ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ В СРЕДЕ MICROSOFT EXCEL

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ В СРЕДЕ MICROSOFT EXCEL

Автор: Пилипенко Дэниил Владимирович, студент 3 курса ГБПОУ МО «Серпуховский колледж» г. Серпухов Московской области.

Научный руководитель: Соколова Марина Анатольевна, преподаватель специальных дисциплин ГБПОУ МО «Серпуховский колледж» г. Серпухов Московской области.

Аннотация.

В данной статье рассматривается численные методы решения определенных интегралов методом трапеций, с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

Annotation.

The article shows numerical methods for solving definite integrals using the trapezoidal rule via Microsoft Excel spreadsheets.

Актуальность

Задача вычисления определенных интегралов появляется во многих областях прикладной математики, при решении практических задач. В большинстве случаев не удается найти аналитические формулы, выразить определенный интеграл в виде алгебраических и трансцендентных функций. Даже если аналитическая функция находится, то она получается более сложной, поэтому вычислять интеграл с её помощью значительно труднее, чем другими способами. Иногда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных данных. Большинство определенных интегралов не могут решиться с помощью точных методов или путем аналитических преобразований, на практике их решают только численными методами.

Задача нахождения определенного интеграла численными методами считается решенной, если они вычислены с заданной степенью точности. В своей работе я буду проводить вычисление определенного интеграла методом трапеций, с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

Объект исследования: определенные интегралы.

Предмет исследования: методы решения определенных интегралов.

Цель работы: изучить методы решения определенных интегралов; вычислить определенный интеграл методом трапеций в среде Microsoft Excel.

Задачи работы:

1. Изучить и провести анализ литературы, интернет-ресурсов теоретической и практической основы численных методов решения определенных интегралов;

2. Исследовать различные численные методы решения определенных интегралов;

3. Вычислить определенный интеграл методом трапеций в среде Microsoft Excel.

Введение

Здесь речь пойдет об одной из самых распространенных операций – вычислении определенного интеграла . Самый общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию  какой-либо другой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически. Тогда для решения задачи строим  с оценкой погрешности и полагаем приближенно  с очевидной оценкой погрешности .

Введем на отрезке  сетку , , где , и таблицу значений , . Рассмотрим самый простой вариант построения функции , приводящий к широко распространенной формуле трапеций.

При этом функция   строится как кусочно-линейная интерполяция значений  ,   на равномерной сетке с шагом . Тогда =.

Формулы такого рода () называют механическими квадратурами,  – коэффициентами (весами) квадратуры,  – ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции . Если она на  имеет первую производную, ограниченную числом , то , и погрешность формулы трапеций не превосходит . Если  на    имеет вторую производную, ограниченную числом , то погрешность формулы итераций не превосходит , поскольку .

Однако теоретические оценки погрешностей не очень популярны среди практиков. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью , то мало кто сначала оценит третью производную функции  и вычислит шаг сетки . Дело в том, что сама эта оценка завышена и завышено значение константы . Кроме того, само вычисление  может быть проблематичным, особенно если  задана некоторым сложным образом.

Поступают иначе. Вычисляя интеграл с небольшим числом узлов , получают его значение ; вычисляя интеграл с удвоенным , получают . Если модуль  (где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют  и т. д. Нужно иметь в виду, что для гладких функций  часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.

Постановка задачи

Дано: f(x) = 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Вывод

Я изучил методы решения определенных интегралов численными методами с помощью электронных таблиц. В данной работе был рассмотрен   метод расчета интеграла – метод трапеций. Результаты расчетов были сведены в таблицу. Вследствие чего было выяснено, что метод трапеций расчета интегралов является численным методом. Точное решение находится по формуле Ньютона-Лейбница.Я сделал вывод, что электронные таблицы – это очень мощный компьютерный инструмент, позволяющий проводить сложные расчеты, с заданной точностью.

Список использованных источников

1.  Основы компьютерной грамотности: учебное пособие / Кривенкова С. В., Радионова Л. К., Соболенко Н. А., Шванн Д. Э. М.: Издательство МЭИ, 2004.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
3. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994.
4. Физико-математические основы техники и электрофизики высоких напряжений. Учебное пособие для вузов / В.В. Базуткин, К.П. Кадомская, Е.С. Колечицкий и др. Под ред. К.П. Кадомской. М.: Энергоатомиздат, 1995.
5. Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.