Работа МАН. Тела вращения. Задача Архимеда.

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования Республики Крым «Малая академия наук «Искатель»

   Отделение: математика

Секция: математика

Тела вращения. Задача Архимеда

Работу выполнила:

Ковалева Ангелина Олеговна,

ученик 10 класса муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя школа № 7» города Джанкоя

Научный руководитель:

Алединова Асие Эбамуслимовна, учитель математики   муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя школа № 7» города Джанкоя

г. Джанкой– 2019

                                                                                                                             2

СОДЕРЖАНИЕ

ВСТУПЛЕНИЕ………………………………………………………………....3 РАЗДЕЛ 1  Теория                                                                                        

1.1. Из истории изучения тел вращения……………………………5

1.2. Вычисление объемов тел вращения различными способами…………………………………………………………...10

1.3. Принцип  Кавальери…………………………………………..15

1.4. Задача Архимеда

РАЗДЕЛ 2  Практическое применение……………………………………..20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………18

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………...……………………………………....23

                                                                                                                               3                                    

                                         ВСТУПЛЕНИЕ

Геометрия - удивительная наука. Задачи, включающие в себя решение и разбор тем по телам вращения меня очень заинтересовали и я постаралась в них разобраться. Решение задач на  тела вращения требует глубокого проникновения в смысл условия задачи. Также, в экзаменационных вариантах единого государственного экзамена (ЕГЭ) содержатся вопросы, которые связанны с фигурами вращения, и чтобы решить их, нужно знать теоретический материал. Четкое сопоставление формул, теорем и их доказательств играет главную роль в решении таких задач.

Тема моей работы звучит так: «Тела вращения. Задача Архимеда».

Объектом исследования являются - Тела вращения.
 Цель работы:

Исследование тел вращения. Систематизация теоретического материала и  применение его к решению задач.

Задачи: 

• формировать навыки самостоятельной работы с различными источниками информации;
• углубить и расширить знания о нахождении площадей и объемов тел вращения
• формировать умения использования теоретических знаний при решении задач.                                                                                                                        

                                                                                                                               4

Актуальность: расширить свои знания о телах вращения.

План исследования:

• Узнать историю изучения тел вращения.
• Научиться применять формулы, теоремы при решении задач.
• Сделать выводы.

Объект исследования – Тела вращения.

Предмет исследования – Задачи по теме «Тела вращения».

Цель исследования – Систематизация теоретического материала и его применение к решению задач.

                                                                                                                          5

РАЗДЕЛ 1  ТЕОРИЯ    

1.1. Из истории изучения тел вращения

        Начальные сведения о телах вращения и их свойствах относят к тому времени, когда геометрия только зарождалась как будущая математическая наука. За несколько сотен лет до нашей эры земледельцы пытались вычислить количество собранного урожая по размерам куч и ёмкостей, где он хранился. Для астрономических наблюдений необходимо было изучать свойства самого шара и его частей.

Основные тела вращения, которые изучаются в школе – это цилиндр, шар и конус.

            Почти каждый человек знает, как выглядит цилиндр. Слово цилиндр произошло от древнегреческого слова κύλινδρος, что в переводе означает валик, каток.

В настоящее время форму цилиндров имеет головной убор, который имеет такое же название. Одним из наиболее интересных фактов об этом теле вращения являются «Цилиндры фараона». Они представляют собой два загадочных предмета, изображенных в руках некоторых древнеегипетских изваяний. Специалисты-египтологи не могут прийти к единому мнению о происхождении данных предметов. Один неизвестный автор утверждал, что цилиндры служили для фараонов и жрецов предметами для укрепления жизненных сил и общения с богами.

С цилиндром люди знакомы с глубокой древности. Основной практической потребностью стала задача вычисления объёмов, которая и была тогда одним из стимулов развития геометрии. В математике Древнего Востока, в частности в Вавилонии и Египте, был известен ряд правил для вычисления объемов, чаще всего эмпирических. Один древнеегипетский писец Ахмес написал папирус (1800 год до н.э.), который представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер. Одними из таких задач как раз и были задачи по

                                                                                                                               6                                                                    

определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Также Ахмес хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело к определению числа π.

Далее греческая математика помогла освободить теорию вычисления объемов от приближенных эмпирических правил. Еще в школе Платона изучались свойства призмы, пирамиды, цилиндра и конуса.

Важную роль в систематизации в определенной последовательности и изложении сведений о геометрии сыграл математик Евклид. Ему принадлежит труд «Начала», который содержит 15 книг, 13 из которых написаны Евклидом. В этом труде геометрия излагается так, как она известна и теперь под названием евклидовой геометрии

          Конус – латинское слово заимствованное от древнегреческого слова κώνος, которое в переводе означает сосновая шишка.

Также как и о цилиндре, о конусе есть много интересных фактов.

Для обеспечения безопасности своего жилища и своей жизни от разрядов молний также могут помочь конусы. Они используются при установке громоотводов, с помощью которых образуется конус безопасности.

В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, которая образована скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

История изучения конуса, также как и цилиндра, начинается с Древнего Востока и далее уходит в Древнюю Грецию.

В 11-ой книге «Начал» Евклида дается такое определение конуса: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Евклид рассматривает только прямой их вид. В 12-ой книге «Начал» есть теоремы, относящиеся к конусам. Это теоремы об отношении объема конуса и объема соответствующего ему

                                                                                                                               7

цилиндра, об отношении объемов двух конусов с равными основаниями, о площадях оснований двух равновеликих конусов.

Аполлоний Пергский, ученик Евклида, занимался сечениями конуса и изложил теорию по этой теме в восьми книгах трудов «Конические сечения». Также в этих трудах введено понятие конической поверхности, которой у Евклида не было. Определение конической поверхности Аполлония воспроизведено в современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую линию, которая называется направляющей.

Далее Архимед в своем наиболее известном трактате «О шаре и цилиндре» доказывает теорему о площади боковой поверхности равнобедренного (то есть прямого кругового) конуса.

              Под шаром принято понимать тело, которое ограничено сферой, то есть считается, что шар и сфера разные геометрические тела. Однако оба этих слова происходят от одного и того же греческого слова « сфайра», что в переводе означает мяч. При этом появление слова «шар» обусловлено переходом согласных сф в ш.

В настоящее время шаром называют сокращенно словосочетание «воздушный шар». Причем это словосочетание имеет два значения: средство передвижения и игрушка.

В древности и сфера и шар всегда были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы. Пифагорейцы в своих в какой-то степени мистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы». По мнению Аристотеля, шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Также он полагал, что Землю окружает ряд концентрических сфер. Сфера и шар всегда широко применялись в

                                                                                                                               8

различных областях науки и техники. Мяч, глобус и сфера являются символами будущего. На уровни эмблем они же являются знаками промысла, проведения, вечности, власти и могущества коронованных особ.

Каменное полушарие сферы воплощается в ступах, связанных с местом бодхисаттв в Индии. В Индонезии они приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

Таким образом, сами названия геометрических фигур показывали, что геометрия возникла для решения практических задач и с самого начала была тесно связана с практикой, с человеческим трудом.

                                                                                                                          10

    2.1. Вычисление объемов тел вращения различными способами 

Существуют различные подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии. Рассмотрим древний опыт. Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой - в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.

Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь поверхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле

 S = 4πR2. 

С помощью этого метода люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи геометрии с практикой.

Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, имеют определенную специфику. Так как для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное.

Понятие объема вводится аксиоматически. Объем - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

- объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

                                                                                                                 11

Объем — это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет свойства.

Рассмотрим общий способ вычисления объемов тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox, как показано на рисунке, вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf 2 (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Теорема: Объем тела вращения равен

Доказательство:

                                                                                                                             12

Придадим х приращение ∆х (х+∆хb). Построим два цилиндра с общей высотой ∆х. Меньший цилиндр имеет своим основанием круг, площадью S(x), а больший – круг площадью S(x+∆x). Если ∆V- прирост объёма тела вращения, то

,

откуда                                     .

Поскольку функция f(x) непрерывна и функция  следовательно

Переходя к пределу в двойном неравенстве имеем

,      то есть .

Объем V(x) является первообразной для функции  на промежутке [a;b].

Отсюда имеем

Теорема: объем шара равен , где R-радиус шара

Доказательство:

                                                                                                                        13

На рисунке изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R;0). Уравнение окружности этого круга , откуда . Функция  непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ох образуется полушар. Следовательно откуда .

                                                                                                                     14  Вывод формул геометрических тел на основе свойств объемов

Для цилиндра и конуса.

Через систему вписанных и описанных правильных призм при условии, что . Общую величину к которой стремятся объемы вписанных и описанных правильных призм и принимают за объем цилиндра:

Vц = SоснH            

Vц=r2H

У конуса аналогично с пирамидами: .

 Для сферы, полушара: проводят сечения параллельные экватору и принимают их за основание цилиндра с высотой R. Получают «ступенчатое тело», состоящее из цилиндров. Число . Число к которому стремится объем цилиндров принимают за объем полушара. Следовательно, объем шара равен 2 умноженное на объем полушара, т.е.

.

                                                                                                                             15

                              1.2. Принцип Кавальери

  Задачи об измерении объема шара и площади его поверхности были решены Архимедом в его сочинении “О шаре и цилиндре”. Вот как формулировал Архимед доказанные им теоремы: “для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг этого шара, а высотой - прямую, равную диаметру шара, и сам будет в полтора раза больше этого шара, и поверхность его тоже в полтора раза больше поверхности шара”

Итак, Архимед утверждает, что объем шара радиуса R вычисляется по формуле

V=2/3(πR2•2R)

т.е.

V=4/3πR3,

а площадь его поверхности

S=2/3(2πR•2R+2π2R),

                                                                                                            16

т.е. S=4πR2.

Вывод формулы у Архимеда весьма сложен и занимает десятки страниц. Воспользуемся принципом, который сформулировал в ХУ11 веке итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598-1647). Этот принцип гласит: если два тела могут быть помещены в такое положение, при котором всякая плоскость, параллельная какой-либо плоскости и пересекающая оба тела, дает в сечении с ними равновеликие фигуры, то объемы таких тел равны.

Обоснование этому принципу, как и всей теории площадей и объемов криволинейных фигур, дается в интегральном исчислении, созданным Исааком Ньютоном (1643-1727) и немецким ученым Готфридом Лейбницем (1646-1716) в конце ХУ11 века. Архимед для доказательства своих теорем предвосхитил методы интегрального исчисления на 2000 лет. Архимед очень гордился этими открытиями и по его воле на его могильной плите был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия гласила, что их объемы относятся как 3:2.

Опираясь на принцип Кавальери, можно утверждать, что объем шара радиуса R равен оставшийся части цилиндра С с высотой 2R и радиусом основания R, из которого удалили два конуса, изображенные на рисунке

                                                                                                              17

Действительно, площади заштрихованных сечений (круга и кольца), как нетрудно подсчитать, равны. Поэтому объем V шара радиуса R равен объему цилиндра С без удвоенного объема конуса с высотой R и радиусом основания также R, т.е.

V= πR2•2R – 2/3πR2•R=4/3πR2.

Равенство установлено.

                                                                                                                             18

                                   1.3. Задача Архимеда

Архимед развил методы нахождения площадей поверхностей и объёмов различных фигур и тел. Его математические работы намного опередили своё время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

В его произведении «О шаре и цилиндре» есть следующие теоремы:

1. Площадь поверхности сферы равна учетверённой площади её большого круга

2. Объём шара равен учетверённому объёму конуса, основанием которого служит большой круг, а высотой – радиус шара

3. Объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

4. Площадь поверхности цилиндра равна площади поверхности вписанной сферы.

Представим, что в цилиндр вписан полушар. Если представить трудно, вообразите, что в кастрюлю положили половину арбуза, который в точности подошёл и по ширине, и по высоте.

                                                                                                                             19

Теперь вообразите, что в тот же цилиндр вписан конус ( в ту же кастрюлю поставили воронку подходящего размера).

Если объём конуса равен 1, то оказывается, объём полушара равен 2, а объём цилиндра равен 3. Получается, что объёмы конуса, полушара и цилиндра одинакового радиуса( и такой же высоты), относятся как 1:2:3. Объём конуса в точности равен объёму, заключенному между поверхностями конуса и полушара, и в точности равен объёму, заключенному между поверхностями полушара и цилиндра.

Считается, что впервые обнаружил этот факт Архимед.

                                                                                                                            20

2.1. Практическое применение

Задача№1

                               Решение:

Vцилиндра= 8∙3=24.

Значит, фигура вне конуса, но внутри цилиндра имеет объём 24-8=16

Ответ:  16

                                                                                                                             21

Задача №2

        Решение:

Задача Архимеда - объём вписанного в цилиндр конуса втрое меньше объёма цилиндра:

Vкон.=1/3

Vцил.= 1/3 ∙ 36=12

Ответ: 12

                                                                                                                            22                                                                                                  

Задача №3                                                                        

                        Решение:

Радиусы цилиндра, конуса и шара одинаковы и равны R. Высоты цилиндра и конуса одинаковы и вдвое больше радиуса: Н=2R. Можно воспользоваться формулой из таблицы и найти по очереди отношения объёмов цилиндра и шара, цилиндра и конуса ( или шара и конуса).

Можно рассуждать иначе. Если конус вписан в полушар, вписанный в цилиндр, то отношение их объёмов известно:

                             Vкон.: Vполушар.: Vцил.= 1:2:3

В нашем случае каждое из тел «удваивается»- цилиндр и конус вдвое                          « вытягиваются», от чего их объёмы становятся больше в 2 раза. Полушар заменяется шаром того же радиуса, отчего объём его также удваивается. Значит, отношение объёмов прежнее:

                                 Vкон.: Vшар.: Vцил.= 1:2:3

Поэтому объём шара равен 2, а объём конуса 1

Ответ: 2 и 1

                                                                                                                             23        

Задача №4

                                     Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле

 Sц = 2πrh + 2πr2.
Радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).

Поэтому Sц = 2πR·2R + 2πR2 = 6πR2.
Величину πR2 найдем из формулы поверхности шара Sш =4πR2. Следовательно, πR2 = Sш /4 = 111/4.
Окончательно находим Sц = 6·111/4 = 333/2 = 166,5.

Ответ: 166,5

                                                                                                                             24

Задача №5

                              Решение:

Поскольку

Vкон.=1/3Sосн.h=27

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

Vцил.=Sосн.h=3Vкон.=81

Ответ: 81

                                                                                                                             25

                                                ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На протяжении всей истории человечества тела вращения восхищали совершенством форм и широтой областей, в которых их можно применять. Данная тема расширяет интересы в области геометрии. Познакомившись с теоретическими аспектами, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации.

Считаю, что применение задачи Архимеда в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением данной темы. Для решения этих проблем ставлю следующие задачи: 
более глубокое изучение литературы по теме «Тела вращения»,
расширить подбор задач.  

                                                                                                                            26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни [Текст] / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.  М.: Просвещение, 2014. 255 с.

2. Атанасян, Л.С. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2 [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев.  М.: Просвещение, 1987.  352 с.

3. Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения [Текст] / Э.Г. Готман.  М.: МЦНМО, 2006.  160 с.

4. Калинин, А.Ю. Геометрия. 1011 классы.  Новое изд., испр. и доп. [Текст] / А.Ю. Калинин, Д.А. Терёшин.  М.: МЦНМО, 2011.  640 с.

5. Оболенский, А.Ю. Лекции по аналитической геометрии: Учебно-методическое пособие [Текст] / А.Ю. Оболенский, И.А. Оболенский.  Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.  216 с.

6. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т.  Т.2: Стереометрия, преобразования пространства [Текст] / Я.П. Понарин.  М.: МЦНМО, 2006.  256 с.

7. Потоскуев, Е.В. Геометрия. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики [Текст] / Е.В. Потоскуев, Л.И. Званич.  М.: Дрофа, 2004.  368 с.

8. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.мат. фак. пед. ин-тов. [Текст] / под ред. А. П. Юшкевича.  М.: Просвещение, 1976.  318 с.

9. Коксетер Г.С. Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.

10. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. – М.: МЦНМО, 2004.