Исследовательская работа по математике "Различные способы решения квадратных уравнений"

Конференция учащихся

муниципальных образовательных учреждений города Калуги «Старт в науку»

Секция: «Математика»

«Различные способы решения квадратных уравнений»

Автор работы: Подгорный Леонид

Класс: 8б

Образовательное учреждение:

 МБОУ СОШ 47 г. Калуги.

Научный руководитель: Черняева Леся Васильевна

               Должность: учитель математики

Калуга, 2021

Содержание

Введение…………………………………………………………………….     2

1.Квадратное уравнение……………………………………………………     3

2.История развития теории и практики решения квадратных уравнений.   4

3.Способы решения квадратных уравнений……………………………...     5

4. Задания для упражнения в решении квадратных уравнений.………………………………………………………………….     10

Заключение………………………………………………………………….    11

Литература…………………………………………………………………..   11

Приложения…………………………………………………………………    12

Введение.

        Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

        На уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений.  Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

        Цель работы: выявитьспособы решения уравнения второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

        Задачи:

1)Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений.

2)Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений.

3)Показать применение данных способов при решении уравнений.  

4)Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов.

        Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить  всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

        Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

        Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса математики.

        Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нам из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

1.  Квадратные уравнения.

        Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.

        Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.  х²+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения.

        Кроме приведенных и не приведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

        Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

        Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

        Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

        Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

        Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.

        Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2. История развития теории и практики решения квадратных уравнений

        Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

        В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

        Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

  Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3. Различные способы решения квадратных уравнений.

Способ 1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Корни уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 можно найти по формуле:

, где выражение b2 - 4ac= D называется дискриминантом.

Таким образом:

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac>0,  уравнение  ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac< 0,  квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Данная формула корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть),  в том числе приведенного и неполного.

Пример 1:,

а=5,  в=7,   с=2,

,

,

,

,

.

Пример 2:,

а=3,  в=4,   с=-7,

,

,

,

,

.

Способ 2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

        Если второй коэффициент  уравнения b = 2k– четное число, то формулу корней        можно записать в виде:

        Приведенное уравнение       х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором   а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид:

Формулу удобно использовать, когда р— четное число. Возьмем для решения данным методом пример 2, ведь я хочу доказать, что одно и то же квадратное уравнение можно решить различными способами.

Пример 3:

,

,

,

,

,

,

.

Способ 3. Метод выделения полного квадрата.

,

,

,

,

,если,

,

Пример:,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Способ 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Приведенным квадратным уравнениемназывается уравнение вида  , где старший коэффициент равен единице. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:.

Чтобы квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a,и квадратное уравнение примет вид=0. Тогда:

Если обозначитьи , то мы  получим уравнение вида. А формулы  примут вид:

        Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

        По коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней:

     а) Если сводный член q приведенного уравнения) положителен (q> 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента:

-если р< 0, то оба корня  положительные; -если р> 0, то оба корня отрицательные.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0.

Пример:,

,

,

.

Способ 5. Разложение на множители способом группировки.

        При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Пример:,

,

,

,

Способ 6. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу).        Данный способ широко применяется при решении алгебраических уравнений высших степеней.

Теорема Безу. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a.

Следствие из теоремы Безу. Если  уравнение   а0хn + a1xn-1+ … + an-1x+an = 0,

 где все коэффициенты  целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример:, Запишем корни многочлена. Корнями многочлена являются делители свободного коэффициента, при подстановке которых в данное уравнение превращается в верное числовое равенство.

,

,

,

.

Ответ: .

Способ 7. Графический способ.

        Используя  знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

         1способ.,

.

 Построим графики  функции y=x2 и y =

в одной системе координат.

        Абсциссы  точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

        2 способ.  ,

,

 Построим графики  функции y=x2-  и  y = в одной системе координат.

Абсциссы  точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

.

3 способ. ,

.

         Построим графики  функции y=3x+4 и  y =

в одной системе координат. Абсциссы  точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

.

4. Задания для упражнения в решении квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

;

;

;

;

.

    x2 − 2x − 3 = 0;

   15 − 2x − x2 = 0;

   x2 + 12x + 36 = 0.

2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

2х2-3х+5=0;
х2-2х+1 = 0;

;

;

;

.

3. Метод выделения полного квадрата.

;

;

;

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

x2 - 4x - 60 = 0.;

;

y2 + 11y = y - 25.

x2 - 7x + 6 = 0.

 x2 - x - 6 = 0.

x2 + 10x - 5 = 0

5. Разложение на множители способом группировки.

;

;

;

.

6. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу).

;

8;

;

.

7. Графический способ.

;

;

;

;

Заключение

        В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

        Способов решения квадратных уравнений очень много. Я  нашел 7 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания, поэтому в данной работе, я составил несколько групп тренировочных заданий для каждого из способов решения квадратных уравнений.

        Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.

Литература

1)Мордкович А.Г. М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 4-е издание - М.: Мнемозина, 2018. - 223 с.:

2)Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1988

3) С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин Алгебра 8 класс: Учебник для общеобразовательных организаций.-М.:Просвещение, 2019

3)Г.И.Глейзер История математики в школе. Пособие для учителей. Москва Просвещение 1981 г.

4)Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. - м., просвещение, 1990

Приложения.

Приложение 1. Результаты опроса 9-х классов.

9а                                            

9б

По данным опроса видно, что мои одноклассники предпочитают стандартный способ решения с помощью формул.