Проект по алгебре "Тайны простых чисел"

Слайд 1

Слайд 2

Цель: Узнать «тайны» простых чисел и познакомиться с ними поближе. Задачи: Вспомнить что такое простые числа. Вспомнить некоторые их свойства. Узнать о числах-родственниках . Узнать о значении простых чисел. Познакомиться с теоремой о простых числах. Познакомиться с решетом Эратосфена. Провести опрос и понять популярность простых чисел у взрослых и детей (13-14 лет).

Слайд 3

Простые числа Простые числа- натуральные числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя- единицу и самого себя.

Слайд 4

Свойства простых чисел Любое натуральное число либо делится на простое число, либо взаимно просто с ним (т.е. НОД) Произведение натуральных чисел делится на простое число тогда, к огда хотя бы одно из них делится на это простое число. Палиндромические числа: 11, 101, 131, 151, 181 и др. Симметричные числа: 107-701, 113-311 и др. Это некоторые свойства простых чисел, которые мы знаем из курса шестого класса.

Слайд 5

Числа-родственники Числа-близнецы Числа-тройняшки Два простых числа, расстояния между к оторыми равно 2, и называются числами-близнецами. Например: (3 и 5), (5 и 7), (11 и 13) и т.д. Три простых числа, расстояние между которыми равно 2, и называют числами-тройняшками. Например: (3, 5, 7) и т.д.

Слайд 6

Для чего нужны простые числа? В природе и в нашей жизни простые числа используются повсюду: цикады выстраивают по ним свои жизненные циклы, часовщики применяют их для вычисления тиканья часов, а в авиационных двигателях с их помощью балансирует частота воздушных импульсов. Простые числа имеют фундаментальное значение для математики. Они являются структурными единицами теории чисел, своего рода «атомами умножения». Это связано с основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое число больше единицы можно представить в виде произведения конечного количества простых чисел, причём такое представление единственно. Также простые числа ведут к появлению новых интересных инструментов для расчётов, особенно для компьютерных вычислений. Кроме того, наличие большого списка простых чисел позволяет проверять теоремы, которые ещё не доказаны. Есть ещё одна причина их использования, связанная с шифрованием. Электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь – всё это защищено секретными кодами, непосредственно основанными на свойствах простых чисел. Простые числа распространены и в криптографии.

Слайд 7

Учёные, внёсшие вклад в математику о простых числах: Эратосфен (276-194 до н.э.) Евклид (330-275 до н.э.)

Слайд 8

Теорема Евклида Простых чисел бесконечно много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа. Существует множество доказательств этой теоремы. Мы рассмотрим один из самых простых на мой взгляд способов.

Слайд 9

Доказательство (от противного): Допустим, что простых чисел конечное множество, т.е. есть наибольшее простое число, назовём его P . Перемножим все простые числа от 2 до P и добавим 1: 2*3*5*7*11…* P +1 =M . Это число не делится на 2, на 3, на 5, на 7,…на Р, так как всегда есть остаток 1. Значит, или число М простое ( но оно больше «наибольшего» простого числа Р – противоречие! ), или оно составное, тогда оно должно делиться на некоторое простое число, больше чем Р, но это тоже противоречит предположению. Сделаем вывод: Простых чисел бесконечно много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа.

Слайд 10

Решето Эратосфена Решето Эратосфена - алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого числа N , который приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому. Название алгоритма говорит о принципе его работы, то есть решето подразумевает фильтрацию, в данном случае фильтрацию всех чисел за исключением простых. По мере обработки массива чисел нужные числа (простые) остаются, а ненужные (составные) исключаются.

Слайд 11

Как работает метод решета Эратосфена? Метод Эратосфена заключается в следующем. Сначала выписывают все числа от 2 до n . После этого вычёркиваются все числа, кратные 2, кроме самого числа 2. Например, если n =15, получим: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 Мы видим, что числа вычёркиваются через одно, причём, все оставшиеся числа, кроме 2, не делятся на 2, т.е. наименьший простой делитель наверняка больше 2. Первым оставшимся числом после 2 является число 3. Вычеркнем все числа, кратные 3, кроме самого числа 3 (т.е. вычёркиваем каждое третье число. Оставшиеся числа не делятся ни на 2, ни на 3 (кроме 2 и 3), получим: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 Числа оставшиеся после двух вычёркиваний (кроме самих 2,3,),не делятся ни на 2. ни на 3, т.е. их простые делители должны быть, по крайней мере, равны 5. Но наименьший простой делитель числа меньшего 15 не превосходит √15 , меньше 5. Значит, среди оставшихся чисел нет составных, все они простые . Итак, простые числа, меньше 15- это 2, 3, 5, 7, 11, 13 .

Слайд 12

Опрос! Опрос показал, что дети (13-14 лет) знают , что такое простые числа больше ,чем взрослые. Большинство взрослых знали что такое простые числа, но к сожалению забыли. Я провела опрос у моих одноклассников (13-14 лет) и у взрослых (старше 30 лет). По результатам опроса я составила диаграмму, для того чтобы сравнить результаты. Вопрос: Знаете ли Вы что такое простые числа?

Слайд 13

Вывод: Мы вспомнили что такое простые числа. Вспомнили некоторые свойства простых чисел из курса шестого класса. Узнали то, что есть числа-близнецы и числа-тройняшки. Познакомились с учёными, внёсшими вклад в математику о простых числах. Доказали теорему Евклида о простых числах. Познакомились с решетом Эратосфена и поняли принцип его работы. Провели опрос, сравнили результаты и поняли ч то дети (13-14 лет) знают что такое простые числа больше, чем взрослые. Большинство взрослых знали о них раньше, но к с ожалению забыли.

Слайд 14

Список используемой литературы: https://multiurok.ru / https://qna.habr.com / https:// lektsii.org/17-11457.html https://prog-cpp.ru/eratosfen / https://ru.wikipedia.org/wiki/ Простое_число https:// nplus1.ru/material/2015/11/06/twin-numbers https:// ds04.infourok.ru/uploads/ex/120d/00166cb4-d10058ec/img12.jpg https:// math.wikireading.ru/16 https:// postnauka.ru/longreads/155310 https://integral-russia.ru/2019/10/24/magiya-prostyh-chisel-primery-i-neozhidannye-otkrytiya / http://tmel.ru/prostye-chisla / https:// avatars.mds.yandex.net/i?id=786f93a9b86bc7587b1a83295f7d6365-5434064-images-thumbs&n=13

Слайд 15

Спасибо за внимание!