задач и задач в ЕГЭ по матеиатике.

II. Делимость чисел.

    Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

      Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 были известны  с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леонардо Фибоначчи (1170-1228).

Мы знаем, что в результате сложения, вычитания или умножения целых чисел всегда получается число целое. А вот деление натуральных чисел нацело не всегда возможно. Для того чтобы узнать, делится ли натуральное число а на натуральное число b нацело, надо предварительно выяснить некоторые общие свойства делимости чисел.

1. Понятие делимости чисел.

Разделить число а на число b – это значит найти такое число q, при умножении которого на b получается а, т.е. b∙q = а. Если для целых чисел а и b такое число q существует, то говорят, что а делится на b.

Целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число q, такое, что а = b∙q.

В том случае, когда а делится нацело на b, число а называется кратным числу b, а число b называется делителем числа а.

Например, число 45 делится нацело на число 9, так как существует натуральное число 5, такое, что выполняется равенство  9 ∙ 5 = 45. Число 73 не делится на 9, так как не  существует такое целое число q, при котором выполняется равенство 9 ∙ q = 73.

При определении делимости мы исключили случай, когда b = 0. В том случае, когда а = 0 и b = 0, любое число может выступать в роли частного, т.е.  частное   становится   неопределенным. Если а ≠ 0 и b = 0,  то равенство а = 0∙q не будет верным ни при каком значении q.

2. Свойства делимости.

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое нацело, можно просто разделить первое число на второе. Если при делении остатка не будет, значит, числа делятся нацело. Если же при делении получится остаток,  не равный нулю, значит, эти числа нацело не делятся. Можно ли, не производя самого деления, установить, делится ли одно число на другое нацело?

Можно, так как делимость одних чисел связана с делимостью других. Поэтому надо найти такие свойства делимости, при помощи которых было бы возможно, не производя деления, установить, является ли данное число кратным другому.

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли сумма этих чисел на 3?

180 + 210 = 10∙18 + 10 ∙21 = 10∙ (18 + 21) = 10∙39

39 делится на 3. А это значит, что сумма чисел 180 и 210 делится на 3.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число. 

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли разность этих чисел на 3?

210 - 180 = 10∙21 - 10 ∙18 = 10∙ (21 -18) = 10∙3

Значит, разность 210 и 180 делится на 3.

Делимость произведения.

Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и всё произведение делится на это число.

Например, известно, что число 147 делится на 49. А 49 делится на 7. Делится ли 147 на 7?

147 = 49∙3 = (7∙7) ∙3 = 7∙(7∙3) = 7 ∙ 21

Полученное равенство показывает, что число 147 делится на 7.

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе.

Рассмотрим сначала признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10.

Признак делимости на 2: если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

     Например,  число  2472  делится на 2, т.к. 2472 = 1000∙2 + 100∙4 + 10∙7 + 2. Все четыре слагаемых делятся на 2. Значит, число 2472 делится на 2.

Число 2477  не делится на 2, т.к. 2477 = 1000∙2 + 100∙4 + 10∙7 +7. Первые три слагаемых делятся на 2, а четвёртое слагаемое не делится на 2. Значит, число 2477 не делится на 2.

Числа, делящиеся на 2, называют чётными. Числа, не делящиеся на 2, называют нечётными.

Признак  делимости  на  3:  если  сумма цифр числа  делится  на 3, то  и  само  число  делится  на  3.

Признак  делимости  на  5: если  число  оканчивается  одной из цифр  0  или  5, то  оно  делится  на  5.

Признак  делимости  на  9:  если  сумма  цифр  числа  делится  на  9, то  и  само  число  делится  на  9.

Признак  делимости на 10:  если  число  оканчивается  цифрой   0,  то оно делится на 10.

4. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школе.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой  число, делящееся на 4.

Признак делимости на 11: число делится на 11 тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Признак делимости на 25: число делится на 25 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой  число, делящееся на 25.

Сформулируем ещё несколько признаков делимости чисел.

Признак делимости на 6: для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 12: для того чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 3.

Признак делимости на 15: для того чтобы число делилось на 15, необходимо  и  достаточно,  чтобы  оно  делилось  на  5  и   на  3, т.е. чтобы оно  оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 13: число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.        

 III.Применение признаков делимости при нахождении НОД и НОК

Пример 1. В 9 классах за пробную работу по ГИА 1/5 учеников получили пятёрки, 1/4 – четверки, 1/3 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?        

Решение:

 Решением задачи должно являться число, кратное числам: 5, 4, 3. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (5, 4, 3) = 60. Можно составить выражение по условию задачи: 60 – (60 : 5 + 60 : 4 + 60 : 3) = 13 – 13 неудовлетворительных работ.

Математические  отношения задачи допускают, что число учеников в классе 120, 180 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 60.

 Ответ: 13 работ.

Пример 2. 

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

 Решение: 

В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

 Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

IV. Признаки делимости в задачах ЕГЭ по математике базового уровня.

В задании №19  КИМ  базового ЕГЭ по математике ученик   должен знать признаки делимости чисел на простые и составные числа и уметь применять их для решения различных задач.

Рассмотрим примеры.

 Пример 1. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответ запишите одно из таких чисел.

Решение:   181512  ( число одновременно должно делиться на 3 и на 4)  признак делимости на 3 (1+8+1+5+1+2=18, 18:3=6) , признак делимости на 4 : последние две цифры должны делиться на 4 ( 12:4=3 ) Итак, возможные ответы: 811512 или 181512. Выбираем один из них, например 181512.

Ответ: 181512

Пример 2.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ:   Наибольшее – 987652413,  наименьшее – 102347586.

(9+7+5+4+3)-(8+6+2+1)=28-17=11:11

Пример 3. Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:
1. Если произведение  >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из
множителей не может быть равным 0.

2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.
3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном
случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей.
4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5.
Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее5.
5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5
(последняя, 4-я цифра) была кратной 3.
Решение:
Поскольку по условию произведение всех цифр кратно 15, то оно кратно 5 и 3.
Кратность 5 означает, что последней цифрой числа может быть только 0 или 5. Но 0 в виде последней цифры означал бы, что произведение всех 4-х цифр стало бы равным 0; а это противоречит условию. Тогда последняя цифра искомого числа равна 5.
Тогда получим: x·y·z·5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры
искомого числа.
Меньше 5 произведение таких цифр: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.
Согласно признаку делимости на 3, выбираем из этих наборов такой, чтобы сумма его цифр плюс 5 делилась на 3:
1+1+1+5=8 – не подходит;
1+1+3+5=10 – не подходит;

1+2+2+5=10 – не подходит
1+1+2+5=9 – подходит.
Тогда условию задачи соответствуют числа: 1125, 1215, 2115.
Ответ: 1125, 1215, 2115

V.  Заключение.

Увидев очень высокого человека, мы можем предположить, что он баскетболист. Глядя на очень большой камень, мы поймем, что нам не удастся его поднять, он слишком тяжелый. Глядя на число 252, мы понимаем, что оно делится на 2. Во всех этих примерах мы не проверяли, а делали вывод на основе внешних признаков. Причем в первых двух случаях мы могли ошибиться, но про число 252 мы знаем точно. Последняя цифра делится на 2, значит, и все число делится. А все потому, что мы применили признак делимости на 2. Поэтому значимость признаков делимости натуральных чисел бесспорна. Ведь именно с помощью признаков делимости можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка, не производя фактического деления. И я уверенно заключаю, что «Признаки делимости натуральных чисел» просто необходимые математические лайфхаки!!!
В данной работе мной рассмотрено понятие делимости чисел, некоторых его свойств, признаков делимости и задачи, решение которых связано с ними.

При написании данной творческой работы я изучила большое количество  дополнительной научной литературы по теме «Признаки делимости»,  расширила и углубила свои знания по данному вопросу, овладела простейшими и более сложными признаками делимости чисел.

Рассмотрев различные признаки делимости чисел, я убедилась, что знание этих признаков существенно поможет при вынесении общего множителя за скобки, упрощении выражений, сокращении дробей, а так же значительно сэкономит время в получении  ответа  на вопрос, об определении делимости   числа, не прибегая  к  самому действию деления. Работа имеет практическое применение. Данная работа будет полезна для учащихся при самостоятельной подготовке к экзаменам по математике и для учеников, целью которых стали высокие места на олимпиадах.

VI. Список литературы

1. Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
3. Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.
4. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
5. Интернет
6. Мерзляк А.Г. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: «Вентана-Граф», 2018
7. Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- 4-е изд., испр.- М.: Наука,  2008.

Приложение.

 Таблица «Признаки делимости натуральных чисел» (с примерами)

Признаки делимости на 2

• На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной - 0, 2, 4, 6, 8.
• Например: 24, 48, 94, 172, 1670, 67838.

Признаки делимости на 3

• На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
• Например: 16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21; 21 : 3 = 7 — делится на 3

Признаки делимости на 4

• На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
• Например: 1024 делится на 4, так как 24 делится на 4

Признаки делимости на 5

• На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
• Например: 125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5

Признаки делимости на 6

• На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).
• Например: 126 делится 6, так как 126 - четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3

Признаки делимости на 7

• На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
•  Например: 17948 делится на 7, 1794 - (2 · 8) = 1778 большое число, 177 - (8 · 2) = 161 повторяем снова, 16 - (1 · 2) = 14

Признаки делимости на 8

• Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.
• Например: 1568 делится на 8 — 568 кратно 8

Признаки делимости на 9

• На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
• Например: 1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9

Признаки делимости на 10

• На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.
• Например: 1570 — делится на 10, последняя цифра 0

Признаки делимости на 11

• На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места
• Например: 105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14 равна 0 + 7 + 7 = 14;

Признаки делимости на 12

• Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.
• Например: 168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12

Признаки делимости на 13

• Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.
• Например: 221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13

Признаки делимости на 14

• Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признаки делимости на 15

• Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признаки делимости на 16

• Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16
• Например: 24576 делится 16, так как 4576:16 = 286

Признаки делимости на 17

• Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17.
• Например: 272 делится на 17, 27 - 2 · 5 = 17 кратно 17

Признаки делимости на 18

• На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.
• Например: 5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18

Признаки делимости на 19

• Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19
• Например: 646 — 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19

Признаки делимости на 24

• Число, делится на 24, если сумма всех цифр данного числа делится на 3 и последние три цифры данного числа делится на 8.
• Например: 1512 делится на 24 — сумма 1 + 5 + 1 + 2 = 9 кратна 3 и 512 : 8 = 64

Признаки делимости на 25

• На 25 делятся числа, если две последние цифры делятся на 25.
• Например: 650 — 50 : 25 = 2; 1475 — 75: 25 = 3

Признаки делимости на 36

• Число делится на 36, если 2-е последние цифры делятся на 4 и сумма цифр кратна 9.
• Например: 1620 — 20 : 4 = 5 и сумма 1 + 6 + 2 + 0 = 9 кратно 9; 4860 — 60 : 4 = 15 и 4 + 8 + 6 + 0 = 18 кратно 9