Пропорции в искусстве.

                               Пропорции в искусстве.

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Естественно возникает вопрос: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Какие «вычисления» проводит наш мозг, оценивая привлекательность? Существуют ли идеальные пропорции?

Красота картины, красота храма, окружающей природы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту картины с красотой растения? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного среди самых различных объектов

Меня очень заинтересовал вопрос: как математика влияет на восприятие красоты окружающего нас мира, возможно ли средствами математических вычислений и расчетов научить людей видеть прекрасное. В своей работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.

Цель проекта

1.  Изучить, какие математические методы великие художники и архитекторы использовали для создания таких произведений искусств, которые впечатляли и завораживали людей.

2. Доказать, что математика присутствует в произведениях искусств

Задачи:

1.Изучить, что же такое пропорции в искусстве и как они применяются.

2. Изучить понятие «золотое сечение».

3.Рассмотреть применение «золотого сечения » в искусстве.

4. Применить на практике правило золотого сечения в фотографии.

Продукт

Применение  на практике правила  золотого сечения в фотографии.

Пропорции в искусстве

В математике пропорцией (от лат. proportio – соотношение, соразмерность),  называют равенство двух отношений:

а : в = с : d

Пропорциональность в искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных элементов художественного произведения, а также отдельных элементов и всего произведения в целом и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Соблюдение пропорций и их значение столь велико и значимо, что без них практически невозможно обойтись не только в изобразительном искусстве и архитектуре, но и в науке, технике, медицине и многих других сферах жизнедеятельности человека. Вот почему такое пристальное внимание уделяют изучению столь важного и необходимого предмета, как пропорция. Хорошие пропорции в рисунке предполагают наличие полного сходства с изображаемым предметом. Иначе говоря, чем точнее определены пропорции предмета на рисунке, тем большего сходства с натурой достигает его изображение. Следует помнить, что все тела, а также и их части должны сравниваться или соизмеряться друг с другом по признаку пропорциональных отношений.

По мнению древних греков, гармония есть связь различных частей в единое целое. Для того чтобы получить это единое целое, необходимо связать части между собой таким образом, чтобы они представляли собой законченное единство.

Пропорции в изобразительном искусстве.

 Пропорции являются основой изобразительного искусства. В основе определения пропорций лежит метод сравнения. В художественной практике существует известный метод определения пропорций, называемый визированием.

Как им пользоваться?  Берется карандаш и на вытянутой руке замеряется длина или ширина предмета и затем, все еще на вытянутой руке, это расстояние, которое замеряли, прикладывают к расстоянию, с которым сравнивают, и смотрят, сколько раз меньшее откладывается в большем. Полученное соотношение и переносится на рисунок.

В настоящем мире, практически, ничто не обходится без пропорций. Первое, о чем  думают многие при этом слове это математическое соотношение a:b=c : d, которое используется для решения математических задач. Но для художников пропорции – это в первую очередь то, на чем держится весь рисунок. В природе царствует гармония, хорошо приглядевшись во, вроде бы, обычные вещи можно заметить идеальные соотношения величин. Без правильного соотношения пропорций в рисунке, результат не гармоничен и очень далек от натуры. Тот же принцип действует и в скульптуре, правильные соотношения - основа всего. В архитектуре на пропорции полагаются дважды. Во-первых, необходимо учесть все соотношения размеров, если это сделать неправильно, здание может не выстоять и рухнуть. Во-вторых, чтобы здание выглядело красиво, и в его виде присутствовала гармония, необходимо учесть соотношения архитектурных элементов в виде здания. В отличие от живописи и скульптуры, в архитектуре определять пропорции на глаз ни в коем случае нельзя.

Золотое сечение.

История золотого сечения очень интересна и увлекательна. Она подтверждает, что тайны природы скрыты и ревниво ею охраняются. Тайна золотого сечения — не исключение её пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, Созданное давно Золотое сечение до сих пор волнует умы многих ученых.

С давних времен люди стремились познать законы бытия, то есть понять, как организован и устроен природой наш мир. Некоторые философы и ученые, в частности Пифагор, (древнегреческий философ и математик VI в. до н. э.)считали, что мир устроен по строгим геометрическим законам и в основе мироздания лежит число. Принято считать, что в научный обиход понятие о золотом делении так же ввел Пифагор. Есть предположение, что он свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона действительно свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Сам Пифагор фактически был основателем секты, поклоняющейся числам. Многие слышали о системе Пифагора, когда по дате рождения определяется характер и судьба человека. Пифагорейцы старались открыть всевозможные геометрические закономерности, показывающие роль числа в мире. В частности теорема Пифагора была одним из таких открытий. 

Одной из задач древних было деление отрезка на 2 неравные части так, чтобы длина большего отрезка, относилась к длине меньшего так же, как длина всего отрезка к длине большего. Или эту пропорцию можно перевернуть и найти отношение меньшего к большему.

a : b = b : c  или

с : b = b : а.

 Эту задачу решали как геометрически с помощью циркуля и линейки, так и алгебраически.

В результате  вычислили, что отношение большего к меньшему  = 1, 618…, а меньшего к большему = 0,618

Величину золотой пропорции принято обозначать буквой Фи; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.

В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются композиции, содержащие пропорции, близкие к золотому сечению

Что же такое «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» простыми словами?..

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение».

В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением. Интерес к нему необычайно возрос в эпоху Возрождения (XV – XVII). В 1509 году итальянский математик, монах Лука Пачоли (1445 – ок. 1514), друг Леонардо да Винчи (1452 – 1519), написал целую книгу «О божественной пропорции». Пачоли назвал гармоническое отношение божественной пропорцией («SectioDivina»).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Золотое сечение можно найти, рассматривая некоторые геометрические фигуры. Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник

Пятиконечная звезда, получаемая при последовательном соединении через одну всех вершин правильного пятиугольника (пентаграмма), всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно ее выбрали символом своего союза. В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.

 
Бывает и "золотой треугольник". На рисунке с пентаграммой это равнобедренные треугольники FEG, EAC, BEC, у которых отношение длины боковой стороны к длине основания равняется Ф. Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при его основании равны длине самого основания.

Представление о золотом сечении и "золотых" фигурах будет неполным, если не сказать о спирали. Если посмотреть на раковину улитки, можно заметить, что она закручена по очень красивой спирали, которая близка к так называемой логарифмической спирали. Графическое приближение "золотой спирали" можно построить, соединив дугами точки квадратов, отсеченных от золотого прямоугольника при построении новых золотых прямоугольников.

 

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

Золотое сечение в живописи.

Каждый рисующий определяет отношения величин и, не удивляйтесь, отличает среди них отношения «золотого cечения».  Такой характер зрительного восприятия подтверждается многочисленными опытами, проводившимися в разное время в ряде стран мира.

Приступая к новой работе, каждый художник начинает всегда с того, что мысленно пытается определить на холсте ту основную точку, куда должны будут стягиваться, как к невидимому магниту, все сюжетные линии картины. Эта же точка - главная и смысловая - должна присутствовать и в фотографии, как бы разворачивая действие вокруг главного объекта в кадре.

Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют их в своих произведениях.

Почему же золотая пропорция так влияет на зрительное восприятие?

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина – горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников получило название “золотое сечение” картины.

Немецкий психолог Густав  Фехнер в 1876 г. провел ряд экспериментов, показывая мужчинам и женщинам, юношам и девушкам, а также детям нарисованные на бумаге фигуры различных прямоугольников, предлагая выбрать из них только один, но производящий на каждого испытуемого самое приятное впечатление. Все выбрали прямоугольник, показывающий отношение двух его сторон в пропорции«золотого сечения».

В живописи, фотографии, дизайне золотое сечение очень часто используется в виде классических приемов композиции, о чем вы можете прочитать, заглянув на любой сайт, посвященный этим видам искусства. Основная рекомендация заключается в следующем. Объект, являющийся центральной фигурой в композиции, далеко не всегда должен располагаться в центре. Определенные точки в композиции автоматически привлекают внимание. Таких точек 4, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев картины. Нарисовав сетку, получим эти точки в местах пересечения линий (см. фотографию).

Опыты иного рода продемонстрировал перед студентами нейрофизиолог из США Уоррен Мак-Каллок в 40-х годах двадцатого века, когда попросил нескольких добровольцев из числа будущих специалистов привести продолговатый предмет к предпочтительной форме. Студенты некоторое время работали, а затем вернули профессору предметы. Почти на всех из них отметки были нанесены точно в районе отношения «золотого сечения», хотя молодым людям совершенно не было ничего известно об этой «божественной пропорции». Мак-Каллок потратил два года на подтверждение этого феномена, так как сам лично не верил, что все люди выбирают эту пропорцию или устанавливают ее в любительской работе по изготовлению всевозможных поделок.

Многие люди, сами не рисовавшие, с поразительной точностью улавливают даже малейшие неточности в изображении предметов в графических изображенияхи в живописных картинах.

Это, вероятно, признаки эстетического чувства человека, которое «не согласно» с разрушением гармонии формы и пропорций.

Не с таким ли требованием чувства прекрасного связывается феномен «золотой пропорции» (как только не называют эту пропорцию —«божественной» «золотой» «золотым сечением», «золотым числом»)?

Не зря, видно, во все века цивилизации  человечества «золотая пропорция» возводилась в ранг главного эстетического принципа.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории.

Сам Леонардо да Винчи говорил:

“Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образцов зеркального письма. Портрет  Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.  Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо- дель Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Моны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

В чём причина очарования «Джоконды»? Поиски ответа на этот вопрос продолжаются. Картина художника привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух золотых треугольниках, повёрнутых друг к другу своими основаниями.

Гармонический анализ картины показывает, что зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бёдрами золотого треугольника делят их в пропорции золотого сечения. Таким образом, Леонардо использовал в своей работе не только принцип симметрии, но и золотое сечение.

Неоднократно делались попытки провести гармонический анализ лица с использованием золотого сечения. Все исследователи сходятся на том, что именно золотое сечение и есть главная причина красоты женского лица. Женское лицо отображает бесконечное число эмоций, которые являются интегральным элементом женской красоты. Доказано, что женское лицо наиболее отвечает пропорциям золотого сечения, когда женщина улыбается. Женщина воспринимается более красивой с тёплой улыбкой, чем с жёстким взглядом, наполненным гневом, надменностью и пренебрежением (приложение 3).

Самая знаменитая, много раз изученная и описанная на всех языках мира «Джоконда» до сих пор остаётся и самой загадочной картиной великого да Винчи.

Золотое сечение в архитектуре.

Вся история архитектуры – это история поисков гармонического единства «функции – конструкции – формы». Но все-таки одному из начал – красоте – зодчие придают особое значение. Памятник архитектуры может стать непрочным и бесполезным, но памятник архитектуры не может быть некрасивым, ибо в таком случае он из памятника превращается в строение.

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Архитектурные пропорции – это математика зодчего. А математика – это универсальный язык науки, поэтому мы можем сказать, что пропорции – это универсальный язык архитектуры. По сравнению с композитором или скульптором архитектор находится в более сложном положении, ибо на пути к гармонии он должен заботиться не только о «красоте», но также и о «пользе» и «прочности». К сожалению, ни древние египтяне, ни древние греки, ни средневековые каменщики, ни плотники Древней Руси не сохранили для потомков секреты своих пропорций. Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве – это знаменитые «Десять книг об архитектуре» римского архитектора и инженера Витрувия, время написания которых относят к 27 – 14 годам до н. э. Замечательный зодчий и теоретик И. В. Жолтовский (1867 – 1959) считал, что гармония в архитектуре обретает математическое выражение в законе золотого сечения.

Стремление познать тайны древних пропорций было огромным. Естественно, что каждый автор стремился проверить свою теорию на пропорциях Парфенона(V в. до н. э.).

 Парфенон был и остается совершеннейшим из архитектурных сооружений. Главный вопрос о том, какой системой пропорций пользовался гениальный создатель Парфенона зодчий Иктин, пока остается открытым. Разнообразные теории, несмотря на внешнее различие, дают золотое сечение в главных вертикалях Парфенона.

Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада .

Почему же закон золотого сечения так часто проявляется в архитектуре? Этому есть вполне рациональное математическое объяснение. Гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношения между размерами составляющих его частей.

Золотое сечение в скульптуре.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Во все времена, от наскальной живописи в Сахаре до полотен Сальвадора Дали, человек был и остается главной темой изобразительного искусства. С древнейших времен пропорции человека составляли предмет изучения художников. Ими руководила необходимость в каких-то числовых или геометрических формах передать свой опыт преемникам. Так египтяне исходили из какой-то условной единицы измерения, например длины среднего пальца, которую затем целое число раз «укладывали» в ту или иную часть изображения человека.

Древнегреческий скульптор и теоретик искусства 2-й половины 5 века до н.э. Поликлет рост человека принимал за единицу, затем фиксировал определенную часть тела, какова бы она ни была по размерам, и находил их отношение. Великий художник и мыслитель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи в построении пропорций человека исходил прежде всего из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии, а немецкий живописец, основоположник немецкого Возрождения, Альбрехт Дюрер с такой скурпулезностью проводил свои измерения, что в конце концов довел разбиение человеческого тела до 1/ 1800 части его длины, т. е. до величины, не превышающей одного миллиметра.

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя “Дорифор” изваянная Поликлетом в V веке до н.э.

Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с золотым сечением =0,618….

Венера Милосская, статуя богини любви Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства. Она также построена на пропорциях золотого сечения(приложение 5 ).

Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФОТОГРАФИЯ

Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 от краев кадра. Можно это проиллюстрировать следующим примером.

Вот фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.


Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные "зрительные центры", в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения. Перенесем нашего кота в точки "зрительных центров".

Принцип «божественной пропорции» применительно к фотоискусству можно выразить так — центральный объект  снимка должен быть расположен или вдоль прямых, которые разделяют кадр в «золотом сечении», либо в одном из зрительных центров.

Правило золотого сечения в фотографии применяется следующим образом: если присутствует очевидный центр композиции (одиноко стоящее дерево, дом, солнце на горизонте, роза на столе), вам нужно расположить его на одной из четырех точек пересечения решетки. Располагая  объекты таким образом, вы получите наиболее выигрышную композицию.

Заключение.

Итак, мы выяснили, что пропорции необходимы не только в математике, но и в искусстве для получения красивого, гармоничного  результата,  и не важно что это: скульптура, картина или здание, ведь пропорции – это гармония, а грамотный рисунок — это прежде всего изображение пропорций предмета.

     Мы пришли к выводу, который заключается в том, что :

  1. Математика лежит в основании красоты и поэтому составляет опору для многих видов искусств, прежде всего изобразительного.

2. Пропорция предусмотрена мудрой природой и учитывать ее необходимо.

 Наука и искусство – два высших начала культуры. Их высшая цель – быть дополняющими друг друга. Из многих искусств, допускающих математическое описание, я рассмотрела  несколько: скульптура, живопись, архитектура и фотография. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.

Таким образом, в ходе своей работы я изучила литературу по данному вопросу, познакомилась с произведениями искусства, и пришла к выводу:

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека – формула золотого сечения.

При выполнении проекта я выяснила, что действительно существует «формула красоты», в которой и проявляется взаимодействие и взаимообогащение двух великих сфер человеческой культуры – науки и искусства. В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция».

 Всегда интересно познавать что-то новое, открывать для себя то, что может быть увлекательным. Такой для меня стала эта работа. Данное исследование позволило мне по-новому взглянуть на искусство фотографии . Я убедилась в том, насколько наука тесно связана с искусством и как одно гармонично дополняет другое.