Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 8 с углублённым изучением математики.

Проектная работа

по теме

“ Египетские дроби”

Выполнила: Дедовникова Александра, 10 класс

Руководитель: Николаев Андрей Алексеевич

Старая Русса

2022

Оглавление

Введение        3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.        5

ГЛАВА I. История и возникновение дробей        5

История происхождения        5

Глава 2.Аликвотные дроби.        9

2.1 Запись аликвотных дробей        9

III. Заключение        14

Список литературы        15

Введение

«Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!»

Цицерон

«Человек подобен дроби: в знаменателе — то, что он о себе думает, в числителе — то, что он есть на самом деле. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь»

Л. Н. Толстой

Математика – одна из самых древних наук. Она связана со всеми науками, внедряя в них математические методы исследования. Всегда интересно заглянуть в глубину веков, узнать о людях, которые умерли тысячи лет назад, попытаться понять их, почувствовать, чем они жили. Великие народы прошлого оставили нам бесценное наследие. Минули тысячелетия, но живой интерес к истории Древнего Египта не иссяк. Напротив! Только после дешифровки иероглифов перед нами обрисовалась во всём своём величии могучая цивилизация, процветавшая, уже пять тысяч лет  тому назад на берегах Нила. Изучая школьный курс «Истории Древнего мира», меня заинтересовала эта тема. Мне захотелось расширить свои представления о Древнем Египте, а именно, о развитии математики, о возникновении чисел, дробей. Любая наука, и математика в особенности, строится на фундаменте знаний, добытых в предшествующие эпохи. «Камни истории служат ступенями, ведущими в будущее»,-  писал Н.К. Рерих.

И не последнюю роль в этом играют дроби и, в частности, аликвотные, которые создали древние египтяне. С возникновением государства по деревням ходили чиновники с помощниками. Они пересчитывали животных, измеряли засеянные поля, чтобы вычислить величину налога с каждого крестьянина. Так возникла потребность в арифметике. При возведении оросительных систем нужны были свои измерения. Это способствовало возникновению геометрии.

К сожалению, у нас очень мало сведений о древнеегипетской математике, так как все записи египтяне делали на папирусе, а он очень плохо сохраняется. Но даже по тому количеству дошедших до нашего времени документов и записей можно с полной уверенностью сказать, что математика в Древнем Египте была развита весьма неплохо. И стоит отметить, что ученые Греции и Вавилона учились у египтян.

Актуальность выбранной темы. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка «попасть в дроби», что означает попасть в трудное положение. На уроках математики часто встречаются упражнения на действия с обыкновенными дробями, причём при их решении калькулятор не помощник, да и на экзамене его использовать запрещено. Поэтому возникла необходимость расширить свои знания о дробях, узнать историю возникновения обыкновенных дробей и сферу их применения в повседневной жизни.

Объект исследования: обыкновенные, в частности, аликвотные дроби.

Предмет исследования: история возникновения обыкновенных дробей, действия с аликвотными дробями.

Цель исследовательской работы: проследить историю развития понятия обыкновенной дроби в Древнем Египте, обобщить материал по возникновению и применению аликвотных дробей, показать необходимость и важность использования дробей при решении практических задач.

Задачи:

1. Проследить историю развития понятия дроби в Древнем Египте.
2. раскрыть сущность Египетской системы счисления;
3. дать понятие первых египетских дробей;
4. определить выдающихся личностей, внесших вклад в развитие и сохранение египетской системы;
5. Изучить способы решения задач с помощью аликвотных дробей.
6. Выяснить необходимость использования обыкновенных дробей, как в профессиональной деятельности, так и в повседневной жизни.
7. Сделать выводы.

Способы и методы исследования:

Изучение научной и учебной литературы по данной теме, а так же поиск необходимой информации в сети Интернет.

Гипотеза

- Что, если Египетскими дробями можно пользоваться и сейчас для решения определенных задач.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

ГЛАВА I. История и возникновение дробей

История происхождения

Когда возникла необходимость делить целое на части без лишних усилий, тогда и появились дроби. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе. Сам термин «дробь» имеет арабские корни и происходит от слова, обозначающего «ломать, разделять». С древних времен в этом смысле мало что изменилось. Современное определение звучит следующим образом: дробь — это часть или сумма частей единицы. Соответственно, примеры с дробями представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел. Сегодня различают два способа их записи. Обыкновенные и десятичные дроби возникли в разное время: первые являются более древними.

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры. 
Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей. 
В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи. 

Учение о дробях всегда считалось самым трудным разделом математики. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XV в. пишет: "Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину участка шагами, человек встречался с таким явлением: в длине укладывалось десять шагов, и оставался остаток меньше одного шага. Поэтому второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части.

Впервые оперировать дробями начали на территории Египта и Вавилона. Подход математиков двух государств имел значительные отличия. Однако начало и там и там было положено одинаково. Первой дробью стала половина или 1/2. Дальше возникла четверть, треть и так далее. Согласно данным археологических раскопок, история возникновения дробей насчитывает около 5 тысяч лет. Впервые доли числа встречаются в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.

1.2 Древний Египет

Знаете ли вы, что привычных для нас дробей, которые мы используем сегодня, не существовало в Европе вплоть до XVII века! Первое использование дробей было замечено в Древнем Египте в 1800 г. до нашей эры. Примечательно, что их система исчисления была похожа на современную десятичную систему исчисления. Однако, вместо цифр использовались рисунки, которые принято называть иероглифами.

А дробное число изображалось так: числитель представлял собой изображение рта, он всегда был равен единице.. Большим недостатком египетской системы исчисления было то, что на деле складывать дроби в виде рисунков довольно сложно. Чтобы облегчить себе задачу, египтяне придумали специальные таблицы для складывания дробных чисел.

В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Египтяне ставили иероглиф (ер,[один]из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. Они использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 .

1.3 Папирус Ахмеса.

Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной         33 см.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, находящийся в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, уступает папирусу Ахмеса по полноте (он состоит из 25 задач), но превосходит его по возрасту. Установлено, что оригинал, с которого был переписан папирус Ахмеса, относится ко второй половине XIX века до н. э.; имя его автора неизвестно. Отдельные исследователи предполагают, что он мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э.

Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.

Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «куча» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.

Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа  ≈ 3,16 ((16/9)²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон, тогда как равенство в таком случае имеет место только в прямоугольнике. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида 1/n, где n — натуральное число) и дробью 2/3. В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их.

       Глава 2.Аликвотные дроби.

2.1 Запись аликвотных дробей

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Сейчас сумма нескольких аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой.
В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

Всякую дробь египтяне представляли как сумму аликвотных дробей, например 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и так далее.

Это записывалось так: /2 /16; /2 /4 /8.

В некоторых случаях это кажется достаточно просто. Например, 2/7 = 1/7 + 1/7. Но ещё одним правилом египтян было отсутствие в ряду дробей повторяющихся чисел. То есть 2/7 по их мнению было 1/4+1/28.

Проводить различные вычисления, выражая все дроби через единичные, было, конечно, очень трудно и отнимало много времени. Поэтому египетские ученые позаботились об облегчении труда писца. Они составили специальные таблицы разложений дробей на простейшие. Математические документы древнего Египта это не научные трактаты по математике, а практические учебники с примерами, взятыми из жизни. Среди задач, которые должен был решать ученик школы писцов, - вычисления и вместимости амбаров, и объема корзины, и площади поля, и раздела имущества среди наследников, и другие. Писец должен был запомнить эти образцы и уметь быстро применять их для расчетов.

2.2 Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3

1/2=1/(1*2)=1/1 -1/2

То есть, аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных дробей, знаменателями которых являются последовательные числа, равна их произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим, на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:

1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

1/2=1/(1*2)=1/1 -1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

1/12=1/(3*4)=1/3-1/4

1/20=1/(4*5)=1/4-1/5 и т.д.

Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается:

1=1/2+1/2 (Наша формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42 => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

Есть известная восточная притча о том, что отец оставил сыновьям 17 верблюдов и велел разделить между собой: старшему половину, среднему - треть, младшему – девятую часть. Но 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. Сыновья обратились к мудрецу. Мудрец был знаком с дробями и смог помочь в этой затруднительной ситуации.

Он пустился на уловку. Мудрец прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании, мудрец забрал своего верблюда обратно. Секрет в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Таких задач достаточно много. Например, задача из русского учебника о 4 друзьях, нашедших кошелек с 8 кредитными билетами: по одному в один, три, пять рублей, а остальные десятирублевые. По обоюдному согласию один хотел третью часть, второй-четверть, третий- пятую, четвертый-шестую. Однако самостоятельно они этого сделать не смогли: помог прохожий, предварительно добавив свой рубль. Чтобы разрешить эту трудность прохожий сложил единичные дроби 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, удовлетворив запросы друзей и заработав 2 рубля для себя. [3]

2.3 Аликвотные дроби в древних манускриптах

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Некоторые из них уже упоминались в данной работе.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.

Самый древний памятник египетской математики, так называемый «Московский папирус», - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.

Например, в нем рассматривается задача о делении 37 на число, заданное как (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Путем последовательного удвоения этого дробного числа и выражения разности между 37 и тем, что получилось, а также при помощи процедуры, по сути, аналогичной нахождению общего знаменателя, получается ответ: частное равно 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вида 2/n от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм аликвотных дробей. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Вот, например, как 5 делили на 21:

Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца». [1]

Еще одна задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать пол хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Египетские таблицы дробей и различные вавилонские таблицы - древнейшие из известных нам средств, облегчающих вычисления.

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «LiberAbaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

III. Заключение

Таким образом, при разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида a/b может быть разложено на единичные дроби. Так же  на основе данной работы был создан сайт как памятка как для учителя так  и для ученика.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человека правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
Аликвотные дроби ставят ряд трудных по сей день нерешенных математических проблем. Гипотиза Эрдёша-Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n>2,существуют положительные целые x,y,z, при которых 4/n=1/x+1/y+1/z. Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна, но доказательство пока не найдено.

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с аликвотными дробями.
Наука древних египтян внесла огромнейший вклад в жизнь человечества! Математика Древнего Египта оказала несомненное влияние на последующую судьбу науки. Без практики и умений Древнего Египта не совершались бы многие открытия, не появилась бы теория, которая в наше время ищет практического применения, и что практика Древнего Египта, действительно породила теорию математики сегодняшнего дня и позволила великим учёным совершать великие открытия.
Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Два достижения древней математики далеко пережили своих творцов.

Первое — они построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

Эту тему я выбрала потому, что мне было интересно узнать о том, как возникли аликвотные дроби, как они использовались в древние времена и как они используются в наше время и поделиться этими знаниями с учениками нашей школы. Надеюсь, это поспособствует развитию их интереса к изучению математики.

Список литературы

1.Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,М.,1978.

2. Кордемский Г. А. Математическая смекалка.-10-е изд., перераб. и доп.-М.:Юнисам,МДС,1994.

3.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990.

6.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, «Аванта+»,1998.

4. Материал Википедии — свободной энциклопедии.

Wikipedia.org\wiki.

5.Выгодский М.Я. «Арифметика и алгебра в Древнем мире»