Применение вневписанной окружности для решения задач

Содержание

Геометрия является самым могущественным                                                                                            средством для изощрения наших умственных                                                                                    способностей и дает нам возможность                                                                                                  правильно мыслить и рассуждать.

Г.Галилей

1. Введение

Действующие школьные программы по математике не предусматривают изучение понятия вневписанной окружности треугольника. Вневписанная окружность представляется изысканным элементом геометрии треугольника. А вот знакомство с ней зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач. Но при более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно рассматривать ее как подспорье в решении геометрических задач.                                                           Простейший из многоугольников - треугольник  играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о "геометрии треугольника" как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня - достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.                                                                      Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства замечательных точек и линий:

• три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности;
• биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке  - центре вписанной в треугольник окружности;
• медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей.

2. Основная часть

Цель моей работы:

Дать определение вневписанной окружности и её элементов;

Показать применение свойств вневписанной окружности к решению задач на построения и доказательства.

2.1 Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, поэтому они и получил название вневписанных.

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Доказательство этого следует из основного свойства биссектрисы угла: все точки, лежащие на ней, равноудалены от сторон угла.

С другой стороны, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Данное свойство вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла BAC треугольника ABC и биссектрисы двух внешних углов при вершинах B и C пересекаются в одной точке.

Доказательство: Проведем внешние биссектрисы из вершин B и C. Пусть они пересекаются в точке Oa. Докажем, что биссектриса угла BAC проходит через точку Oa. Все точки биссектрисы COa равноудалены от сторон угла, значит, расстояние от точки Oa до прямых BC и AC равны, так как Oa лежит на биссектрисе углаBCK1, то есть OaK1 = OaK3.

Аналогично равны расстояния от точки Oa до прямых BC и AB - OaK2 = OaK3. Тогда очевидно, что точка Oa равноудалена от прямых AC и AB, то есть лежит на биссектрисе угла BAC.

Из теоремы 1 следует существование окружности с центром в точке Oa, касающейся прямых AC, AB и BC. Данную окружность и называют вневписанной окружностью.

Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

Теорема 2. Пусть K1 - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка АК1 равна полупериметру треугольника АВС. 

Доказательство: 

Пусть точки К2 и К3 – точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. Тогда СК1 = СК3, ВК2 = ВК3 и периметр треугольника АВС равен 2р = АС + СВ + АВ = АС + СК3 + ВК3 + АВ = АС + СК1 + АВ + ВК2 = АК1 + АК2. А так как АК1 =АК2, то р = АК1, что и требовалось доказать.

2.2 Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач

2.2.1 Задачи на доказательство.

Задача 1.Две непересекающиеся окружности с радиусами R1 и R2 касаются сторон прямого угла с вершиной A. Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках B и C. Найти площадь треугольника ABC.

Решение: Так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник ABC, а другая вневписанной. Пусть R1 < R2 , где R1 и R2  - соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружности. Если O - центр вневписанной окружности, а точки K и M - ее точки касания со сторонами угла A, легко доказать, что AKOM - квадрат со стороной R2. По теореме 2 AK == p. Но так как AK = R2, то p =R2. А R1 = . Отсюда следует, S = R1 ×   p, R1 × R2  .

Ответ: S = R1 × R2  .

Задача 2.  К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.

Решение: Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной - A  и B, со второй - C и D.

Внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N. Продолжим прямые AB и CD до их пересечения в точке K. Тогда окружность с центром O2 является вписанной в треугольник MNK, а окружность с центром O1 - вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK - а и его полупериметр - p. Тогда (по т. 2)AK = p и BK = p - a.

Значит, AB = a, то есть AB = MN. Аналогично CD = MN.

Задача 3. В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Решение:

1. P = PΔEAL + PΔBKF + PΔPDC

2. Окружность с центром O - вневписанная окружность треугольников EAL, BKF и PDC. Поэтому AM =  PΔEAL ,  BM = PΔBKF,      BQ = PΔBKF,                         QC = PΔPCD, CN = PΔPDC, AN = PΔEAL .

Из этого следует, что PΔABC = PΔEAL + PΔBKF + PΔPCD = 48.  

Значит, AB =  =  = 18.    

Ответ: 18.

Задача 4. Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B - точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках  X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

Решение: Так как касательные PA и PB пересекаются, то угол APB обозначит . Точки X и Y лежат соответственно на отрезках PA и PB, поэтому данная окружность будет вневписанной для треугольника XPY. Центр окружности лежит на пересечении биссектрис, значит XYO = OYB = , OXY = OXA = . Величина угла XOY соответственно равна XOY = 180- (+ ).В треугольнике PXY1 =180 - 2, 2 = 180 - 2. Величина угла APB заданная, тогда имеем: 2  + 2 - 180= ,

 + - 90= ,  +  = 90+ . Величина угла XOY соответственно равна:

XOY = 180- (+ ) = 180- (90+ )= 90-  и не зависит от выбора третьей касательной.

Задача 5.

Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

Решение: Если a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - его гипотенуза, то искомые радиусы будут равны:

Таким образом,

По-другому:

Ответ:

Задача 6.

В треугольнике ABC с периметром 2p величина острого угла BAC равна a. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K,L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка AK, AD=a. Найдите площадь треугольника DOK.

По теореме 2: ,  так как .

Отсюда следует, что

Ответ:  

2.2.2 Задачи на построение

Задача 7.  Построить треугольник по периметру и двум углам.

Дано: углы  и  ,периметр треугольника P.

Построение:

1.Постороить отрезок, равный полупериметру (AK).

 2.Из точки А построить данный по условию угол α, а из точки К восстановить перпендикуляр.

3. Построить биссектрису угла САВ.

4. Построить окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром ОК и радиусом ОК.

5. На отрезке АК построить второй данный угол β так, чтобы его луч был касательной к окружности.

6. Данная касательная пересечет вторую сторону угла в точке В.

ABC - искомый.

2.2.3 Стереометрические задачи

При решении задач, связанных с пирамидой, я руководствовалась следующими утверждениями.

Утверждение 1.Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

б) высоты боковых граней-треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;

в)двугранные углы при основании пирамиды равны.

Утверждение 2.Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

б) высоты боковых граней- треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны;

в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Задача 8. В основании пирамиды, все плоскости боковых граней которой наклонены к плоскости основания под углом , лежит правильный треугольник со стороной а. Найти объем пирамиды.

Решение: Пусть SABC - данная пирамида, O - ортогональная проекция вершины S на плоскость основания AB, AC и BC. Имеем два случая расположения точки O:

1.Вершина тетраэдра проектируется в центр вписанной окружности.

V = Sосн h

tg α = ,    h = rtg α,    Sосн = ,      

2.Вершина тетраэдра проектируется в центр вневписанной окружности.

Ответ:

1);

2)

3. Заключение

В заключение хочу ещё раз сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. А так как в школьной программе не предусматривается изучение понятия вневписанной окружности треугольника, то  мне было интересно познакомиться с ним, так как решение некоторых геометрических задач связано с использованием этого понятия. Таким образом, я расширила свои знания в области геометрии касаемо треугольника и его замечательных линий и точек.

4. Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов, - М.: Просвещение, 2015
2. Литвинова С.А., Куликова Л.В., Шиловская С.В. , Тараева Ю.Г., Безрукова О.Л. За страницами учебника математики (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам),                     М. - Глобус, Волгоград: Панорама, 2008.
3. Энциклопедия для детей.Т.11. Математика. – М :Аванта,2000