«Удивительная лента Мёбиуса»

Республика Саха (Якутия), Мирнинский район, п. Айхал

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 23 им. Г. А. Кадзова»

«Удивительная лента Мёбиуса»»

Выполнила: ученица 6 «г» класса, Зинковская В.

Руководитель: Базарова Д.Ц.,

учитель математики МАОУ «СОШ №23 им. Г.А.Кадзова»

п. Айхал

2022г.

Содержание

Введение……………………………………………………..……………….3  Историческая справка…………………..……………………………...……5

Эксперименты с лентой..……………………………….…..…………….....6

Открытие ленты Мёбиуса. Анкетирование…………………….………….7

Свойства ленты Мёбиуса……………………………………….……...........8

Применения ленты Мёбиуса……………………………………………..…..9

Заключение ……………………………………………………..……….…..10

Используемая литература……………………………………….………..…12

Приложение………………………………………………………………….13

Введение

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом
Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом…

С развитием технологий математику - как науку начали изучать на другом уровне, с помощью различных современных технологий. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Актуальность заключается в том, что в наше время актуально изучение различных необычных фигур и их свойств и неожиданных, нестандартных применений. Но натуральное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. И это полезно тем учащимся, у которых недостаточно развито пространственное воображение. Все вышесказанное и обусловило выбор темы исследовательской работы: «Удивительная лента Мебиуса».

Проблема исследования: Как зависят свойства ленты от количества оборотов и направления скручивания.

Цель: Определить закономерности в изменении свойств ленты в зависимости от количества оборотов и направления скручивания.

Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:

1. Провести эксперименты.
2. Проанализировать свойства ленты в зависимости от количества оборотов и направления скручивания;
3. Проанализировать доступную информацию по теме;
4. Сформулировать выводы.

Объект исследования: перекрученная лента со скреплёнными концами.

Предмет исследования: свойства перекрученной ленты, концы которой скреплены.

Гипотеза исследования: Свойства ленты изменяются в зависимости от количества оборотов и направления скручивания.

При написании работы были использованы следующие  методы научного исследования:

• анализ литературы и материалов сети Internet;
• синтез;
• эксперимент.
• опрос-анкетирование,
• статистический метод при обработке информации
• обобщение, сравнение.
• вывод.

Основные этапы исследования:

І этап. Подготовка к исследовательской работе.

ІІ этап. Планирование исследовательской работы.

ІІІ этап. Эксперимент

IV этап. Исследование.

V этап. Выводы.

VІ этап. Оформление работы.

VІІ этап. Отчет и защита исследовательской работы.

Практическая значимость: Мы сумели получить интересный математический материал. Своими результатами исследования мы поделилась c одноклассниками. Это их заинтересовало. Вообще мы считаем, что наша работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Работа состоит из оглавления; введения, где определена цель исследования, методы исследования, гипотеза и т.д.; основной части, состоящей из трёх глав, заключения, где сформулированы выводы и результаты; списка литературы и приложения.

Историческая справка

 Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868гг.). Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. А. Ф. Мёбиус родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года 6 Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии. Он получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса) и стал одним из крупнейших геометров своего времени.

Эксперименты с лентой

Учитывая проблему нашего исследования, начнём с экспериментов. Условно различают ленты по способу сворачивания: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Их еще называют правая и левая. Но различить «на глаз» вид ленты невозможно. Сделать такую фигуру чрезвычайно просто: нужно взять ленту, свернуть ее и закрепить концы. Заготовки для экспериментов представлены в приложении № 1.

Эксперименты будем проводить, разрезая ленту вдоль посередине. Результаты экспериментов представим в таблице, а их наглядные изображения в приложении № 2 папках на ваших столах.  Из таблицы видно, что результаты третьего и четвёртого экспериментов отличны от остальных и достаточно наглядны и предсказуемы. Мы выяснили, что эти фигуры называют парадромными кольцами. А вот результаты экспериментов с нечётным количеством полуоборотов, напротив, для нас оказались непредсказуемыми, а от того ещё более интересными. Сопоставив полученные результаты, с информацией из источников мы определили, что перекрученная именно таким образом лента является топологической фигурой, которая называется лента Мёбиуса. (Топология — раздел математики, который изучает свойства фигур, сохраняющиеся при непрерывных деформациях — растяжении, сжатии или изгибании).

Таким образом, мы установили, что свойствами ленты Мёбиуса обладают только фигуры, получившиеся в результате первого, второго и пятого, шестого экспериментов.

Принимая во внимание выше изложенный факт, а также рассмотренные примеры фокусов можно сделать вывод, что фокусники чаще используют топологический объект лента Мёбиуса.

Открытие ленты Мёбиуса.

Анкетирование одноклассников.

Результаты анкетирования одноклассников показали, что только около 14% (3 человека из 22) слышали понятие «лента Мёбиуса», а со свойствами и областью применения этой фигуры не знаком никто. Для дальнейшего объяснения экспериментов необходимо их изучить, тем более, что все респонденты высказали свою заинтересованность.

Лента Мебиуса является одной из самых необыкновенных геометрических фигур. Её изучает топология. Как говорит Р. Курант: «Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой». Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.

Интерес вызывает уже само открытие ленты. Два математика, несвязанных между собой, открыли ее в одном и том же 1858 году. Этими открывателями были Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус, ученик «короля математики» Гаусса. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей. Согласно легенде открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. В 1868 году Август Фердинанд Мѐбиус умирает. Статья о знаменитой ленте Мѐбиуса опубликована посмертно.

Свойства ленты Мёбиуса

Лист Мёбиуса – топологическая фигура, имеет один край и одну сторону, не меняет своих свойств, пока его не разрежут или не склеят.

Кроме этих четырёх свойств есть ещё одно – хроматический номер, но его объясняют с помощью графов. Для нас это пока ещё сложно. Принимая во внимание необычные свойства, а так же рассмотренные ранее примеры фокусов можно сделать вывод, что фокусники чаще используют топологический объект - лента Мёбиуса. И теперь это вполне объяснимо.

Применения ленты Мёбиуса

А где ещё применяют свойства ленты Мёбиуса? Как оказалась лента Мебиуса повлияла не только на математиков, но и волновала художников, скульпторов, архитекторов и многих других. Во многих странах мира есть памятники этому удивительному и необычному объекту. В литературе лист Мёбиуса имеет не маловажное значение. Для многих писателей фантастов эта лента послужила главным источником вдохновения.

Лист Мёбиуса-символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нём бесконечность свёрнута кольцом.
В нём простота, и вместе с нею- сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца. (Н.Ю.Иванова)

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника [5]

Мастера - ювелиры посвятили работы ленте Мёбиуса.
Лист Мёбиуса изображают на всяческих эмблемах, значках, например, на эмблеме механико-математического факультета Московского университета.

Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Помимо этого именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны.

Вдохновляет лист Мёбиуса и дизайнеров.

И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности. А ещё в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты. Таким образом, можно сделать вывод, что область применения свойств ленты Мёбиуса очень обширна и совсем не сводится только к объяснениям фокусов.

Заключение

Работая над темой, мы узнали много нового и интересного. В результате работы научились находить литературу по предложенной учителем теме, выбирать нужный материал, пользоваться статьями из сети Интернет, подбирать нужные иллюстрации, строить соответствующие таблицы и заполнять их; выполнять эксперименты и делать выводы по результатам. Работа практически значима для повышения мотивации при изучении математики в школе. Всё это довольно сложно и требует много времени, но очень интересно.

В результате работы мы не только достигли поставленной цели, доказали гипотезу исследования, но и неожиданно для самих себя, проводили эксперименты с топологическим объектом (лента Мёбиуса).

Действительно, свойства ленты изменяются в зависимости от количества оборотов и направления скручивания. И большинство фокусов, объясняется, только в том случае, если в руках у фокусника удивительная поверхность, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям» и называется - лента Мёбиуса. Простая перекрученная, определённым образом, со креплеными концами лента, превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Мы выяснили, что такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – Топология.
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Но возможно, мы станем знаменитыми математиками и совершим удивительные открытия. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут нашими именами. Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.

Новизна работы заключается в том, что все опубликованные работы обучающихся рассматривали непосредственно ленту Мёбиуса и её свойства, а мы отталкивались от понятия «перекрученная лента» и установили, что лентой Мёбиуса является только та лента, которая перекручена определённым образом.

Большинство обучающихся нашего класса не занимались выявлением свойств ленты Мёбиуса ранее. А из результатов анкетирования стало ясно, что многие ребята вообще не слышали об этом. 

Опыты с лентой Мёбиуса не исчерпаны. Они бесконечны и интересны. Это ведёт к пониманию и более глубокому осмыслению математики (геометрии), как прикладной науки.

Список используемой литературы

1. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Авт. - сост. А.П. Савин и др. - М.: АСТ, 2017. - 480с.
2.  Ресурсы интернет: http://ru.wikipedia.org/wiki/
3.  Энциклопедический словарь юного математика | Коллектив авторов, 2020г.
4. Глейзер, Г. И. История математики в школе⁄ Г. И. Глейзер ⁄⁄ История математики в школе: пособие для учителей/под редакцией В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 97 с

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Анкета - опросник

1. Встречались ли Вы с понятием «лента Мёбиуса»?

Да Нет

2. Какими свойствами обладает лента Мёбиуса?

3. В каких областях применяют её свойства?

4. Хотели бы Вы познакомится с лентой Мёбиуса и узнать её свойства?

Да Нет

Результаты анкетирования

Приложение 4

Памятник в МОСКВЕ

Памятник в Екатеринбурге

Зеркальное отражение

Международный символ переработки