Различные способы решения квадратных уравнений

Слайд 1

Слайд 2

Цель работы – систематизирование знаний по теме «Квадратные уравнения» . Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач : дать определение квадратным уравнениям; рассмотреть виды квадратных уравнений; изучить способы решения квадратных уравнений; ознакомиться с примерами решения квадратных уравнений. Объектом исследования служат квадратные уравнения. Предметом являются способы решения квадратных уравнений. Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить существующими способами.

Слайд 3

понятие квадратных уравнений Квадратные уравнения – это уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 , где x - переменная, a , b и c - некоторые числа, причём a ≠ 0 . Число a – первый коэффициент, число b – второй коэффициент, число c – свободный член. Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет

Слайд 4

Виды квадратных уравнений Квадратные уравнения Полные Неполные Неприведённые Приведённые

Слайд 5

Полные квадратные уравнения Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, у которого коэффициенты a , b и c отличны от нуля ax 2 + bx + c = 0 Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором коэффициент a = 1 x 2 + bx + c = 0 Неприведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором коэффициент a ≠ 1 ax 2 + bx + c = 0 x 2 + 3 x + 5 = 0 3 x 2 + 4 x + 2 = 0 6 x 2 + 3 x + 1 = 0 a =6 b =3 c =1 a =1 b =3 c =5 a =3 b =4 c =2

Слайд 6

Решение полных квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 1. Определить коэффициенты a , b и c 2. Вычислить дискриминант D=b 2 – 4ac Если D < 0 , то уравнение не имеет корней Если D = 0 , то уравнение имеет 1 корень Если D > 0 , то уравнение имеет 2 корня

Слайд 7

Примеры решения полных квадратных уравнений 1) 2 x 2 + x + 5 = 0 a = 2 b = 1 c = 5 D = b 2 – 4 ac D = 1 2 – 4 · 2 · 5 = 1 – 40 = -39 D < 0 , корней нет 2) 16 x 2 - 8 x + 1 = 0 a = 16 b = -8 c = 1 D = b 2 – 4 ac D = (-8) 2 – 4 · 16 · 1 = 64 – 64 = 0 D = 0 , корень 1 3) x 2 - 11 x + 30 = 0 a = 1 b = - 11 c = 30 D = b 2 – 4ac D = (- 11 ) 2 – 4 · 1 · 30 = 121 – 120 = 1 D > 0 , корней 2

Слайд 8

неПолные квадратные уравнения Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или c равен нуля ax 2 + bx = 0 a ≠ 0, b ≠ 0, с = 0 ax 2 + c = 0 a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0 ax 2 = 0 a ≠ 0, b = 0, с = 0

Слайд 9

Решение неполных квадратных уравнений b = 0 ax 2 + c = 0 1. Перенести с в правую часть уравнения ax 2 + c = 0 2. Разделить обе части уравнения на а 3. Е сли Если с = 0 ax 2 + bx = 0 1. Вынести общий множитель x за скобки x ( ax + b ) = 0 2. Разбить уравнение на два равносильных x = 0 и ax + b = 0 3. Два решения ( о дин из корней всегда 0 ): x = 0 и ax + b = 0 ax = - b b = 0, с = 0 ax 2 = 0 1 . Разделить обе части уравнения на a x 2 = 0 2. Одно решение x = 0

Слайд 10

Примеры Решения неполных квадратных уравнений 1) 3 x 2 - 12 = 0 x 2 = 12:3 x 2 = 4 с = 0 b = 0, с = 0 2) 4 x 2 + 36 = 0 x 2 = - 36 :4 x 2 = - 9 Корней нет 1 ) 6 x 2 + 18 x = 0 x · ( 6 x + 18) = 0 x = 0 и 6 x + 18 = 0 6 x + 18 = 0 x = -18 : 6 x = - 3 x 1 = 0 x 2 = - 3 2 ) 2 x 2 - 12 x = 0 x · (2 x - 12) = 0 x = 0 и 2 x - 12 = 0 2 x - 12 = 0 x = 12 : 2 x = 6 x 1 = 0 x 2 = 6 1 ) 6 x 2 = 0 x 2 = 0 : 6 x 2 = 0 x = 0 2 ) 15 x 2 = 0 x 2 = 0 : 15 x 2 = 0 x = 0 b = 0

Слайд 11

Решение квадратных уравнений по теореме виета Теорема Виета Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + p x + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Итак, По теореме Виета решаются только приведённые квадратные уравнения (коэффициент a = 1 ). Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Слайд 12

Примеры Решения квадратных уравнений по теореме виета Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы. Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству . Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0 1) 2) Метод подбора находим корни:

Слайд 13

Решение квадратных уравнений методом «переброски» Метод «переброски» - решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. 1 ) умножим (буквально перебросим) все части на а : 2) вводим новую переменную y = ax : 3) решим уравнение с помощью теоремы Виета: 4) вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на a . Получим:

Слайд 14

Примеры Решение квадратных уравнений методом «переброски» 1) 2 x 2 - 1 1 x + 1 5 = 0 умножим все части на 2 : 2 ·2 x 2 - 2 ·1 1 x + 2 ·15 = 0 вводим новую переменную y = 2 x y 2 - 11y + 30 = 0 решим с помощью теоремы Виета: вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 2 . Получим: 2) 3 x 2 + 10 x + 7 = 0 умножим все части на 3 : 3·3 x 2 + 3·10 x + 21 = 0 вводим новую переменную y = 3x y 2 + 1 0 y + 21 = 0 решим с помощью теоремы Виета: вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 3 . Получим:

Слайд 15

вывод Таким образом, существуют различные способы, которые позволяют очень быстро и рационально решать любое квадратное уравнение.

Слайд 16

источники https://studbooks.net/2402392/matematika_himiya_fizika/sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy https://multiurok.ru/index.php/files/15-sposobov-rieshieniia-kvadratnykh-uravnienii.html https://math-prosto.ru/?page=pages/theorem_of_vieta/how_to_solve_equations_with_vieta.php http://spacemath.xyz/teorema-vieta/ https://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula https://moluch.ru/archive/111/27959/ https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski

Слайд 17

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!