Проектно-исследовательская работа по теме "Ох, уж это умножение"

Слайд 1

Слайд 2

Проблема Проблема: уровень математической подготовки учащихся нашей школы с каждым годом снижается. Анализ результатов ГИА (2012 – 2021 )

Слайд 3

Проблема Проблема : многие школьники слабо владеют или вообще не владеют способом умножения в столбик, потому что плохо знают таблицу умножения или не понимают алгоритм такого способа умножения. В данной таблице приведены качественные показатели знаний таблицы умножения учащимися шестых классов нашей школы : Таким образом, в 6 «А» классе 11 человек (61%), в 6 «Б» классе 14 человек (67%), в 6 «В» классе 15 человек (71 %), в шестых классах 40 человек (67 %), т.е. больше половины учащихся испытывают трудности при умножении в столбик и допускают ошибки, которые приводят к низким результатам. Класс Знание таблицы умножения «хорошо» «частично» (путают ответы) «очень плохо» 6 «А» 7 (39%) 8 (44%) 3 (17%) 6 «Б» 7 (33%) 9 (43%) 5 (24%) 6 «В» 6 (29%) 8 (38%) 7 (33%)

Слайд 4

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ Цель: оказание практической помощи учащимся нашей школы в овладении различными способами умножения для повышения качества их математической подготовки, а, следовательно, для повышения престижа нашей школы в целом. Задачи: Найти и разобрать различные способы умножения чисел; Выявить способы наиболее удобные и простые в использовании; Разработать памятки для учащихся, позволяющие применять полученные знания на уроках и в повседневной жизни.

Слайд 5

АКТУАЛЬНОСТЬ Данная тема актуальна для учащихся школы, так как применение различных способов умножения позволит легче считать «в уме», что пригодится как на уроках математики, так и при сдаче экзаменов, а также в повседневной жизни при покупке товаров, проведении различных подсчётов. Но, как известно, каждый человек индивидуален и не каждому доступен традиционный метод умножения. Именно это и натолкнуло меня на создание данной работы.

Слайд 6

Способы умножения Приемы быстрого счета. Система Трахтенберга Самый простой прием перемножения чисел в пределах 20 Ведический (индийский) способ умножения Русский (русско-крестьянский) способ умножения Итальянский способ умножения Графический (китайский) способ умножения Таблица Оконешникова

Слайд 7

Приемы быстрого счета. На 5 (50). Чтобы умножить число на 5 (50), надо разделить его на 2 и умножить на 10 (100). Например: 446×5=446:2 × 10=2230 ; 4672×50=4672:2×100=233600 На 25 (250). Чтобы умножить число на 25 (250), надо умножить его на 100 (1000) и разделить его на 4. Например: 88×25=88×100:4=2200 ; 24×250=24×1000:4=6000 На 125. Чтобы умножить число на 125, надо умножить его на 1000 и разделить его на 8. Например: 384×125=384×1000 : 8=48000 На 9 (99 или 999). Чтобы умножить число на 9 (99 или 999), надо умножить его на 10 (100 или 1000) и вычесть из произведения заданное число. Например: 254×9=254 × ( 10-1)=2540-254=2286 324×99=254 × ( 100-1)=32400-324=32076 546×999=546 × ( 1000-1)=546000-546=545 454

Слайд 8

Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом и состоящая из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел. Умножение на 11 Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Примеры: 24 × 11 = 2 (2+4) 4 = 264, 37 × 11 = 3 (3+7) 7 = 3 (10) 7 = 407, 234 × 11 = 2 (2+3)(3+4) 4 = 2574, 3425 × 11 = (0+3) (3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675 Умножение на 12 Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 2413 × 12 = (0×2+2)(2×2+4)(4×2+1)(1×2+3)(3×2+0) = 28956 Умножение на 13 Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 5876 × 13 = (0×3+5)(5×3+8)(8×3+7)(7×3+6)(6×3+0) = 76388

Слайд 9

Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом и состоящая из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел. Умножение на 14 Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 4859 × 14 = (0×4+4)(4×4+8)(8×4+5)(5×4+9)(9×4+0) = 68026 Умножение на 17 Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 5739 × 17 = (0×7+5)(5×7+7)(7×7+3)(3×7+9)(9×7+0) = 97563

Слайд 10

Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом и состоящая из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел. Умножение на 21 Пример: 12345 × 21 = ? Пусть а = 12345, b = 21 Умножение начинается с младшего разряда – единиц . Умножить последние цифры – это последняя цифра произведения; Сложить произведения предпоследней цифры числа а на вторую цифру числа b и последней цифры числа а на первую цифру числа b ; Сложить произведения третьей цифры числа а на вторую цифру числа b и предпоследней цифры числа а на первую цифру числа b ; Сложить произведения второй цифры числа а на вторую цифру числа b и третьей цифры числа а на первую цифру числа b ; Сложить произведения первой цифры числа а на вторую цифру числа b и второй цифры числа а на первую цифру числа b ; Умножить первые цифры – это первая цифра произведения Записать последовательно цифры снизу вверх в столбце «Цифры». Полученное число является произведением чисел – 259245, т.е. 12345 × 21 = 259245 Перенос Сумма Всего Цифра 0 5 × 1 5 5 0 4×1+5×2 14 4 1 3×1+4×2 12 2 1 2×1+3×2 9 9 0 1×1+2×2 5 5 0 1×2 2 2

Слайд 11

Самый простой приём перемножения чисел в пределах 20 Пример 1: 13 × 18 = ? 1. Складываем вторые цифры каждого числа, то есть 3+8=11 - именно столько будет десятков, поэтому 11×10=110; 2. Теперь эти же цифры перемножим, то есть 3×8=24 - столько будет единиц; 3. Теперь осталось сложить полученные результаты и прибавить к ответу 100, то есть 13×18 = 110+24+100=234. Получаем, что 13×18 =234. Пример 2: 17 × 16 = ? 17 × 16=(7+6) ×10+7×6+100 = 130+42+100 = 272.

Слайд 12

Ведический (индийский) способ умножения П ример 32×12 Сначала умножим цифры, стоящие в старшем разряде (разряде десятков) и запишем на первое место в произведение: 3 2× 1 2=3… Далее умножим числа, стоящие в младшем разряде (разряде единиц) и запишем на последнее место в произведении: 3 2 × 1 2 = 3… 4 Теперь перемножим наружные цифры и внутренние цифры , сложим их (2*1+3*2=8) и запишем в произведение между раннее записанными числами : В случае если при умножении получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду.

Слайд 13

Русский (русско-крестьянский) способ умножения Умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Пример , 32×13 . Для этого первый множитель будем делить на 2, а второй множитель умножать на 2 : Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Слайд 14

Русский (русско-крестьянский) способ умножения Пример: 97 × 19. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается. Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа, и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение. 97×19 = 1216 + 608 + 19 = 1843

Слайд 15

Итальянский способ умножения Чтобы перемножить большие числа с его помощью, нужно начертить сетку. По горизонтали сверху записываем первый множитель, а по вертикали справа – второй. При этом на каждую цифру должна приходиться одна клетка . Теперь перемножим цифры каждого ряда на цифры каждой колонки. Результат запишем в клетку (разделенную надвое) на их пересечении. Если получилось однозначное число, то в верхнюю часть клетки пишем 0, а в нижнюю – полученный результат . Осталось сложить все числа, оказавшиеся в диагональных полосках. Начинаем с нижней правой клетки. Десятки при этом прибавляем к единицам в соседнем столбике

Слайд 16

Графический способ умножения Пример: 31×12 . В первом множителе в разряде десятков (первая цифра) стоит число 3, а в разряде единиц (второе число) стоит число 1. Рисуем линии, количество которых соответствует этим числам Во втором множителе в разряде десятков (первая цифра) стоит число 1, а в разряде единиц (вторая цифра) стоит число 2. Рисуем линии, количество которых соответствует этим числам, пересекая уже начерченные раннее линии так, чтобы десятки пересеклись с десятками, а единицы с единицами Теперь считаем точки пересечения начерченных линий В голубом овале получилось 3 точки пересечения, в розовом – 7, а в жёлтом – 2. Значит искомый результат: 32×12=372 . В случае если при подсчёте точек пересечения получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду

Слайд 17

Таблица Оконешникова Для записи числа используется девять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, расположенных, как кнопочки на калькуляторе. Таблица разделена на 9 частей: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9» (цифры красные). Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» системе). Пример: 9 × 842 . Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578. Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

Слайд 18

Памятки

Слайд 19

Практическое использование результатов исследования С этими интересными способами умножения я поделился с учащимися своего класса на уроке математики. Ребята заинтересовались ими. Верность умножения проверяли привычными действиями в столбик. Несколько человек стали применять эти способы умножения при вычислениях, что повысило их технику счёта. Для более прочного запоминания этих способов я разработал памятки (Приложение 1), позволяющие постоянно повторять алгоритмы умножения, которые будут полезны не только учащимся 5-6 классов, но старших классов. Возможно , что с первого раза не у всех получится с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки.

Слайд 20

Заключение Старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта показывают, что как в прошлом, так и в будущем, без математики не обойтись. Умение считать является необходимым элементом образования, нужное для осмысления хода решения какой-либо задачи, связанной с расчётами. Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума. В работе рассмотрены и разобраны различные интересные способы умножения многозначных чисел, которые представляют собой оригинальные, непифагоровы способы вычисления. Показано, что каждый из способов умножения имеет ряд важных отличительных признаков, делающих его уникальным и универсальным средством умножения (среди подобных ему способов). Рассмотрев разные способы умножения, я выявил, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный, и что есть другие способы, позволяющие выполнять умножение многозначных чисел, для использования которых знание всей таблицы умножения не обязательно, а значит более простые и доступные многим. Я надеюсь, что моя работа будет полезна учащимся нашей школы, поможет повысить уровень их математической подготовки, а также престиж нашей школы.

Слайд 21

На этом все! Спасибо за внимание!