Площадь многоугольника

Слайд 1

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя школа №3 имени О.А. Морозова» г. Ефремов, Тульская область, ул. Тульское шоссе, д.14, тел.: 5-99-22 Адрес электронной почты: school3.efremov@tularegion.org Творческий проект по математике Номинация : «Полное исследование одного из математических понятий, явлений, закона» Тема проекта : « Площадь многоугольника» Выполнила: Антонова Карина Юрьевна, 9 класс телефон: 89534334716 Руководитель: Зимина Наталья Михайловна

Слайд 2

Актуальность исследования состоит в том, что в жизни часто приходится вычислять площади геометрических фигур. Например, приходится определять площадь поля, огорода, спортивной площадки или определять площадь пола в здании, площадь стен или окон в комнате. Каждый из этих объектов является многоугольником. Проблема: как вычислить площадь многоугольника Цель исследования : изучить формулы для нахождения площади многоугольников и показать их применение при решении задач Методы исследования : изучение и анализ литературы и других источников информации по теме исследования, опытная практическая работа по решению задач, сравнение, отбор и обобщение материала. Анализ, классификация, сравнение , обобщение, отбор материала; практическая работа по решению задач

Слайд 3

Изучить формулы для нахождения площади треугольников и четырехугольников; Углубить и расширить знания по теме исследования, изучить формулу Пика для нахождения площади многоугольника; Изучить свойства площадей, показать их использование при решении задач; Подобрать и решить задачи из открытого банка ОГЭ по математике на нахождение площади многоугольников; Обобщение и систематизация информации по теме «Площади многоугольников»; Изучить возможности программы Paint и использовать ее возможности для выполнения чертежей при оформлении решения задач. Задачи

Слайд 4

1. Равные многоугольники имеют равные площади 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны Площадь -это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Площадь многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике Свойства площади S1 S2 S3 S=a 2 a S= S1 + S2 + S3 Многоугольники, имеющие равные площади называются равновеликими.

Слайд 5

Прямоугольник Это параллелограмм, у которого все углы прямые a b Где стороны прямоугольника, диагональ. d Задача 1: В прямоугольнике ABCD диагонали равны 8, угол между ними равен 150°. Найдите площадь этого прямоугольника Дано: прямоугольник ABCD ∠АОВ = 150° d=8 Найти: S-? 1) 2)

Слайд 6

Параллелограмм Где a - сторона, к которой проведена высота h . это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны h1 b Задача 2: Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, один из углов равен 30 °. Найдите площадь параллелограмма 1) h= 6 , так как высота это катет, лежащий напротив угла в 30° 2) S= 6·5=30 Ответ: 30 30 ° 5 12

Слайд 7

Решение. S=ah S=4∙(3+7)=40 Ответ: 40 Задача 3. Найдите площадь фигуры Задача 4: Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. h 1 = 32:8 = 4 ; h 2 = 32 : 16 = 2 Ответ:4 h1 h2 Задача 5. Площадь параллелограмма ABCD равна 76. Точка E – середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC. 76:2 = 38 (площадь ЕВСК) 38:2 = 19 (площадь треугольника ЕВС) 76 – 19 = 57 (площадь трапеции ДАЕС) Ответ: 57 К

Слайд 8

Треугольник Это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой . A B C a b c h Задача 6: Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 152 Задача7 : Периметр треугольника равен 54, одна сторона 18 см, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника Ответ: 81 r Р – периметр, r – радиус вписанной окружности

Слайд 9

Задача 8: На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD . 1 способ . Воспользуемся следствием 2 из теоремы о площади треугольника 1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. 2. Если высоты двух треугольников равны, то и площади относятся как основания. Треугольники АВС и ВСД имеют общую высоту, значит, их площади относятся как основания.

Слайд 10

Задача 8: На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD . Дано: ABC AD = 3, DC = 7. S=20 Решение. ( 2 способ ) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту ABC: BCD имеет такую же высоту, что и ABC , следовательно, Ответ:14 Найти: S-?

Слайд 11

Прямоугольный треугольник треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами. Где S - это площадь; a - это один катет ; b - другой катет. a b Задача 9: Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите площадь треугольника Дано: Прямоугольный Треугольник ABC BC=12 0; AB= 35 Найти: S- ? Решение: 1) 2) 35*120 /2 = 21 00- площадь прямоугольного треугольника

Слайд 12

Задача 10 : Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. найдите высоту проведенную к гипотенузе Решение: Ответ: 33, 6

Слайд 13

Ромб a h это параллелограмм, у которого все стороны равны Где, a- сторона; h- высота; d 1, d2- диагонали d1 Задача 11. Сторона ромба равна 4, а высота равна 5. Найдите площадь этого ромба. Решение: 1) S=ah 2) 4*5= 20- площадь ромба Ответ: 20 Задача 12. Диагонали ромба равны 8 и 10. Найдите площадь ромба Решение 1) 2)

Слайд 14

Трапеция h a выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны b Где a, b- это основания; h- высота. Задача 13. Найти площадь трапеции S= (3+6)·3 /2=13 ,5

Слайд 15

Для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге мы можем применить формулу Пика S = В + Г / 2 − 1 , где S — площадь многоугольника с целочисленными вершинами, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. Формула Пика Задача 14. Найти площадь фигуры. Решение. Для многоугольника на рисунке В= 12 ( зеленые точки) , Г= 6 ( красные точки) , поэтому S = 12+6/2-1=14 квадратных единиц. Георг Александр Пик (1859–1942) Площадь произвольного четырехугольника может быть вычислена по формуле

Слайд 16

Задача 15. Найти площадь фигуры. Решение. 1 способ . Применим формулу Пика Для многоугольника на рисунке В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 - 1 = 10 квадратных единиц. A B C D Найдем площадь прямоугольника ABCD S=20 2) Найдем сумму площадей треугольников 1,2,3 4+1,5+4,5=10 3) S многоугольника=20-10=10 2 способ .

Слайд 17

Заключение В данной работе приведены все формулы для нахождения площади многоугольников, изучаемые в курсе геометрии основной школы. На применение каждой формулы приводится задача из открытого банка ОГЭ по математике, всего рассмотрено решение 15 задач, некоторые решены двумя способами, все решения проиллюстрированы чертежами. Цель исследовательской работы достигнута, все поставленные мною задачи выполнены. Данная работа может быть использована как при изучении темы «Площади» так и при организации уроков повторения в 9 классе .

Слайд 18

Источники Геометрия. 7-9 классы : учебник для общеобразовательных организаций / Л.С. Атанасян . – М. : Просвещение, 2019 ОГЭ-2023. Математика. типовые экзаменационные варианты.36 вариантов. Ященко И. В. - издательство Национальное образование, 2022 https://ru.wikipedia.org/wiki / https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge Образовательный портал для подготовки к экзаменам https://oge.sdamgia.ru/