Исследовательский проект "Быстрая математика"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «МАНГУТСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА» НАЗЫВАЕВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

Тема проекта: «Быстрая математика»

Автор проекта:

Нурпиисов Тимур

обучающийся 9 класса

Руководитель проекта:

Нагибина Л. М.

учитель математики

2019-2020

с. Мангут

Паспорт работы

МБОУ «Мангутская СОШ»

Адрес: с. Мангут

Автор работы: Нурпиисов Тимур Назымбекович,

Обучающийся 9 класса

Название работы: «Быстрая математика»

Основной предмет: Математика

Руководитель: Нагибина Людмила Михайловна

Способ представления работы на защите:

Подпись руководителя: __________________

Содержание:

Введение……………………………………………………………………….4

Глава Ⅰ. История счёта………………………………………………………..6

1. Как возникли числа…..………………………………………………...6
2. «Чудо-счётчики»……………………………………………………...10

Глава Ⅱ. Старинные способы умножения………………………………….13

2.1. Русский крестьянский способ умножения …..………….…….………14  

2.2.  Метод «решетки»…………. ……………………………….………….15

2.3. «Индийский и египетский способы умножения»……………………..17

2.4. Метод «Умножение на пальцах………………………………………..19

2.5. Способы вычислений в «уме»………………………………………….21

Заключение…………………………………………………………………...27

Список литературы…………………………………………………………..28

Приложение………………………………………………………………….29

Введение

На уроках математики я заметил, что у меня и многих моих одноклассников счет без калькулятора вызывает затруднения. Большинство учеников используют планшетные компьютеры, калькуляторы и мобильные телефоны, поэтому быстро произвести вычисления письменно, а тем более в уме затрудняются. При этом умение считать без калькулятора бывает необходимо не только на уроках математики, при сдаче экзаменов в форме ОГЭ, ЕГЭ, но и в повседневной жизни.

На занятиях занимательной математикой нас познакомили с некоторыми приемами быстрого счета, и мне стало интересно, какие еще способы быстрого счета существуют.

Актуальность: я считаю, что выбранная мною тема  актуальна и важна, так как вычисления в уме не только являются неотъемлемой частью повседневной жизни, но и повышают способность сосредоточиться, укрепляют память и развивают умение удерживать в голове сразу несколько задач.

Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура обучающихся, и  им будет легче решать практические задачи.

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель моего исследования: изучить нестандартные приемы вычислений и научится применять их на практике самому и обучить одноклассников.

Задачи:

• раскрыть историю возникновения счета;
• рассмотреть старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
• изучить некоторые приемы устного умножения и показать преимущества их использования.

План исследования:

1. Провести анкетирование учащихся 5-11 классов по знанию приемов быстрых вычислений.
2. Найти историю возникновения чисел.
3. Найти в литературе и сети Интернет известные старинные и современные способы вычислений.
4. Провести эксперимент по использованию старинных способов вычислений.
5. Изучить некоторые приемы устного умножения.
6. Проанализировать собранную информацию.
7. При помощи игр и «фокусов» показать преимущества использования приемов быстрых вычислений в школьном «Методическом калейдоскопе».

Проводя исследование, я воспользовался следующими методами:

1. анкетированием учащихся 5-11 классов школы по вопросам использования приемов быстрых вычислений;  
2. поисковым методом с использованием научной и учебной литературы, а также поиском необходимой информации в сети Интернет;
3. практическим методом выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
4. анализом полученных в ходе исследования данных.

Глава I. ИСТОРИЯ СЧЁТА

1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА                                  

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
       И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3). И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегов Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит:  «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор я рассказывала об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.  

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

1.2 « ЧУДО - СЧЁТЧИКИ»

«Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт–листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда— это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам».

Именно так, по мнению психологов, выглядит человек–калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо – счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. Всего за пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, МЕГАпамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

Еще, например, один  учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как–то друзья решили проверить возможности «чудо–счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) – «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце  недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс–отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили  и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо–счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. «Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик–виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр– счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80–ти лет.

Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской  академии  наук. В соревновании  участвовали молодой «счётчик–феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем  в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала  Деви тоже несколько опередила ЭВМ.

В 2007 году Марк Вишня, которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы» без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.

Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют  дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике  не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Однако бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47–ой степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики–феномены» пользуются особыми приемами  быстрого  счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

Глава II. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Для того чтобы выяснить, знают ли учащиеся 5-11 классов нашей школы  другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен опрос по вопросам анкеты (приложение1).

В анкетировании приняло участие 50 учащихся 5-11 классов. Результаты опроса показали, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы (рис.1)

Рисунок 1

Результаты анкетирования учащихся 5-11 классов

2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Изучая литературу и Интернет-источники, я познакомился со старинными способами умножения:

• русский крестьянский способ умноження:

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример –  умножим 47 на 35 (рис. 2):

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

Рисунок 2

Крестьянский способ умножения

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. МЕТОД «РЕШЕТКИ»

• метод «решетки»:

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми в своей «Книге об индийском счете» описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность») (рис. 3).

Рисунок 3

Метод «решетки»

Пусть нужно умножить 25 и 63. Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Ранее был рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример –  перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
• затем квадратные клетки делим по диагонали;
• вверху таблицы записываем число 987;
• слева таблицы число 12 (см. рисунок);
• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;
• после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;
• результат записываем справа и внизу таблицы ( рис. 4);

987 ∙ 12=11844

Рисунок 4

Метод «решетки»

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа в том, что нужно долго готовить таблицу, хотя заполнять ее интересно.

2.3. «ИНДИЙСКИЙ  И ЕГИПЕТСКИЙ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ»

• индийский способ умноження:

Им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

х23

12

276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»

                         12

                        …6

Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

                        12

                       .76

Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».

                       12 пишу 2 левее цифры 7

                     276 получаем 276.

Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Однако наши исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведем примеры:

х528       х24   х15     х18      х317

  123      30      13       19         12

64944  670   195     342     3804

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

• египетский способ умножения:

Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения (попробуй, перемножь: ξφß*τδ). Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой (рис. 5).

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т.к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т.е. 136 + 34 = 170.

Рисунок 5

Египетский способ умножения

2.4. МЕТОД «УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ»

• умножение на пальцах:

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке. Пример: 8 ∙ 9 = 72 (рис. 6).

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000

Рисунок 6

Умножение на пальцах

• Движение пальца

Еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Еще пример:

Пусть требуется умножить 3 * 9.

Слева направо найдите третий палец, того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.

Справа от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите, 2 десятка и 7 единиц получится 27.

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

2.5. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В «УМЕ»

Мой интерес вызвали некоторые способы вычислений в «уме»:

• умножение и деление на 4:

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

• умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2, то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

• умножение на 25:

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

• умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

• умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

• умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

45 * 11 = 495                      87 * 11 = 957

     4 (4+5) 5                                  8 (8+7) 7

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

• умножение трехзначного числа на 101:

Например 125 * 101 = 12625

(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя)

125 + 1 = 126   12625

Еще пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

• возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5:

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

65 2 = 4225 (6 * 7 = 42 Ответ: 4225)

Например:

952 = 9025

9 *10

90 дописать 25

Еще пример:

1252 = 15625

12 * 13

156 дописать 25

• возведение в квадрат числа, близкого к 50:

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры:

1) 582 = 3364.

Объяснение: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.

2) 672 = 4489

Объяснение: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 =289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но меньшее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат недостатка данного числа до 50.

Примеры:

1) 482 = 2304.

Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.

2) 372 = 1369

Объяснение: 37 – 25 = 12, 50 - 37 = 13, 132 =169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

• умножение с помощью опорных чисел:

Запишем на листе

Под первым множителем в кружок запишем, сколько ему не достает до 10 – 3, под вторым множителем в кружок запишем, сколько ему не достает до 10 – 2.  

Теперь выполним вычитание накрест 1 раз (из 8 вычтем 3, или из 7 вычтем 2), ответ будет одинаковый – 5, это будет первая цифра ответа, затем перемножим недостающие (дополнительные) числа 2х3, получим вторую цифру ответа – 6.

Проверим, работает ли данный метод с числами, больше 10? Попробуем на примере: 96х97. Их нужно привести к числу 100, т.е. найти числа, которых каждому из множителей не хватает до 100:

Далее вычитаем накрест (1 раз) 97-4=93. Это первая часть ответа. Теперь перемножаем дополнительные числа: 4х3=12. Это вторая часть ответа:

Числа 10 и 100 были опорными при вычислениях.

• игры:

Отгадывание полученного числа.

1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.

Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.

У вас получилось 1.

3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.

У вас получилось 2.

4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.

У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.

Полученную сумму пусть умножит на 3.

От произведения пусть отнимет 7.

Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.

Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).

Заключение

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я понял, что как в прошлом, так и в будущем, без математики не обойтись, однако старинные способы умножения в отличии от современных громоздкие.

При знакомстве с научной литературой я обнаружил более быстрые и надежные способы умножения. Я считаю, если тренироваться в применении этих приемов, я сформирую навыки быстрого счета.

Выводы:

• Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
• В школьных учебниках есть некоторые приемы быстрого счета, поэтому результат данной работы – мое выступление на «Методическом калейдоскопе» поможет моим одноклассникам и другим обучающимся узнать быстрые способы вычислений.

Выдвинутая мною гипотеза доказана, цели и задачи достигнуты.

Список использованной литературы

1. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга для убчающихся,- М. Просвещение, 1986.
2. Билл Хэндли. Быстрая математика: секреты устного счета – Минск, Поппури, 2014.
3. Э. Катлер и Р. Мак-Шейн. Система быстрого счета по трахтенбергу – М., Просвещение, 1967.
4. М. Ткачева. Домашняя математика: учебное пособие по математике , М., НИИ школ, 1989.  

Приложение 1

Вопросы анкеты

«Знание приемов быстрого счета»

Поставьте «+» в графу, где ответ, по твоему мнению, содержит верное утверждение