Путь к фракталам

Слайд 1

Слайд 2

« Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг ». Ф.Хаусдорф

Слайд 4

Термин фрактал образован от латинского fractus , что в переводе означает дробный, состоящий из частей, фрагментов . Он был впервые использован для описания самоподобных структур в работе франко-американского математика Бенуа Мандельброта "Фракталы" в 1975 году. Определение фрактала , данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" . Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Бенуа Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" - "Фрактальная геометрия природы". Бенуа Мандельброт

Слайд 5

Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами и отверстиями, шершавых и т.п. объектов… Между тем именно "неправильные" объекты составляют подавляющее большинство объектов в природе. «Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой». Бенуа Мандельброт «Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Примерами фракталов могут служить поры в хлебе, дырки в некоторых сортах сыра, частицы в порошках и т.д. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции». Х. О. Пайген и П. Х. Рихтер

Слайд 6

«Фракталы» в природе

Слайд 7

Зачем нужны фракталы? Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике Во-первых, это фрактальное сжатие изображений Во-вторых, построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении

Слайд 8

Зачем нужны фракталы? С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования; описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее.

Слайд 9

Ф ракталы — это язык геометрии Проблема изучения самоподобных объектов, с необычными, с точки зрения классической математики свойствами, была рассмотрена еще в конце XIX – начале XX века в работах Жюлиа, Пуанкаре, Пеано, Кантора, Хаусдорфа и других известных ученых. Но именно Мандельброт был первым, кому удалось объединить разрозненные научные результаты и показать их практическую значимость. Мандельброт положил начало систематическому изучению фракталов. Своими яркими и фундаментальными работами он пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии. «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов». Исаак Ньютон

Слайд 10

Классические фракталы Множество Кантора Кривая Коха Треугольник и ковер Серпиньского Множество Аполлона Дерево Пифагора Множество Жюлиа Множество Мандельброта Завершить показ

Слайд 11

Множество Кантора Немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) построил один из старейших фракталов - Канторово множество (на Западе его еще называют "пыль Кантора") в 1883 году. На отрезке [0,1] удаляется интервал (1/3,1/3), составляющий его среднюю треть; далее из каждого оставшегося отрезка [0,1/3] и [2/3,1] также удаляется интервал, составляющий его среднюю треть; этот процесс удаления интервалов продолжается неограниченно; множество точек отрезка [0,1], оставшееся после удаления всех этих интервалов, и называется Канторово множество. Выбор фрактала Алгоритм построения

Слайд 12

Графическое представление на экране компьютера Пыль Кантора Гребень Кантора Выбор фрактала

Слайд 13

Кривая Коха Кривая Коха была описана в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (1870-1924) . Единичный отрезок делим на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без средней трети; в результате образуется ломанная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3; на следующем шаге повторяем описанную выше операцию для каждого из четырех получившихся звеньев; этот процесс продолжается неограниченно; предельная кривая и есть кривая Коха. Выбор фрактала Алгоритм построения

Слайд 14

Графическое представление на экране компьютера Снежинка Коха Крест Коха Выбор фрактала Остров Коха Кривая Коха

Слайд 15

Треугольник Серпиньского В 1915 году польский математик Вацлав Серпиньский (1882-1969) придумал красивый фрактальный объект – треугольник Серпиньского (его еще называют салфеткой или решетом Серпиньского). Процесс построения начинается с равностороннего треугольника. На 1-ом шаге делим стороны треугольника пополам и соединяем середины сторон отрезками. В результате получаем три новых равносторонних треугольника, соединенных вершинами. Далее применяем аналогичное преобразование к каждому из образованных треугольников. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим фрактал – треугольник Серпиньского. Выбор фрактала Алгоритм построения

Слайд 16

Ковер Серпиньского Вацлав Серпиньский (1882-1969) предложил модель еще одного красивого фрактала – квадратного ковра Серпиньского. Квадрат делится на девять равных квадратов, затем вырезается центральный квадрат. С каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Выбор фрактала Алгоритм построения

Слайд 17

Графическое представление на экране компьютера Салфетка Серпиньского Ковер Серпиньского Выбор фрактала

Слайд 18

Множество Мандельброта Множество Мандельброта Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z [i+1] = Z [i] * Z [i] + C , Выбор фрактала

Слайд 19

Выводы Геометрические фракталы являются наиболее простыми в получении и самыми наглядными. Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при их построении поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если провести (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований – получится геометрический фрактал. Алгебраические фракталы отличаются от геометрических в том смысле, что они бесконечно сложные и их невозможно создать без помощи компьютера, но, при этом, они могут быть сгенерированы очень простой формулой. В отличие от геометрических фракталов, алгебраические фракталы не вычисляются за 5-10 итераций. Практически каждая точка на экране – отдельный фрактал. Но самое удивительное, что модели классических (геометрических и алгебраических) фракталов получаются на компьютере очень быстро. Программы, реализующие их построение, просты.

Слайд 20

Теория фракталов, без сомнения имеет право на существование, так как уже доказала свою пользу в ряде прикладных областей. Начните свой путь к фракталам Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму. В заключение

Слайд 21

Пыль Кантора DECLARE SUB RIS (X, Y, SIZE, CL) REM Программа построения Пыли Кантора SCREEN 12 CLS X = 30 Y = 130 SIZE = 600 CL = 10 LOCATE 3, 30 PRINT "Пыль Кантора" CALL RIS (X, Y, SIZE, CL) END SUB RIS (X, Y, SIZE, CL) MIN = 1 IF SIZE <= MIN THEN GOTO 1 S = SIZE / 3 LINE (X, Y)-(X + SIZE, Y + 5), CL, BF CALL RIS (X, Y + 20, S, CL) CALL RIS (X + S * 2, Y + 20, S, CL) 1 : END SUB

Слайд 22

Гребень Кантора DECLARE SUB RIS (X, Y, SIZE, CL) REM Программа построения Гребня Кантора SCREEN 12 CLS X = 30 Y = 130 SIZE = 600 CL = 13 LOCATE 3, 30 PRINT "Гребень Кантора" CALL RIS (X, Y, SIZE, CL) END SUB RIS (X, Y, SIZE, CL) IF SIZE <= 1 THEN GOTO 1 S = SIZE / 3 LINE (X, Y)-(X + SIZE, Y), CL IF SIZE >= 600 THEN GOTO 2 LINE (X, Y)-(X, Y - 20), CL LINE (X + SIZE, Y)-(X + SIZE, Y - 20), CL 2 : CALL RIS (X, Y + 20, S, CL) CALL RIS (X + S * 2, Y + 20, S, CL) 1 : END SUB

Слайд 23

Кривая Коха DECLARE SUB RIS (X1, Y1, X2, Y2, N, CL) REM Программа построения Кривой Коха SCREEN 12 CLS X1 = 0 Y1 = 350 X2 = 640 Y2 = Y1 N = 6 CL = 3 LOCATE 3, 30 PRINT "Кривая Коха" CALL RIS(X1, Y1, X2, Y2, N, CL) END SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) IF N = 1 THEN LINE (X0, Y0)-(XN, YN), CL: GOTO 1 LX = XN - X0 LY = YN - Y0 SX = X0 + XN SY = Y0 + YN L = SQR(LX * LX + LY * LY) H = L / (2 * SQR(3)) YL = LY / L XL = LX / L X 1 = X 0 + LX / 3 Y1 = Y0 + LY / 3 X2 = SX / 2 + H * YL Y2 = SY / 2 - H * XL X 3 = X 0 + 2 * LX / 3 Y3 = Y0 + 2 * LY / 3 CALL RIS(X0, Y0, X1, Y1, N - 1, CL) CALL RIS(X1, Y1, X2, Y2, N - 1, CL) CALL RIS(X2, Y2, X3, Y3, N - 1, CL) CALL RIS(X3, Y3, XN, YN, N - 1, CL) 1 : END SUB

Слайд 24

Снежинка Коха DECLARE SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) REM Программа построения Снежинки Коха SCREEN 12 CLS N = 1 CL = 9 LOCATE 3, 35 PRINT "Снежинка Коха" X0 = 170 Y0 = 320 XN = 320 YN = 60 CALL RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 320 Y0 = 60 XN = 470 YN = 320 CALL RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 470 Y0 = 320 XN = 170 YN = 320 CALL RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) END SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) IF N = 1 THEN LINE (X0, Y0)-(XN, YN), CL: GOTO 1 LX = XN - X0 LY = YN - Y0 SX = X0 + XN SY = Y0 + YN L = SQR (LX * LX + LY * LY) H = L / (2 * SQR (3)) YL = LY / L XL = LX / L X 1 = X 0 + LX / 3 Y1 = Y0 + LY / 3 X2 = SX / 2 + H * YL Y2 = SY / 2 - H * XL X 3 = X 0 + 2 * LX / 3 Y3 = Y0 + 2 * LY / 3 CALL RIS (X0, Y0, X1, Y1, N - 1, CL) CALL RIS (X1, Y1, X2, Y2, N - 1, CL) CALL RIS (X2, Y2, X3, Y3, N - 1, CL) CALL RIS (X3, Y3, XN, YN, N - 1, CL) 1 : END SUB

Слайд 25

Остров Коха DECLARE SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) REM Программа построенияОстрова Коха SCREEN 12 CLS N = 2 CL = 11 LOCATE 3, 35 PRINT "Остров Коха" X0 = 170 Y0 = 320 XN = 320 YN = 60 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 320 Y0 = 60 XN = 470 YN = 320 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 470 Y0 = 320 XN = 170 YN = 320 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) END SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) IF N = 1 THEN LINE (X0, Y0)-(XN, YN), CL: GOTO 1 LX = XN - X0 LY = YN - Y0 SX = X0 + XN SY = Y0 + YN L = SQR(LX * LX + LY * LY) H = L / (2 * SQR(3)) YL = LY / L XL = LX / L X 1 = X 0 + LX / 3 Y1 = Y0 + LY / 3 X2 = SX / 2 - H * YL Y2 = SY / 2 + H * XL X 3 = X 0 + 2 * LX / 3 Y3 = Y0 + 2 * LY / 3 CALL RIS(X0, Y0, X1, Y1, N - 1, CL) CALL RIS(X1, Y1, X2, Y2, N - 1, CL) CALL RIS(X2, Y2, X3, Y3, N - 1, CL) CALL RIS(X3, Y3, XN, YN, N - 1, CL) 1 : END SUB

Слайд 26

Крест Коха DECLARE SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) REM Крест Коха SCREEN 12 CLS N = 6 CL = 14 LOCATE 3, 35 PRINT "Крест Коха" X0 = 170 Y0 = 80 XN = 470 YN = 80 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 470 Y0 = 80 XN = 470 YN = 380 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 470 Y0 = 380 XN = 170 YN = 380 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) X0 = 170 Y0 = 380 XN = 170 YN = 80 CALL RIS(X0, Y0, XN, YN, N, CL) END SUB RIS (X0, Y0, XN, YN, N, CL) IF N = 1 THEN LINE (X0, Y0)-(XN, YN), CL: GOTO 1 LX = XN - X0 LY = YN - Y0 SX = X0 + XN SY = Y0 + YN L = SQR(LX * LX + LY * LY) H = L / (2 * SQR(3)) YL = LY / L XL = LX / L X 1 = X 0 + LX / 3 Y1 = Y0 + LY / 3 X2 = SX / 2 - H * YL Y2 = SY / 2 + H * XL X 3 = X 0 + 2 * LX / 3 Y3 = Y0 + 2 * LY / 3 CALL RIS(X0, Y0, X1, Y1, N - 1, CL) CALL RIS(X1, Y1, X2, Y2, N - 1, CL) CALL RIS(X2, Y2, X3, Y3, N - 1, CL) CALL RIS(X3, Y3, XN, YN, N - 1, CL) 1 : END SUB

Слайд 27

Салфетка Серпиньского DECLARE SUB RIS (X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, N, CL) DECLARE SUB TR (X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, CL) REM Программа построения Салфетки Серпиньского SCREEN 12 CLS X1 = 320 Y1 = 50 X2 = 90 Y2 = 440 X3 = 550 Y3 = 440 N = 5 LOCATE 2, 30 PRINT "Салфетка Серпиньского" CL = 6 CALL TR (X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, CL) DRAW "BD5 P6,6" CL = 15 CALL RIS (X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, N, CL) END SUB RIS (X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, N, CL) IF N <= 0 THEN GOTO 1 X1N = (X1 + X2) / 2 Y1N = (Y1 + Y2) / 2 X2N = (X2 + X3) / 2 Y2N = (Y2 + Y3) / 2 X3N = (X3 + X1) / 2 Y3N = (Y3 + Y1) / 2 CALL TR (X1N, Y1N, X2N, Y2N, X3N, Y3N, CL) DRAW "BF5 P15,15" CALL RIS (X1, Y1, X1N, Y1N, X3N, Y3N, N - 1, CL) CALL RIS(X1N, Y1N, X2, Y2, X2N, Y2N, N - 1, CL) CALL RIS (X3N, Y3N, X2N, Y2N, X3, Y3, N - 1, CL) 1 : END SUB SUB TR (X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, CL) LINE (X1, Y1)-(X2, Y2), CL LINE (X2, Y2)-(X3, Y3), CL LINE (X3, Y3)-(X1, Y1), CL END SUB

Слайд 28

Ковер Серпиньского DECLARE SUB RIS (X1, Y1, X2, Y2, N, CL) REM Программа построения Ковра Серпиньского SCREEN 12 CLS X1 = 120 Y1 = 50 X2 = 520 Y2 = 450 N = 4 LOCATE 2, 30 PRINT "Ковер Серпиньского" CL = 9 LINE (X1, Y1)-(X2, Y2), CL, BF CL = 15 CALL RIS (X1, Y1, X2, Y2, N, CL) END SUB RIS (X1, Y1, X2, Y2, N, CL) IF N <= 0 THEN GOTO 1 X1N = (2 * X1 + X2) / 3 Y1N = (2 * Y1 + Y2) / 3 X2N = (X1 + 2 * X2) / 3 Y2N = (Y1 + 2 * Y2) / 3 LINE (X1N, Y1N)-(X2N, Y2N), CL, BF CALL RIS (X1, Y1, X1N, Y1N, N - 1, CL) CALL RIS (X1N, Y1, X2N, Y1N, N - 1, CL) CALL RIS (X2N, Y1, X2, Y1N, N - 1, CL) CALL RIS (X1, Y1N, X1N, Y2N, N - 1, CL) CALL RIS (X2N, Y1N, X2, Y2N, N - 1, CL) CALL RIS (X1, Y2N, X1N, Y2, N - 1, CL) CALL RIS (X1N, Y2N, X2N, Y2, N - 1, CL) CALL RIS (X2N, Y2N, X2, Y2, N - 1, CL) 1 : END SUB