IV республиканская научно-практическая конференция обучающихся

«Шаг в науку»

Секция математики

«Решение дробно-рациональных уравнений с параметром»

Исследовательская работа

                                                                 Выполнена обучающейся

11 класса МОУ «Звениговский лицей»

                                                                                      Городиловой Анастасией Павловной

                                                              Научный руководитель:

   учитель математики высшей категории

                                                                       МОУ «Звениговский лицей»

                                                                      Тихонов Николай Иванович

г. Звенигово, 2021 год

Оглавление

1. Введение

2. Основная часть

    2.1. Основные виды уравнений с параметром и принцип их решения

    2.2. Дробно – рациональные уравнения с параметром, сводящиеся

           к линейному уравнению с параметром

    2.3. Дробно – рациональные уравнения с параметром, сводящиеся

           к квадратному уравнению с параметром

    2.4. Переход к новой системе координат при решении дробно –

           рациональных уравнений с параметром.

3. Решение задач с параметром с тестов ОГЭ и ЕГЭ по математике

4. Задачи для самостоятельного решения

5. Вывод

6. Список литературы

1. Введение.

Решение уравнений, содержащих параметр, является, пожалуй, одним из самых трудных разделов элементарной математики. Это связано с тем, что в школе стараются развить умения и навыки решения определенного набора стандартных задач, связанных часто с техникой алгебраических преобразований. Задачи с параметром относятся к другому типу. Для их решения обычно требуются гибкость мышления, логика в рассуждениях, умение хорошо и полно анализировать ситуацию.

Опыт показывает, что учащиеся, владеющие методами решения задач с параметром, успешно справляются и с другими задачами. Именно

поэтому задачи с параметром обладают диагностической и прогностической ценностью.

На протяжении ряда лет многие вузы включают уравнение с параметром в задания вступительных экзаменов (олимпиад). Но до сих пор задача с параметром остается самой "неудобной" для абитуриентов. Более того, в последние годы задачи с параметром регулярно встречаются в вариантах ОГЭ и ЕГЭ по математике. И здесь далеко не все школьники приступают к решению этих заданий, и еще меньшее число – выполняют решение верно.

Таким образом, старшеклассникам, готовящимся поступать в вузы, где требуется основательная подготовка по математике, необходимо серьезно поработать над изучением этой темы.

Овладение же методикой решения уравнений с параметром очень полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки. Умение решать уравнения с параметром  во многом предопределяет успешную сдачу экзамена по математике.

Актуальность работы: сложность выбранной темы носит большой практический смысл при решении демонстрационных и тренировочных  вариантов ЕГЭ по математике. Задача с параметром может принести значительный балл и если разобрать способ решения одного из видов задания ЕГЭ, то это уже вероятность того что на экзамене ты получишь высокий балл.

Цель работы: изучение существующих методов решения задач с параметром.

Задачи работы:

-Изучить методы решения задач с параметром;

-Систематизировать задачи, решаемые этими методами;

-Решить задачи различными методами.

2. Основная часть.

2.1.Основные виды уравнений с параметром и принцип их решения.

Определение. Решить уравнение, содержащее параметр, это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения.

В математике существуют несколько видов уравнений с параметром:

• линейные уравнения с параметром;
• квадратные уравнения с параметром;
• дробно-рациональные уравнения с параметром;
• иррациональные уравнения с параметром;
• тригонометрические уравнения с параметром;
• показательные уравнения с параметром;
• логарифмические уравнения с параметром.

В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным требованиям.

Основной принцип решения уравнений с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения.

Указанный подход к решению задач с параметром часто называется

методом ветвления. Для осуществления такого плана нужно знать “граничные” или “контрольные” значения параметра, которые разбивают ООУ на указанные участки. Поиск этих значений тесно связан со спецификой параметра и его

двойственной природой (“число” – “неизвестная”).

 В своей работе я хочу рассмотреть и научиться решать дробно-рациональные уравнения с параметром.

2.2.Дробно – рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к линейному уравнению с параметром.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычному принципу: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т.е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1: Решите уравнение

ООУ:    a ∈ R, x ≠ 3.

Приравняем к нулю числитель дроби: x + a = 0 , тогда x = −a .

Исследование.

1. x = − a  является допустимым при следующих значениях параметра  a :

− a ≠ 3, a ≠ −3 .

2. При

a = −3 уравнение примет вид

(x − 3) = 0 .

(x − 3)

Решений в этом случае нет.

Ответ: 1) Если , то уравнение имеет единственное решение ;

             2) Если , то уравнение не имеет решений.

Воспользуемся системой координат для иллюстрации ответа

Пример2: Решить уравнение

Решение. 1) ООУ: m ∈ R, x ≠ 1, x ≠ 2.

2) х − m = 0, x = m.

3) Т.к. x ≠ 1 и  x ≠ 2, то m ≠ 1 и m ≠ 2.

4) Если m = 1 и m = 2, то

Воспользуемся системой координат для иллюстрации ответа

Ответ: 1) x = m, если m ∈(−∞;1) ∪ (1;2) ∪ (2;+∞);

             2) если m = 1 и m = 2.

Пример3: Решить уравнение

Решение. 1) ООУ: а ∈ R,

2) Умножим обе части уравнения на

Получим равносильное уравнение

Запишем его в виде

3) При  уравнение примет вид которое не имеет решений.

4) Если то .

Так как то

Воспользуемся системой координат для иллюстрации ответа

Ответ: 1) , если;

             2) если .

2.3.Дробно – рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратному уравнению.

Специфика уравнений с параметром состоит в том, что изменение значений параметра влечет за собой изменение не только коэффициентов, но и ряда других характеристик. Например, Степень уравнения.

Уравнение ax2 − 5x + 4 = 0 при а = 0 является линейным, а при а ≠ 0 – квадратным. Ясно, что количество корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Поэтому решение задачи будет связано с анализом значений дискриминанта данного уравнения.

Пример1:При каких значениях а уравнение

                  имеет единственный корень?

Решение. Уравнение равносильно системе .

Данная система будет иметь единственное решение в одном из двух случаев:

1. уравнение системы имеет единственный корень, не равный 2;
2. уравнение системы имеет два корня, один из которых равен 2.

Первый случай отвечает нулевому дискриминанту: D = a2  − 4 = 0

Если, то уравнение имеет корень, аналогично, если, то .

В обоих случаях корни 

Во втором случае подставим  в уравнение системы: 4 + 2a +1 = 0, откуда

. Тем самым нашли (единственное) значение , при котором уравнение системы имеет корень  Это значение x и будет единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: 

Пример2: Решите уравнение

Решение. Заметим, что при а = -1 уравнение теряет смысл, а следовательно, не имеет корней.

Далее рассматриваем только случай a ≠ −1.

ООУ: x ≠ 2. На ООУ исходное уравнение равносильно уравнению

(х + 2)(х – 2) = (2х – а – 1)(а + 1). После преобразований получим уравнение

х2 − 2(a +1)x + a2 + 2a − 3 = 0 , корни которого х = а – 1 и х = а + 3.

Первый корень принимает "запретное" значение при а = 3; второй корень в этом случае равен 6. Таким образом, при а = 3 уравнение имеет

один корень х = 6. Второй корень принимает "запретное" значение при а = – 1. Однако случай а = – 1 уже был рассмотрен (при а = – 1 исходное уравнение теряет смысл).

Ответ: 1) при а = – 1 корней нет,

              2) при а = 3 единственный корень х = 6,

              3) при a ≠ −1 и a ≠ 3 уравнение имеет два корня х = а – 1 и х = а + 3.

Пример3: Решите уравнение  (1)

Решение. Значение является контрольным.

При  уравнение (1) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если , то после преобразований уравнение (1) примет вид:

 х2+2(1 – а)х +а2 – 2а – 3 = 0. (2)

Найдем кратный дискриминант уравнения (2): (1 – а)2- (а2 – 2а – 3) = 4.

Находим корни уравнения (2): х1 = а + 1,        х2 = а –3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых  х1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.

Если х1+1=0, т. е. (а +1)+1=0, то а = -2. Таким образом, при а = -2

х1 - посторонний корень уравнения (1).

Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3

x1 - посторонний корень уравнения (1).

Если х2+1 =0, т. е. (а - 3)+1=0, то а = 2. Таким образом, при а = 2

 х2 - посторонний корень уравнения (1).

Если х2+2=0, т. е. (а - 3)+2=0, то а =1. Таким образом, при а = 1

х2 - посторонний корень уравнения (1).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке.

                     -3          -2                             0           1          2                              а

В соответствии с этой иллюстрацией:

при а =- 3 получаем  х = - 3 - 3= -6;

при a = - 2 х = - 2 - 3= - 5;

при a =1 х = 1+1=2;

при a =2 х = 2+1=3.

Ответ: 1) если a = -3, то х = - 6;

             2) если a = - 2, то х = - 5;

             3) если a =0, то корней нет;

             4) если a = l, то х=2;

             5) если а =2, то х=3;

             6) если то х1 = а + 1, х2 = а – 3.

Пример 4 : Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

  имеет ровно один корень на отрезке .

Решение. Уравнение равносильно системе:

Рассмотрим первый случай, когда корни совпадают:

Тогда корень  принадлежит отрезку  и удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим второй случай, когда первый корень принадлежит отрезку  и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку  или не удовлетворяет ОДЗ.

Имеем:

Рассмотрим второй случай, когда второй корень принадлежит отрезку  и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку  или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Ответ:

2.4. Переход к новой системе координат при решении дробно – рациональных уравнений с параметром.

Применение графиков при исследовании задач с параметром необычайно эффективно. Рассмотрим переход к координатной плоскости хОа.

План решения задач графическим методом:

1. Записываем уравнение  в виде  и строим график этой функции в системе координат хОа.
2. Находим точки пересечения графика функции  с прямыми вида , параллельными оси Ох.
3. Выбираем ординаты точек пересечения, определяющие решения в соответствии с условием задачи.

Приведём решение примера №4 из пункта 2.3 графическим методом:

Уравнение равносильно системе:

В плоскости хОа графиком системы (а значит и графиком исходного уравнения) будут отрезки прямых  и , лежащие внутри круга, ограниченного окружностью

Решение системы на отрезке  рисунке изображено синим цветом. Найдём значения параметра  (значение ординаты), при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке .

Для этого найдём ординату точки пересечения прямых и .

Ординаты точек пересечения прямой  и окружности , найдём подставив в уравнение окружности .

Таким образом исходное уравнение имеет на отрезке  при

Ответ:

3. Решение задач с параметром с тестов ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Пример №1. Найдите значения параметра c при которых прямая  пересекает график функции в двух точках.

При решении этой задачи требуется высокая графическая культура: строится график функции, заданной разными формулами на разных участках оси Ox, к тому же график функции имеет разрыв в точке x = 1.

Параметр проявляет себя в полной мере: рассматриваются все прямые, параллельные оси Ox, из которых нужно выбрать удовлетворяющие условию задачи.

1. y = 2x + 2, x < 1 прямая
2. y = (x − 2)2 , x ≥1, парабола
3.  , прямая параллельная оси ОХ

Ответ: с = 0 , 1 < с < 4.

Пример №2. Найдите значения параметра k, при которых прямая y = kx, не имеет общих точек с графиком функции .

1. Графиком функции 

является прямая у = x+2 с выколотой точкой x=2.

2. Графиком функции y = kx является прямая проходящая через (0,0).

3. Прямая y = 2x проходит через точки (0,0) и (2,4).

4. При к = 1, прямая у = х будет параллельна прямой у = х+2.

Ответ:

Пример №3: Построить график функции

и определить, при каких значениях параметра с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: Разложим числитель дроби на множители:

36 = (x2 − 4)(x2 − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)

При x ≠ −2 и x ≠ 3 функция принимает вид: у = (x − 2)(x + 3) = x2 + x − 6.

Ее график парабола, из которой выколоты точки (-2;-4) и (3;6).

Прямая у = с имеет с графиком функции ровно одну общую точку, если проходит через вершину параболы, или пересекает параболу в двух точках, одна из которых – выколотая.

Вершина параболы имеет координаты (-0,5;-6,25).

Ответ: с = - 6,25, с = - 4 или с = 6.

Пример №4: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных решения.

Решение. Запишем уравнение в виде

Это уравнение равносильно системе

Для того чтобы данная система имела два различных решения, нужно чтобы числа и были различны, а также ни одно из них не равнялось .

1. ;
2. ;
3. .

Все остальные значения параметра подходят.

Ответ:.

Пример №5: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных решения.

Решение. Данное уравнение равносильно системе .

В системе координат хОа изобразим окружность, задаваемую уравнением

, все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу , точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение. Тем самым, найдем точки пересечения окружности и параболы: и точка касания. Итак, уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:.

Пример №6: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных решения.

Решение. Данное уравнение равносильно системе 

В системе координат хОа изобразим ломаную, задаваемую уравнением

, все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу , точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение. Тем самым, найдем точки пересечения ломаной и параболы: и . Итак, уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:

4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Для каждого значения параметра а решите уравнения:

   а) ;                                б);

  в) ;                          г) ;

  д) .

2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два

    различных корня:

   а)  ;                           б)  ;

   в)  ;                          г)  ;

   д)  ;                        е)  .

3. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

  имеет ровно один корень на отрезке .

4. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

  имеет ровно один корень на отрезке .

5. Вывод.

В своей работе я изучила дробно-рациональные уравнения с параметром. Проанализировала задачи с параметром из тестов ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Овладела методами и принципами решения уравнений с параметром. Научилась решать дробно – рациональные уравнения графическим методом.  

          Особенно мне понравился метод перехода к системе координат хОа.

При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения  F(x,a) = 0 целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел (х,а), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных F(x,а). Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости хОа.

Я считаю, что овладение методикой решения уравнений с параметром очень полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки. Умение решать уравнения с параметром  во многом предопределяет успешную сдачу экзамена по математике.

Я надеюсь, что данная работа поможет старшеклассникам самостоятельно овладеть некоторыми приемами решения уравнений с параметром, а учителям – планомерно организовать работу по данной теме в классе на уроке или факультативных занятиях.

6.Список литературы

1. В.В. Мирошин Решение задач с параметрами. Теория и практика М.: Издательство «Экзамен», 2009г.

2. В.С. Высоцкий Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. М.: Научный мир, 2011г

3. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич Задачи спараметрами: Справочное пособие по матеатике. Мн.: ООО «Асар» 2004г

4. В.Л.Натяганов, Л.М. Лужина Методы решения задач с параметрами: Учебное пособие М.: Издательство МГУ, 2003г.

5. Кожухов С.К. Уравнения и неравенства с параметром. 

Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов  – Орёл, 2013.

6. https://math-ege.sdamgia.