Исследовательская работа

Муниципальный этап Всероссийского конкурса исследовательских работ учащихся « Шаги в науку»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКА

Тема: «Самые интересные способы умножения  без таблицы умножения»

                                                              Выполнила:  Меграбян Лилит Мгеровна, 5 класс,

                                                                                      МОУ «Колосковская СОШ»

                                                                                      Валуйского района Белгородской области

                                                              Научный руководитель: Чекоева Александра

                                                                                       Владимировна,  учитель математики

2023

Содержание.

1. Введение…………………………………………………………………3

2. Основное содержание…………………………………………………..4

   2.1 История появления таблицы умножения…………………………..4

   2.2 Анкетирование. Мониторинг результатов анкетирования……….4-5

   2.3 Секреты новых способов умножения………………………………5

   2.3.1  Древнерусский способ умножения на пальцах …………………6-7

   2.3.2 Русский или крестьянский способ умножения ………………….8

         2.3.3 Китайский способ умножения ………………………………..9

         2.3.4  Японский способ умножения…………………………………9

         2.3.5 Итальянский или Индийский способ умножения……………10

      2.3.6 Египетский способ умножения ………………………………….11

2.4 Мониторинг результатов эксперимента………………………………11

3. Заключение……………………………………………………………….12

4. Использованные ресурсы………………………………………………..13

Приложение …………………………………………………………………14 -15    

1. Введение.

     Математика представляет   искуснейшие изобретения,

                                                                         способные  удовлетворить любознательность,

                                                  облегчить ремёсла и уменьшить  труд людей.  

 (Р. Декарт)

Актуальность:

Тему для исследования я выбрала не случайно. Она актуальна для многих моих одноклассников. В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Не все дети знают таблицу умножения и не все выполняют его с интересом.  Допускают ошибки при выполнении действия умножения столбиком.  А научиться умножать это жизненная необходимость. И научить   умножать можно и другими  интересными способами.

    Цель исследования: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, для вычисления которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

     Задачи исследования:

• Найти и изучить  способы умножения чисел, не требующие знаний таблицы умножения и выполнения действия столбиком.
• Научиться демонстрировать найденные  способы умножения.
• Рассказать о новых способах умножения и научить  ими пользоваться  одноклассников и родителей

      Гипотеза исследования: 

Если найти и изучить знать  новые способы умножения, то можно легко отказаться от изучения таблицы умножения и выполнения действия умножения столбиком.

Методы исследования:

•  изучение печатных материалов и материалов сети Интернет
•  опрос учащихся и родителей
•  анализ и сравнение полученных данных
•  мониторинг результатов
•  эксперимент.

2. Основное содержание.

 2.1 История появления таблицы умножения.

     При раскопках здания в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная – самая древняя.

     Каким же образом жители Японии впервые узнали о математической «запоминалочки»? Судя по тому, что иероглифы, которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она была просто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда она взялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали.

     Эту версию подтверждает находка, сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, на которой был фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили в 2700 -3000 лет.

     На основании этой находки ученые Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами проникли в Индию, а оттуда в страны Передней Азии и Европу. Однако этой версии противоречат многие находки, сделанные ранее. Например, в Индии в свое время были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет.

     Самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях.

     Хотя не исключено также и то, что данная система устного счета появилась независимо в разных местах. Узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего, не удастся. Это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре автором таблицы умножения считается знаменитый греческий математик Пифагор.

     Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века  мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

     2.2  Анкетирование.

 Перед тем как начать свою работу, я  решила обратиться к своим одноклассникам и их родителям, попросив их дать ответ на несколько вопросов. Мне хотелось узнать,  как  они относятся  к теме моей работы, и есть ли разница между мнением  ребят и взрослых людей. Совместно с учителем составили небольшую анкету (Приложение 1), результаты анкетирования обработали.

         Мониторинг результатов анкетирования.

В анкетировании приняли участие 24 человека: 14  учащихся  5    класса, 10 родителей  5  класса.  Результат анкетирования показал следующее:

• Малый процент опрошенных испытывает сложности с таблицей умножения

• Умножения столбиком вызывает иногда затруднение,  как у детей, так и у взрослых

• Новые способы умножения знают только  дети (способ умножения на 11, нам показывают на уроках математики), наши родители только слышали о том, что

 такие способы  существуют

• Узнать новые способы хотят все

   2.3  Секреты новых способов умножения

Чтобы совершать несложные арифметические операции: умножать двузначное число на однозначное, перемножать два небольших двузначных числа и т.д. – все эти действия можно производить в уме и достаточно быстро. Для выполнения более сложных примеров нужен опыт и постоянная тренировка, которая играет важнейшую роль в развитии любых способностей.

Существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Я изучила некоторые подходы к обучению навыку считать устно и выделила несколько необходимых составляющих, без которых приобретение данных навыков невозможно:

1.     Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2.     Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3.     Регулярные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнений позволят нам улучшить скорость и качество устного счета.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. В своей работе я рассмотрела наиболее интересные, на мой взгляд, методы устного умножения, которые можно применять для быстрого вычисления.

В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Рассмотренные мною способы быстрого счета рассчитаны на "обычного" человека и не требуют особых способностей. Главное – регулярная тренировка.

Рассмотрев, достаточное количество способов быстрого умножения чисел, я остановилась на исследовании так называемых "Математических хитростях", которыми пользовались в разных странах.

2.3.1 Древнерусский способ умножения на пальцах.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Например, нужно умножить 6 на 7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, насколько каждый множитель больше, чем пять. На двух руках отогнуто три пальца - это число десятков в искомом числе. На одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой - четыре пальца, эти числа перемножаем 3 * 4 = 12 и прибавляем к числу, имеющихся десятков. 30 + 12 = 42. Ответ: 6 * 7 = 42.

А теперь попробуйте самостоятельно умножить этим способом 8 на 9.

Отгибаем на одной руке три пальца, а на другой руке - четыре пальца (на столько каждый множитель больше, чем пять). Отогнуто 7 пальцев - это десятки в искомом числе. Перемножаем число загнутых пальцев обеих рук: 2 * 1 = 2. Прибавляем это количество к числу десятков 70 + 2 = 72. Таким образом, 9 * 8 = 72.

Еще проще метод умножения на 9. Итак, всё, что вам понадобится — это десять пальцев рук. Положите ладони на стол. Мысленно дайте каждому пальцу, начиная от мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой, свой номер от 1 до 10.

Допустим, нам надо умножить 3 на 9. Чтобы вычислить ответ, надо найти палец под номером 3 и поднять его. А затем посмотреть, сколько пальцев осталось лежать справа и слева. Количество пальцев слева от поднятого пальца (в нашем случае их 2) — это десятки, количество пальцев справа (у нас это 7) — это единицы. Итого, получаем — 2 и 7, то есть 27.

Метод умножения на 11. Например: 23*11.

Первая цифра 2, третья цифра 3, посередине сумма 2+3=5.Получается  253. Следующий пример 67*11=737. Посередине 6+7=13, поэтому к первой цифре прибавили 1, будет 7.

Метод умножения на 15. Например: 22*15. Сначала

22 *10=220. Затем прибавляем половину числа 220, это 110. получается: 22*15= 220+110=330.

Вывод: данный способ удобен и не требует больших усилий,   Способ наглядный, интересный  и простой.

2.3.2 Русский или крестьянский способ умножения

Данный способ появился в глубокой древности и использовался русскими крестьянами. Суть русского способа умножения состоит в следующем: умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и дает нужный результат. Таким образом, результат умножения не изменится, если один множитель уменьшить в два раза, а другой в два раза увеличить.

Рассмотрим на примере и умножим 47 на 35:

• Пишем оба числа на одной прямой и рисуем между ними вертикальную прямую.
• Число с левой стороны делим на 2, а с правой — умножаем на 2. Подобную манипуляцию проводим до момента, пока слева не останется 1.
• Необходимо вычеркнуть строки, где слева стоят четные числа.
• Числа, которые остались справа складываем и получаем результат. В нашем случае — 1645.

Вывод: Данный способ удобен для тех людей, которые умеют  легко умножать и делить на два. Трудность возникает, если встречаются нечетные числа, надо быть очень внимательным. Чем больше числа, тем дольше вычисления.

2.3.3 Китайский способ умножения

Это графический способ. Основа китайского метода заключается в рисовании линий «сеткой». Преимуществом является графическая визуализация процесса умножения. Основная суть — параллельные и перпендикулярные линии представляют те числа, которые перемножаются между собой. Таблицу умножения помнить не нужно, так же не нужно запоминать цифры при переносе в разряд. Необходимо лишь сосчитать пересечение линий.    

Рассмотрим на «живом» примере 43*12:

• Необходимо нарисовать 4 параллельные линии и через некоторое расстояние еще 3 параллельных.
• Перпендикулярно им рисуем 1 линию и на небольшом расстоянии еще 2.
• Считаем количество точек-пересечений, как указано на схеме.
• Если получились двузначные числа, первый знак числа мы прибавляем к «соседнему» с левой стороны. Вторые знаки в числах и являются результатом умножения.
• Собираем числа в одно целое и получаем наш ответ: 43*12=516.

Вывод: данный способ прост, очень удобен для тех, кто лучше воспринимает материал с помощью схем и чертежей. Способ требует внимательности и аккуратности. Его простота в том, что необходимо уметь только складывать и разбивать числа на разряды.

2.3.4 Японский способ умножения

Японский метод очень похож на китайский. Однако, есть некоторые отличия. Используются не только линии, но и круги. Умножим 12*34:

• Смотрим на второй множитель — это двузначное число, поэтом рисуем 2 разделенных круга.
• Смотрим на вторую цифру первого множителя (в нашем случае 2) и рисуем два двоичных круга.
• Второй множитель состоит из цифр 3 и 4, поэтому делим кружки первого столбика на 3 части, а второго — на 4.
• Ответ кроется в количестве частей, которые получились после разделения. Наш результат — 408.

Вывод: данный способ прост, очень удобен для тех, кто лучше воспринимает материал с помощью схем и чертежей. Способ требует внимательности и аккуратности. Его простота в том, что необходимо уметь только складывать и разбивать числа на разряды.

2.3.5 Итальянский или Индийский способ умножения

Итальянский вариант умножения называется «джелозия» или способ решетки. На самом деле этот метод был изобретен в Индии, но со временем мигрировал в Китай, Аравию и Италию, где и получил свою форму «решетки», напоминающую окно.

Известный арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.
Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.
В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки».

Пример: 84*41

• Рисуем прямоугольник и делим его на 4 клетки. Сверху клеток пишем по порядку 8,4,4,1.
• Далее делим каждую клетку по диагонали. В верхних треугольниках пишем десятки, а в нижних - единицы. Умножаем 4 на 4 будет 16, 1 в верхнем 6 в нижнем треугольнике. Затем 8 умножаем на 4 будет 32, 3 в верхнем 2 в нижнем. Потом умножаем 1 на 4, получаем 4. Верхнем треугольнике пишем 0, а в нижнем 4 и так же 1 умножаем на 8.
• Теперь нужно собрать все цифры по диагонали. Если у нас получается двузначное число, то мы первую цифру переносим к предыдущему числу и складываем их, а у двузначного зачёркиваем. Мы собрали все числа и получили результат- 3444.

Вывод: данный способ удобен и не требует больших усилий, необходимо, как и при обычном способе, знание таблицы умножения. Способ наглядный и простой.

2.3.6 Египетский способ умножения

Египетский способ умножения нравится многим школьникам, так как достаточно прост и занимает меньше всего времени на выполнение вычислений. Необходимо разложить первое число на 3 единицы, а затем умножить каждое из них на второй множитель. Полученные результаты нужно сложить, это и будет искомое число.

Кому непонятно, смотрим на пример. Умножаем 13 на 238:

• Чтобы получить 13 посредством сложения трех единичных цифр, нужно взять 1, 4 и 8.
• Умножаем каждую из цифр на второй множитель (238).
• 1*238 = 238   4*238 = 952     8*238 = 1904.
• Складываем полученные числа и получаем 3094 (238+952+1904).

Вывод: этот способ достаточно прост и занимает меньше времени на выполнение вычислений, что очень нравится школьникам

2.4  Экспериментальная часть

Я познакомила своих одноклассников и своих  родителей с найденными способами умножения.  Они потренировались на практике,  выполняя самостоятельно несколько заданий. Предложила одноклассникам познакомить своих родителей с данным способом.

  Мониторинг результатов эксперимента

   В завершении работы я предложила новую анкету детям и родителям. (Приложение 2)  

Анализ результатов показал следующее:

• Найденные мною способы заинтересовали как моих одноклассников,  так и их родителей

• Отказаться от традиционного способа никто не готов, так как найденные способы очень объемны по времени выполнения

3. Заключение

 Считаю, что моя гипотеза частично подтвердилась. Я  убедилась в том, что существуют приемы и способы умножения чисел,  позволяющие нам обойтись без знания таблицы умножения и выполнения данного действия столбиком. Однако они очень громоздки. Занимают  большее количество времени для выполнения.  Своей работой над проектом я доказала, что моя гипотеза верна, не нужно обладать  сверхъестественными способностями, чтобы умножать числа. Есть очень интересные и увлекательные способы умножения.  Но все таки наш способ умножения самый простой и быстрый и в общем, таблицу умножения все-таки знать нужно! Непривычны по способу записи, но как альтернатива, они могут использоваться..

Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучила новые для меня способы умножения. У меня появилось желание продолжить нашу работу и узнать ещё  что-то новое о действии «умножение».

  Список литературы:

1. Энциклопедия для детей. «Т.23». Универсальный энциклопедический словарь\ ред.коллегия: М. Аксенова, Е.Журавлева, Д.Люри и др.-М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2008.-688с.

2. Игнатьев Е.И. Математическая шкатулка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы.-М.:, Омега, 1994 

 3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк.-М.: Просвещение, 1989.

 4. Занимательная арифметика. Перельман Я. И.Издание:8Год изд.:1954

5. Энцеклопедия для детей. Т.11 Математика. М: Аванта+ 2003г.

6. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей. Общедоступные очерки для любителей арифметики. Составитель: В. Билюстин. М:1969г. .

7. Интернет ресурсы

Приложение 1.

Анкета для обучающихся и родителей

1. Можете ли вы с уверенностью утверждать,  что знаете  таблицу умножения?

  а) да    б) допускаю ошибки     в) нет

2. Легко ли вы выучили таблицу умножения?

   а) да    б)  только некоторые столбики     в) нет, было очень сложно

3. Вызывает ли у вас затруднение выполнение действия умножения столбиком?

    а) да    б) иногда     в) нет

4. Знаете ли вы какие-то еще способы умножения чисел, кроме умножения столбиком?

      а) да    б)  слышал о таких     в) нет, думаю, таких нет

5. Хотели бы узнать новые приемы и способы,   позволяющие вам выполнять умножение не используя таблицу?

         а) да      б) нет

Приложение 2.

Анкета для обучающихся и родителей

1. Понравились ли вам новые способы умножения?

  а) да    б) еще не решил для себя     в) нет

2. Просты ли они в применении?

   а) да    б)  только отдельные способы     в) нет

3. Согласны ли отказаться от традиционного, общепринятого способа умножения?

    а) да    б) еще не решил      в) нет

4. Оказались ли новые знания для вас  полезными?

      а) да    б)  можно иногда применить как занимательные игры     в) нет