презентация "Метод конечных разностей"
В данной работе на примере решения задачи на разрезание пирога раскрывается суть «Метода конечных разностей». Немного затрагивается исторический аспект этого метода. Основным аппаратом исследования является теория рядов, в частности для доказательства использовались формула Ньютона и формула суммы членов арифметической прогрессии. Опираясь на «Метод конечных разностей» была получена формула, т.е. математическая модель процесса разрезания пирога. Приводятся еще несколько задач, которые можно решить с помощью этого метода.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 ischislenie_konechnyh.pptx | 216 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
В данной работе на примере решения задачи на разрезание пирога раскрывается суть метода конечных разностей. Немного затрагивается исторический аспект этого метода. Основным аппаратом исследования является теория рядов, в частности для доказательства использовались формула Ньютона и формула суммы членов арифметической прогрессии. Опираясь на метод конечных разностей была получена формула, т.е. математическая модель процесса разрезания пирога. Приводятся еще несколько задач, которые можно решить с помощью этого метода
Цель работы : на примере задачи о разрезании пирога показать значение метода конечных разностей в математике Задачи: Изучить литературу по данной теме На примере задачи о разрезании пирога детально рассмотреть применение исчисления конечных разностей Подобрать задачи, решаемые с помощью метода конечных разностей Сделать выводы
ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Крайне полезная ветвь математики, стоящая на пороге математического анализа Автор: Лагуткина Юлия Сергеевна Руководитель: Рогачева Наталья Владиславовна
из истории: Исчисление конечных разностей появилось В XVIII ВЕКЕ, когда английский математик Брук Тейлор(в честь него назван ряд Тейлора) написал трактат под названием «Метод конечных приращений». Первая серьезная работа по этой теме принадлежит Джону Булю (1860 год) Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово "конечные" используется здесь в несколько устаревшем смысле "не бесконечно малые", т.е. не связанные с предельными переходами.
В XIX веке учебники по алгебре содержали лишь самые поверхностные сведения об исчислении конечных разностей, а потом и вовсе забыли, этим способом продолжали пользоваться лишь страховые общества для проверки своих таблиц, да изредка ученые – при численной интерполяции или выяснения вида функции по нескольким численным значениям. из истории:
Сейчас исчисление конечных разностей опять вошло в обиход и стало мощным методом статистики и социальных наук. Некоторые занимательные задачи решаются с помощью элементарных методов исчисления конечных разностей. Например, задача о разрезании круглого пирога.
ЗАДАЧА: На какое максимальное число кусков можно разделить круглый пирог, если сделать n разрезов, каждый из которых пересекает все остальные ? РЕШЕНИЕ : если совсем не разрезать пирог, получится один кусок,; два разреза дают четыре куска, три разреза – семь кусков и т.д. Нетрудно вычислить несколько первых членов ряда: 1,2,4,7,11…
Вычислим разности этих чисел, затем разности разностей и т.д., располагая их по строкам. Каждое число в следующей строке должно быть равно разности двух соседних чисел предыдущей строки: Число разрезов: 0 1 2 3 4 Число кусков 1 2 4 7 11 Первые разности 1 2 3 4 Вторые разности 1 1 1 Число строк разностей указывает на порядок функции. В нашем случае две строки разностей, поэтому функция квадратичная по х и мы можем ее найти
Воспользуемся формулой Ньютона, в ней предполагается, что ряд начинается с того значения функции, которое она принимает при n = 0, обозначим его через a , число, которым открывается строка первых разностей - b , первое число строки вторых разностей обозначим с , и т.д. Тогда формула n -го члена исходного ряда будет иметь вид: Число разрезов 0 1 2 3 4 Число кусков 1 2 4 7 11 Первые разности1 2 3 4 Вторые разности 1 1 1
Формулу продолжаем до тех пор, пока все дальнейшие члены не станут равными нулю. В нашей задаче a = 1 , b = 1 , c = 1 , так как дальше во всех строках нули. В результате приходим к квадратичной функции ,где n – число разрезов Означает ли это, что мы получили формулу для определения максимального числа кусков, на которое можно разделить пирог, если провести n разрезов ? Вроде да, но разрезав пирог в пятый раз, мы не обязательно получим 16 кусков.
Д. Пойа писал: «Природа может ответить и «да» и «нет», но один ответ будет еде слышен, а второй прогрохочет раскатами грома. Ее «да» – всего лишь предположение, зато «нет» всегда определенно». Пойа имеет в виду вовсе не абстрактные математические объекты, а окружающий нас реальный мир, но его точка зрения удивительно верно описывает процесс восстановления вида функции с помощью метода конечных разностей
Итак, шестнадцать – это максимальное число кусков, которое получается с помощью пяти разрезов. Значит полученная формула дает верный результат, но тем не менее ее необходимо доказать.
Доказательство формулы: Если сделать 0 разрезов, то , S – количество кусков, S0 = 1 Если сделать 1 разрез, то S1 = 1+1, т.е. S1=S0+1 Если сделать 2 разреза, то S 2 =1+1+2 , т.е. S2=S1+ 2 Если сделать 3 разреза, то S 3 =1+1+2+3 , т.е. S3=S 2 +3 …………………………………………………………………………………… Если сделать n разрезов, то Sn =1+1+2+3+4+5+………….+ n , т.е. Sn =S(n-1)+n Найти сумму Sn , очень легко, т.к. начиная со второго члена, это просто арифметическая прогрессия, сумма которой равна 1\2 n(n+1) . Прибавив к этому выражению единицу, получим
Существуют и другие задачи, которые можно решить разностным методом: На какое максимальное число частей можно разделить плоский полумесяц, сделав одновременно n разрезов? (ответ ) На сколько частей делят плоскость пересекающиеся окружности с равными радиусами? (ответ ) Сколько можно сложить треугольников из зубочисток n цветов? (ответ )
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Исчисление конечных разностей имеет большое значение в науке математике, занимает достойное место в теории рядов в математическом анализе. Метод конечных разностей позволяет определять вид функции: количество разностных строк указывает на степень функции Данный метод можно применять к решению занимательных задач по математике Кроме задачи о разрезании пирога, существует множество других задач, решаемых с помощью конечных разностей
http://urkrizis.org/matem2/matem20159.php Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк ., 2001 Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с . М. Гарднер Математические досуги, ОНИКС, М., 1995 г СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И РЕСУРСОВ
Два петушка
Император Акбар и Бирбал
Акварельный мастер-класс "Прощание с детством"
Домик зимней ночью
Рисуем осенние листья