«Прогрессия в жизни баргузинцев»

МКУ «Управление образования администрации МО «Баргузинский район»

«Баргузинская средняя общеобразовательная школа»

Районная научная конференция школьников

«Шаг в будущее»

Направление исследовательской работы по алгебре и математическому анализу

Проект на тему

«Прогрессия в  жизни баргузинцев»

Исполнитель: Макин Андрей, ученик 10 «А» класса

Научный руководитель: Ухинова С.Б., учитель математики

2022 г.

Оглавление.

Введение ……………………………………………………………………………………….3

Глава 1.Понятие числовой последовательности. История возникновения. ........................5

Глава 2.Геометрические прогрессии в биологии……………………………………………7

Глава 3.Арифметические прогрессии в медицине, в технике, спорте и строительстве. . ..8

Глава 4. Новости, финансы…………………………………………………...............................9

Заключение…………………………………………………………………………………….12

Список литературы……………………………………………………………........................13

Приложение «Практические задачи по теме «Прогрессия»………………………………..14

Введение.

     Математика – часть нашей жизни, часть человеческой культуры. Овладение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности.    Я в  9 классе изучил арифметическую и геометрическую прогрессии: определение, научился находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. В каких жизненных ситуациях  применяются знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в жизни жителей моего села?   Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

 Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий в жизни баргузинцев.

Актуальность исследования : «Недостаточно только получить знание, надо найти ему приложение». (Иоганн Гёте).

Гипотеза исследования:  знания о прогрессии применяются в жизни баргузинцев.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

1.   Изучить содержание практических задач на прогрессии с практическим содержанием в учебном пособии.

2.   Выяснить:

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3.  Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  

4. Найти: задачи на применение прогрессий в нашей жизни.          

    Методы исследования:

Анализ школьного учебника по алгебре 9 класса, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

Практическая значимость: составление советов жителям села Баргузин.

 Новизна     Я составил ряд советов  друзьям и их родителям «Не попадись в ловушки!».

   Мною  проведен социологический опрос среди родителей своего класса, жителей села Баргузин. В качестве основных вопросов были: 1. Знакомо ли вам понятие « Прогрессия»?  2. Применяете ли вы тему «Прогрессии»  в своей жизни?  3. У вас есть кредит?  4. Для каких целей брали кредит? 5. В каких банках брали кредит? Получились следующие результаты: 94% опрошенных знают понятие «Прогрессия». А на следующий вопрос: применяете ли вы тему «Прогрессии»  в своей жизни?  39% ответили, что нет. У всех имеются кредиты. Наиболее распространенной целью кредита являются: приобретение жилья, покупка машины, бытовой техники и мебели, обучение детей в вузах. По результатам данного социологического опроса можно сделать вывод, что не все жители знают, что такое прогрессия, однако в их жизни есть применение.

Глава 1. Понятие числовой последовательности. История возникновения.

      Арифметическая прогрессия —   числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число. Имеет вид:  a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…[1, стр 212]

     Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.   Имеет вид:  b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,[1, стр 225]

    Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)[1, стр 212]

    Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. [2, стр 113]

     Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.). [3, стр 131]    

       В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.        1+2+3+4+…+98+99+100 =  (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия. [1, стр 219]

       О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. В результате получилось 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Для такого урожая необходимо поле, которое превосходит сушу земного шара в 28 раз. [4, стр 102]

     Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.

    Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».      

    Я провел исследование задач на прогрессии с практическим содержанием в учебнике

 Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир  № 713-756,763-810,817-864,870 -889, 896-921,1016-1043 (234 задач)

      Вывод исследования: практических  задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в данном учебнике всего лишь 2.

Рассмотрим примеры на прогрессии, связанные с практикой, в нашей жизни.

Глава 2. Геометрическая прогрессия в биологии.         

 Из учебника «Алгебра – 9» узнал, что семена в головке подсолнуха или ромашки, кедрового ореха расположены в виде спирали, их количество являются членами арифметической прогрессии. [1, стр 211]

   Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:  БАКТЕРИИ…     Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.  (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением. [1, стр 227]

Способность к размножению у бактерий очень велика. К примеру, бактерии Ковид – 19, новый штамм - омикрон. За сутки  в Бурятии составило 506 человек (информация из сводок по республике). Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д.

     Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.),   в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин),  в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.),  в коммунальном  хозяйстве и природоохранных  мероприятиях  (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен). [4]

ОДУВАНЧИК     “Потомство одного одуванчика за 10 лет может   покрыть пространство  в  15  раз больше суши земного шара”.   К. А. Тимирязев. [3, стр 241]

Задача: одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр  и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?  

Ответ: 1012 км2  

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места  на поверхности  суши земного шара?

Ответ:    нет, Sсуши = 148 млн км2  

ТЛЯ…….   Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,

одна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.  

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.  

Глава 3. Арифметические прогрессии в медицине, технике, спорте,  строительстве.

Оказывается, прогрессии применяются и в медицине.  Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

В технике… После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

В спорте … В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? 

Глава 4. Новости и финансы.

Новости быстро разбегаются по посёлку слухи, особенно плохие новости! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела все село: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: в нашем селе 5702 жителя. Один житель в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка? Если слух распространяется по и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

       Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

На самом деле распространение информации происходит гораздо быстрее, чем вот по данному решению.

      Я провел эксперимент в классе. Рассказал одну новость про себя однокласснице в субботу, вечером по телефону (покрасил волосы в рыжий цвет). Так, через 10 мин уже спрашивали меня о данном случае.

     Кредиты…Для обучения на платном отделении по специальности «Экономика» в техническом университете абитуриенту потребовался образовательный кредит. Он обратился в три банка. Банк «Омега» предложил 250тыс. на срок 5лет под 25% годовых, банк «Дельта» предложил 250тыс. рублей на срок 10 лет под 15% годовых, а банк «Тета» на срок 8 лет по 20% годовых.

Решение: данная зависимость строится по закону геометрической прогрессии. Для вычисления необходимой суммы нужно воспользоваться формулой сложных процентов. Необходимые вычисления вручную займут много времени, поэтому воспользуемся программой Excel. В банк «Омега» придётся вернуть 762 939руб, в банк «Дельта» - 1 011 389 руб., в банк «Тета» - 895 795руб. Отсюда вывод: лучше кредит взять в банке «Омега».

Вклады… Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

    Таким образом, я убедился, что арифметическая и геометрическая прогрессия существуют, и знания основ этой темы реально помогут человеку легко ориентироваться в жизни, не попадая в неприятные ситуации.

Применение прогрессий в жизни.

1. Финансовая пирамида. Например, «Финико».  Разберёмся в механизмах этих организаций. Финансовая пирамида – способ обеспечения дохода участникам структуры за счет постоянного привлечения денежных средств. Доход первым участникам пирамиды выплачивается за счет вкладов последующих участников. В большинстве случаев истинный источник получения дохода скрывается, а декларируется вымышленный или малозначимый. Подобная подмена является мошенничеством. Как правило, в финансовой пирамиде обещается высокая доходность, которую невозможно поддерживать длительное время, а погашение обязательств пирамиды перед всеми участниками является заведомо невыполнимым. Закономерным итогом такой ситуации является банкротство проекта и убытки последних инвесторов.

Человек собирается организовать финансовую пирамиду. Представим, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. В первом кругу участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, на четвертом – 15 000, на пятом – 75 000, на шестом – 375 000, на седьмом – 1 875 000, на восьмом – 9 375 000, на девятом – 46 875 000, на десятом – 234 375 000 человек. Численность населения  Баргузина составляет 5706 человек. Следовательно, на четвертом кругу количество участников финансовой пирамиды превысит численность населения нашего села. Так что участник, включившийся на пятом или десятом круге, уже ничего не получит.

Применение понятия на практике.  

Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

Прогрессии - оправдание войн

Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Мальтус считал, для того, чтобы избавиться от лишнего населения, необходимы войны.

Заключение.

В процессе исследования я установил, что сами по себе прогрессии известны так давно.

Убедился в том, что задачи на прогрессии были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

Заметил, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Пришел к выводу, что всё, что увеличивается в геометрической прогрессии, растёт очень быстро.. Очень наглядными примеры из биологии.

Обнаружил, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).

Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, увидел, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями. Например, рассчитывать платежи по кредиту, ведь почти каждый взрослый россиянин берет кредиты. И нам, заемщикам, следует быть предельно внимательными к условиям договора. Может оказаться, что декларируемая процентная ставка на самом деле рассчитывается не от остатка задолженности по кредиту, а от полученной суммы. Так же, как и в других случаях с получением кредита, клиент может столкнуться с наличием скрытых комиссий и дополнительных требований (необходимость страхования жизни и т. п.). Но в любом случае возможность получить кредит наличными в банке дает дополнительные шансы желающим срочно сделать ремонт в квартире, организовать семейное торжество или же приобрести необходимую вещь, и даже автомобиль.

Список литературы:

1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014.
2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.
3. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1989.
4. https://terra-ecology.ru/product-category/biopreparaty/?utm_source

Советы жителям села Баргузин:

1. Посади хотя бы 1 дерево, т.к. прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии.
2. Кормите воробьев, синиц, ведь они уничтожают вредных насекомых.
3.  Не попадай в неприятные ситуации  при оформлении кредита! Помните, что надо хорошо изучить условия, предлагаемые банком.
4. Не попади в уловку финансовых пирамид: любое вложение денег – это обогащение одного и твоя потеря!
5. Помните, что слухи распространяются по законам геометрической прогрессией!