Способы решения квадратных уравнений

Слайд 1

Слайд 2

Введение Цель работы: выявить способы решения уравнения второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах. Задачи: 1)Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений. 2)Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений. 3)Показать применение данных способов при решении уравнений. 4)Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов. Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Слайд 3

Квадратные уравнения Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.

Слайд 4

Из истории квадратных уравнений Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до наше эры вавилоняне . Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Слайд 5

Различные способы решения квадратных уравнений. Способ 1. Решение квадратных уравнений по формуле. Корни уравнения ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0 можно найти по формуле: где выражение b 2 - 4 ac = D называется дискриминантом. Способ 2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

Слайд 6

Способ 3. Метод выделения полного квадрата. Необходимо привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения: (а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 .

Слайд 7

Способ 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Чтобы квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0 привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a , и квадратное уравнение примет вид =0 Тогда: Способ 5. Разложение на множители способом группировки. При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Слайд 8

Способ 6. Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = 2) Если а + с = b (т.е. сумма крайних коэффициентов равна среднему коэффициенту), то х 1 = -1, х 2 = - 3х 2 +4х-7=0 Так как 3+4+(-7)=0, значит х 1 =1, х = -

Слайд 9

Способ 7. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу). Корнями многочлена являются делители свободного коэффициента, при подстановке которых в данное уравнение превращается в верное числовое равенство. Ответ: Теорема Безу. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a.

Слайд 10

Способ 8. Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента. При этом способе, коэффициент а, умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». 3х 2 +4х-7=0 9х 2 +3•4х-7•3 =0 , у= 3х у 2 +4у-21=0. По т .Виета у 1 у 2 =-21, у 1 + у 2 = -4. Значит у 1 = 3, у 2 = -7. Отсюда следует, что х 1 =1, х 2 = -

Слайд 11

Способ 9. Графический способ. Построим графики функции y = x 2 и y = в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

Слайд 13

Сложные способы Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки. Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента. Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.

Слайд 14

Рациональные способы Решение квадратных уравнений по формуле. Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Слайд 15

Трудоемкие способы Решение квадратного уравнения графическим способом. Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки. Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу

Слайд 16

Красивый способ Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов Решение квадратного уравнения графическим способом.

Слайд 17

Способы Плюсы Минусы Решение квадратных уравнений по формуле Можно применить ко всем квадратным уравнениям. Можно забыть формулы Решение квадратных уравнений, используя теорему Виета Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть целые корни уравнения. Легко находятся только целые корни. Решать этим способом легко только приведенные квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов Не требует особых усилий, главное помнить свойства Подходит только к некоторым уравнениям Решение квадратного уравнения графическим способом Наглядный красивый способ Могут быть не точности при составлении графиков и нахождении корней уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части уравнения на множители способом группировки Дает возможность повторить формулы сокращенного умножения. Нужно правильно увидеть слагаемые для группировки, а также правильно применить ФСУ. Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата Я плюсов не увидел Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. Легко найти только целые корни, потому что применяется совместно с теоремой Виета Решение квадратных уравнений, используя теорему Безу Я плюсов не увидел Трудоёмкий, очень много действий. Нужно знать теорему и как её применять.

Слайд 18

Заключение Я нашел 9 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.